/黑龍江省哈爾濱市平房區(qū)2025?2026學(xué)年九年級上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題1．近年來，我國科技工作者踐行“科技強(qiáng)國”使命，不斷取得世界級的科技成果．如由我國制造的中國首臺作業(yè)型全海深自主遙控潛水器“海斗一號”，最大下潛深度10907米，填補(bǔ)了中國水下萬米作業(yè)型無人潛水器的空白；由我國自主研發(fā)的極目一號III型浮空艇“大白鯨”，升空高度至海拔9050米，創(chuàng)造了浮空艇原位大氣科學(xué)觀測海拔最高的世界紀(jì)錄．如果把海平面以上9050米記作“米”，那么海平面以下10907米記作（

）A．9050 B． C．10907 D．2．下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（

）A． B． C． D．3．七個(gè)大小相同的正方體搭成的幾何體如圖所示，其主視圖是（

）A． B． C． D．4．2025年的春節(jié)檔影片《哪吒2》，以“我命由我不由天”的精神內(nèi)核和全新的中國風(fēng)審美，結(jié)合現(xiàn)代科技手段，詮釋了中華文化的創(chuàng)新活力與獨(dú)特魅力．截止到2025年4月5日，該片票房已超．其科學(xué)記數(shù)法表示為（

）A． B． C． D．5．不等式組的解集是（

）A． B． C． D．6．如圖，圖中數(shù)字是從1開始按箭頭方向排列的有序數(shù)陣．從3開始，把位于同一列且在拐角處的兩個(gè)數(shù)字提取出來組成有序數(shù)對：；；；；…如果單獨(dú)把每個(gè)數(shù)對中的第一個(gè)或第二個(gè)數(shù)字按順序排列起來研究，就會發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律．那么第12個(gè)數(shù)對為（

）A． B． C． D．7．如圖，觀察尺規(guī)作圖的痕跡，若，，則的周長為（

）A．12 B．13 C．14 D．158．如圖，菱形，點(diǎn)E為延長線上一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)F，下列式子正確的是（

）．A． B． C． D．9．如圖，點(diǎn)A、B在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)A坐標(biāo)為，點(diǎn)B坐標(biāo)為，點(diǎn)P為直線上一動(dòng)點(diǎn)，連接PA、PB，則的最小值為（

）A． B．5 C． D．10．周末小海從家出發(fā)，步行前往距家900米的社區(qū)參加志愿服務(wù)活動(dòng)，途中進(jìn)入超市購買了一些清潔工具，小海從超市出來后的速度變?yōu)樵瓉淼?.2倍，到達(dá)集合地，小海與家的距離與所用時(shí)間的關(guān)系如圖所示，那么小海在超市購物用了（

）A．5分鐘 B．6分鐘 C．7分鐘 D．8分鐘二、填空題11．在函數(shù)中，自變量的取值范圍是．12．把多項(xiàng)式因式分解的結(jié)果是．13．現(xiàn)定義一種新運(yùn)算：對于任意正有理數(shù)，都有．例如：，則．14．如圖，點(diǎn)A、B、C在上，，的半徑為4，則的長為．15．分式方程的解為．16．虹虹在物理課上學(xué)習(xí)了小孔成像的相關(guān)知識，回家后做小孔成像的實(shí)驗(yàn)，如圖，物距是50cm，像距是150cm，蠟燭火焰的高度為3cm，那么光屏上的像的高度為cm．17．如圖1，我國是世界上最早制造使用水車的國家．1556年蘭州人段續(xù)的第一架水車創(chuàng)制成功后，黃河兩岸人民紛紛仿制，車水灌田，水渠縱橫，沃土繁豐．而今，蘭州水車博覽園是百里黃河風(fēng)情線上的標(biāo)志性景觀，是蘭州“水車之都”的象征．如圖2是水車舀水灌溉示意圖，水車輪的輻條（圓的半徑）長約為6米，輻條盡頭裝有刮板，刮板間安裝有等距斜掛的長方體形狀的水斗，當(dāng)水流沖動(dòng)水車輪刮板時(shí)，驅(qū)使水車徐徐轉(zhuǎn)動(dòng)，水斗依次舀滿河水在點(diǎn)處離開水面，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)上升至輪子上方處，斗口開始翻轉(zhuǎn)向下，將水傾入木槽，由木槽導(dǎo)入水渠，進(jìn)而灌溉，那么水斗從處（舀水）轉(zhuǎn)動(dòng)到處（倒水）所經(jīng)過的路程是米．（結(jié)果保留）

