/山東省濟寧市魚臺縣12月月考2025?2026學(xué)年上學(xué)期九年級月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題1．窗欞是中國傳統(tǒng)木構(gòu)建筑的重要元素，既散發(fā)著古典之韻，又展現(xiàn)了幾何之美．下列窗欞圖案中，是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的是（

）A． B． C． D．2．若點都在反比例函數(shù)的圖象上，則，的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．3．如圖為人行天橋的示意圖，若高長為10米，斜道長為30米，則的值為（

）A． B．3 C． D．4．關(guān)于反比例函數(shù)，下列說法中錯誤的是（

）A．當時，隨的增大而增大 B．圖象位于第二、四象限C．點在函數(shù)圖象上 D．當時，5．如圖，小麗從點出發(fā)，沿坡度為的坡道向上走了120米到達點，則她沿垂直方向升高了（

）A．米 B．米 C．米 D．米6．如圖，，為的弦，連接，，．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．7．如圖，A，B均在方格紙的格點上．在方格紙內(nèi)另取格點C，D，連接，交線段于點P．若要使點P把線段分成的兩條線段，則（

）A．只有方法1對 B．只有方法2對 C．方法1，2都對 D．方法1，2都錯8．如圖所示，小亮設(shè)計了一個探究杠桿平衡條件的實驗：在一根勻質(zhì)的木桿中點O左側(cè)固定位置B處懸掛重物A，右側(cè)用一個彈簧測力計向下拉，改變彈簧測力計與支點O的距離，觀察彈簧測力計的示數(shù)的變化情況．實驗數(shù)據(jù)記錄如下表：……1015202530…………453022.51815……下列說法不正確的是（

）A．彈簧測力計的示數(shù)與支點O的距離之間關(guān)系的圖象如圖B．y與x的函數(shù)關(guān)系式為C．當彈簧測力計的示數(shù)為時，彈簧測力計與O點的距離是37.5D．隨著彈簧測力計與O點的距離不斷增大，彈簧測力計上的示數(shù)不斷減小9．如圖，在平面直角坐標系中，等邊的頂點，，已知與位似，位似中心是原點O，且的面積是面積的16倍，則點A對應(yīng)點的坐標為（

）

A． B．或C． D．或10．如圖，點A為反比例函數(shù)圖象上的一點，連接，過點O作的垂線與反比例的圖象交于點B，則的值為（

）A． B． C． D．二、填空題11．已知方程有兩個相等的實數(shù)根，則的值為．12．如圖，直線交于點，，若，則的值為．13．濟南大明湖畔的“超然樓”被稱作“江北第一樓”．某校數(shù)學(xué)社團的同學(xué)對超然樓的高度進行了測量，具體過程如下：如圖，將無人機垂直上升至距水平地面的C處，測得超然樓頂端A的俯角為，底端B的俯角為，則測得超然樓的高度是m．（參考數(shù)據(jù)：）14．如圖，正八邊形的頂點，，，在坐標軸上，頂點，，，在第一象限．點在反比例函數(shù)的圖象上，若，則的值為．15．如圖，已知中，，，，點M是內(nèi)部一點，連接、、，若，則的最小值為．三、解答題16．（1）解方程：．（2）計算：．17．實驗中學(xué)校開設(shè)的活動課程受到同學(xué)的熱烈歡迎，其中在九年級開設(shè)的蘆葦席編織課程更是火爆，因名額有限，每班只能派一個同學(xué)參加．九年級5班的小俊、小珂和家樂都想?yún)⒓?，于是三人決定一起做“摸牌”游戲，獲勝者參加．規(guī)則如下：將牌面數(shù)字分別為1，2，3的三張紙牌（除牌面數(shù)字外，其余都相同）背面朝上，洗勻后放在桌面上，小俊先從中隨機摸出一張，記下數(shù)字后放回并洗勻，小珂再從中隨機摸出一張．若兩次摸到的數(shù)字之和大于4，則小俊勝；若和小于4，則小珂勝；若和等于4，則家樂獲勝．（1）請用列表或畫樹狀圖的方法，說明小俊參加活動課程的概率是多少？（2）你認為這個游戲公平嗎？為什么？18．如圖，在中，點P是的邊上的一點．（1）以上三人方法正確的有哪些________．（填序號）（2）選擇一種正確的方法，求證：；（3）在（2）的條件下，，若，，求的長．19．小軍將一副三角板按如圖方式擺放在平面直角坐標系中，其中含角的三角板的直角邊落在軸上，含角的三角板的直角頂點的坐標為，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點．（1）求反比例函數(shù)的表達式．（2）將三角板繞點順時針旋轉(zhuǎn)邊上的點恰好落在反比例函數(shù)圖象上，求旋轉(zhuǎn)前點的坐標．20．綜合與實踐：確定建筑物的打印模型的高度項目提出：圖是某城市規(guī)劃展覽館．樹人中學(xué)的打印社團為展示城市文化，準備制作該城市規(guī)劃展覽館的打印模型，需要測量并計算展覽館高度，為制作打印模型提供數(shù)據(jù)．項目報告表

時間：2025年5月29日項目分析活動目標測量該城市規(guī)劃展覽館的實際高度并換算其打印模型的高度測量工具測角儀、皮尺項目實施任務(wù)一測量數(shù)據(jù)以下是測得的相關(guān)數(shù)據(jù)，并畫出了如圖