18．九年一班有12名同學(xué)報(bào)名參加校園踢毽子比賽，其中8名男生、4名女生，體育委員隨機(jī)抽出一名同學(xué)代表班級參加比賽，則抽出的同學(xué)是女生的概率是．19．已知等邊三角形，，點(diǎn)在上，過點(diǎn)作的垂線，交射線于點(diǎn)，交射線于點(diǎn)，若，則的長為．20．已知如圖，正方形的邊長為2，，且交于點(diǎn)G，，，則①②③四邊形為菱形④以上結(jié)論正確的是．三、解答題21．先化簡，再求代數(shù)式的值，其中．22．如圖，方格紙中每個(gè)小正方形的邊長均為1個(gè)單位長度，線段的兩個(gè)端點(diǎn)均在小正方形的頂點(diǎn)上．（1）在方格紙中將線段繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C．（點(diǎn)C在格點(diǎn)上）；（2）在邊上畫出點(diǎn)E，連接，且；（保留作圖痕跡）（3）直接寫出的長．23．某校為了解學(xué)生對冰雪運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目的喜歡情況，隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行“你最喜歡的冰雪項(xiàng)目”（必選且只選一項(xiàng)）的調(diào)查，根據(jù)調(diào)查結(jié)果，繪制了如下不完整條形統(tǒng)計(jì)圖．已知最喜歡“冰球”項(xiàng)目的學(xué)生人數(shù)占調(diào)查總?cè)藬?shù)的．請根據(jù)圖中的信息回答下列問題：（1）本次調(diào)查共抽取了多少名學(xué)生？（2）通過計(jì)算將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整：（3）若該校共有3000名學(xué)生，請你估計(jì)全校最喜歡“滑雪”項(xiàng)目的學(xué)生有多少名？24．【模型建立】（1）如圖1，和都是等邊三角形，點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)在邊上．①求證：；②用等式寫出線段，，的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【模型應(yīng)用】（2）如圖2，是直角三角形，，，垂足為，點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)在邊上．用等式寫出線段，，的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【模型遷移】（3）在（2）的條件下，若，，求的值．

25．2025年亞冬會在哈爾濱舉辦，吉祥物“濱濱”和“妮妮”深受廣大游客的喜愛，某專營店計(jì)劃購進(jìn)A、B兩款紀(jì)念品，若購進(jìn)A款紀(jì)念品3件和B款紀(jì)念品2件共需150元，若購進(jìn)A款紀(jì)念品1件和B款紀(jì)念品4件共需160元．（1）求A、B兩款紀(jì)念品每件的進(jìn)價(jià)分別為多少元？（2）若A款紀(jì)念品售價(jià)為38元，B款紀(jì)念品售價(jià)為45元，該專營店計(jì)劃購進(jìn)A、B兩款紀(jì)念品共50件，這兩種紀(jì)念品全部售出后總獲利不低于540元，那么該專營店最多可以購進(jìn)A款紀(jì)念品多少件？26．四邊形內(nèi)接于，．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，點(diǎn)是劣弧上一點(diǎn)，點(diǎn)為劣弧上一點(diǎn)，連接、、，DE與BG相交于點(diǎn)F，連接AF，若，且，求的度數(shù)；（3）如圖3，在（2）的條件下，的半徑為26，且，，求線段BF的長．27．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線，分別交軸于A、兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，且．（1）如圖1，求拋物線的解析式；（2）如圖2，點(diǎn)P在第三象限拋物線上一點(diǎn)，連接BC、PB、PC，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量t的取值范圍）；（3）如圖3，在（2）的條件下，過點(diǎn)作軸，連接交于點(diǎn)，連接，若，且的面積等于288，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

答案1．【正確答案】D【分析】本題考查正負(fù)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，理解相反意義的量是解題的關(guān)鍵．根據(jù)正負(fù)數(shù)表示相反意義的量，海平面以上記為正，則海平面以下記為負(fù)．【詳解】解：∵海平面以上9050米記作“米”，∴海平面以下10907米記作負(fù)，即米．故選D．2．【正確答案】A【分析】本題考查軸對稱及中心對稱的定義，掌握中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，要注意：軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念逐選項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A、既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形；B、是軸對稱圖形而不是中心對稱圖形；C、是軸對稱圖形而不是中心對稱圖形；D、是中心對稱圖形而不是軸對稱圖形．故選A．3．【正確答案】A【分析】根據(jù)幾何體的主視圖是從正面看到的圖形判斷即可．【詳解】解：從正面觀察幾何體可知，其主視圖有3層，第一層有3個(gè)小正方形，第二層有2個(gè)小正方形，第三層有1個(gè)小正方形，因此，選項(xiàng)A符合．故選A．4．【正確答案】C【分析】本題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值時(shí)，n是負(fù)數(shù)，據(jù)此解答即可．【詳解】解：，故選C．5．【正確答案】C【分析】本題考查了解一元一次不等式組，分別求出每個(gè)不等式的解集，取解集的公共部分即可求解，掌握解一元一次不等式組的步驟是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，由①得，，由②得，，∴不等式組的解集為，故選．6．【正確答案】A【分析】此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，找出數(shù)字之間的排列規(guī)律，利用拐角處數(shù)字的差的規(guī)律解決問題．根據(jù)題意單獨(dú)把每個(gè)數(shù)對中的第一個(gè)或第二個(gè)數(shù)字按順序排列起來研究，可發(fā)現(xiàn)第個(gè)數(shù)對的第一個(gè)數(shù)為：，第個(gè)數(shù)對的第二個(gè)數(shù)：，即可求解．【詳解】解：每個(gè)數(shù)對的第一個(gè)數(shù)分別為3，7，13，21，31，…即：，，，，，…則第個(gè)數(shù)對的第一個(gè)數(shù)為：，每個(gè)數(shù)對的第二個(gè)數(shù)分別為5，10，17，26，37，…即：；；；；…，則第個(gè)數(shù)對的第二個(gè)數(shù)：，∴第n個(gè)數(shù)對為：，即第12個(gè)數(shù)對為：．故選A．7．【正確答案】C【分析】本題考查了垂直平分線的作法及性質(zhì)等知識．由作圖過程可知：，再根據(jù)求解即可．【詳解】解：由作圖過程可知：，∴，∵，，∴的周長為．故選C．8．【正確答案】D【分析】本題主要查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例，菱形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例，菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)菱形的性質(zhì)，可得，，，再由相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例，逐項(xiàng)判斷，即可求解．【詳解】解：∵四邊形是菱形，∴，，，∴，，∴，，，故A、B、C選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；∴，∴，故D選項(xiàng)正確，符合題意；故選D9．【正確答案】A【分析】本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用、兩點(diǎn)之間的距離公式、軸對稱的性質(zhì)、點(diǎn)坐標(biāo)與軸對稱變換等知識，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．先利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)的解析式，從而可得點(diǎn)的坐標(biāo)，再作點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連接，則可得和點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得當(dāng)點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，最小值為的長，由此即可得．【詳解】解：將點(diǎn)代入反比例函數(shù)得：，∴反比例函數(shù)的解析式為，將點(diǎn)代入得：，∴，如圖，作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，則，，∴，由兩點(diǎn)之間線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，最小值為，即的最小值為，故選A．10．【正確答案】D【分析】本題主要考查從函數(shù)圖象中獲取有用信息的能力，求出小海變速前的速度為，可得小海變速后的速度為，加速后所用時(shí)間為，再列式計(jì)算即可．【詳解】解：小海變速前的速度為，∵小海從超市出來后的速度變?yōu)樵瓉淼?.2倍，∴小海變速后的速度為，∵，∴小海在超市購物用了；故選D．11．【正確答案】【分析】本題考查求函數(shù)自變量取值范圍，根據(jù)分式有意義的條件，分母不能為零列式求解即可．【詳解】解：在函數(shù)中，分母，解得．12．【正確答案】/【分析】本題考查了用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解，一個(gè)多項(xiàng)式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進(jìn)行因式分解，同時(shí)因式分解要徹底，直到不能分解為止．先提公因式，再利用完全平方公式繼續(xù)分解即可．【詳解】解：．13．【正確答案】【分析】本題考查了二次根式的加減運(yùn)算，掌握二次根式的性質(zhì)和加減運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)新運(yùn)算規(guī)則列出算式計(jì)算即可求解，【詳解】解：由題意得，.14．【正確答案】4【分析】本題考查了圓周角定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，連接，根據(jù)圓周角定理求出的度數(shù)，即可得出是等邊三角形，從而求出的長．【詳解】解：如圖，連接， ∵，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∵的半徑為4，∴.15．【正確答案】【分析】本題主要考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的步驟是解題的關(guān)鍵．通過尋找最簡公分母去分母，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解，并對方程的解進(jìn)行檢驗(yàn)即可．【詳解】解：，方程兩邊同乘最簡公分母，得，整理得，解得，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，∴是原方程的解．16．【正確答案】9【分析】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用物高與像高的比等于物距與像距的比來建立等式求解．根據(jù)小孔成像原理，利用物高、像高、物距、像距之間的比例關(guān)系求解像高．【詳解】解：設(shè)光屏上像的高度為．在小孔成像中，物高與像高的比等于物距與像距的比，已知物距，像距，蠟燭火焰高度（物高），根據(jù)比例關(guān)系，即，解得.17．【正確答案】【分析】把半徑和圓心角代入弧長公式即可；【詳解】故填：．18．【正確答案】【分析】本題主要考查了概率公式應(yīng)用，總共有12種等可能情況，其中抽到女生的有4種情況，根據(jù)概率公式計(jì)算即可．【詳解】解：九年一班有12名同學(xué)，隨機(jī)抽出一名同學(xué)代表班級參加比賽，所有可能的結(jié)果有12種，且每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等；其中抽出的同學(xué)是女生的結(jié)果有4種，因此概率為：．19．【正確答案】10或6【分析】根據(jù)題意分情況作圖，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形及相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】如圖，當(dāng)E點(diǎn)在AB上，F(xiàn)點(diǎn)在CA延長線上時(shí)，作DGAC，交AB于G點(diǎn)∵△ABC為等邊三角形，∴∠B=∠C=∠BAC=60°∵∠GDB=∠C=60°，∠BGD=∠BAC=60°∴△BDG為等邊三角形，設(shè)CD=x，則BD=DG=15-x∵∴DE=FE，又∠DEG=∠FEA，∠EGD=∠EAF=120°∴△DEG≌△FEA∴AF=DG=15-x在Rt△FCD中，∠DFC=90°-∠C=30°∴FC=2CD=2x∴AF=2x-15∴15-x=2x-15解得x=10如圖，當(dāng)E點(diǎn)在AB延長線上，F(xiàn)點(diǎn)在AC上時(shí)，作DGAB，交AC于G點(diǎn)同理可得△DGC是等邊三角形設(shè)CD=x，∴DG=x∴AE=BE-AB=2BD-AB=2(15-x)-15=15-2x∵DGBE∴△FDG∽△FEA∵∴DG=2EA∴x=2（15-2x）解得x=6∴的長為10或6．20．【正確答案】②③④【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，求出的長，證明四邊形為平行四邊形，得到判斷①；平行面積轉(zhuǎn)化得到，得到判斷②；證明，得到，推出，求出的度數(shù)，推出，進(jìn)而得到，推出四邊形為菱形，判斷③；作交的延長線于點(diǎn)，得到為等腰直角三角形，設(shè)，則，勾股定理求出的值，進(jìn)而求出的長，判斷④即可．【詳解】解：∵正方形的邊長為2，∴，，∴，∵，，∴四邊形為平行四邊形，∴；故①錯(cuò)誤；∵，∴，∵，∴；故②正確；∵，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵四邊形為平行四邊形，∴四邊形為菱形；故③正確；作交的延長線于點(diǎn)，∵，∴，∴為等腰直角三角形，∴，，設(shè)，則，∵四邊形為菱形，∴，在中，由勾股定理，得，解得或（舍去），∴，∴，∴；故④正確.21．【正確答案】；．【分析】本題主要考查了分式的化簡求值，特殊角三角函數(shù)值的混合計(jì)算，分母有理化，先把原代數(shù)式中第一個(gè)分式的分子分母同時(shí)分解因式后約分化簡，再計(jì)算分式減法，接著根據(jù)特殊角三角函數(shù)值求出x的值，最后代值計(jì)算即可．【詳解】解：，∵∴原式．22．【正確答案】（1）見詳解（2）見詳解（3）【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，取格點(diǎn)C，使，，即可．（2）取與格線的交點(diǎn)E，使，即可．（3）取格點(diǎn)G，H，根據(jù)，得，根據(jù),，根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】（1）解：取格點(diǎn)C，使，，點(diǎn)C即為所求作，如圖：（2）解：取與格線的交點(diǎn)E，使，點(diǎn)E即為所求作，如圖：理由：取格點(diǎn)G，H，∵，∴，∴，∵，∴，由旋轉(zhuǎn)知，，∴，∴．（3）解：∵，∴，∵，∴，∴．23．【正確答案】（1）共調(diào)查了200名學(xué)生；（2）見詳解；（3）估計(jì)該校最喜歡“滑雪”運(yùn)動(dòng)的學(xué)生有660人．【分析】本題主要考查條形統(tǒng)計(jì)圖以及用樣本估計(jì)總體數(shù)量，根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖準(zhǔn)確找出相關(guān)數(shù)據(jù)，是解題的關(guān)鍵．（1）用喜歡冰球的學(xué)生人數(shù)對應(yīng)的百分比，即可求解；（2）先求出喜歡冰壺的學(xué)生人數(shù)，再補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖即可；（3）用最喜歡高山滑雪的比例乘以3000，即可求解．【詳解】（1）解：（人）答：共調(diào)查了200名學(xué)生．（2）解：（人）如圖：（3）解：（人）答：估計(jì)該校最喜歡“滑雪”運(yùn)動(dòng)的學(xué)生有660人．24．【正確答案】（1）①見詳解；②，理由見詳解；（2），理由見詳解；（3）【分析】（1）①證明：，再證明即可；②由和關(guān)于對稱，可得．證明，從而可得結(jié)論；（2）如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，得，證明，．可得，證明，，可得，則，可得，從而可得結(jié)論；（3）由，可得，結(jié)合，求解，，如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)．可得，，可得，再利用余弦的定義可得答案．【詳解】（1）①證明：∵和都是等邊三角形，∴，，，∴，∴，∴．∴．

②．理由如下：∵和關(guān)于對稱，∴．∵，∴．∴．（2）．理由如下：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，得．

∵和關(guān)于對稱，∴，．∵，∴，∴．∴．∵是直角三角形，，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴．∴，即．（3）∵，∴，∵，∴，∴．如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)．

∵，∴，．∴．∴．25．【正確答案】（1）A、B兩種工藝品每件的進(jìn)價(jià)分別為28元和33元（2）該專營店最多購進(jìn)A種工藝品30件【分析】本題考查的是二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，確定相等關(guān)系與不等關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．（1）設(shè)A、B兩款紀(jì)念品每件的進(jìn)價(jià)分別為x元和y元，再由“若購進(jìn)A款紀(jì)念品3件和B款紀(jì)念品2件共需150元，若購進(jìn)A款紀(jì)念品1件和B款紀(jì)念品4件共需160元”列方程，再解方程即可；（2）設(shè)該專營店購進(jìn)A種工藝品a件，由總獲利不低于540元，再列不等式，再解不等式即可．【詳解】（1）解：設(shè)A、B兩款紀(jì)念品每件的進(jìn)價(jià)分別為x元和y元，則，解得：，答：A、B兩種工藝品每件的進(jìn)價(jià)分別為28元和33元．（2）解：設(shè)該專營店購進(jìn)A種工藝品a件，則，解得：．答：該專營店最多購進(jìn)A種工藝品30件．26．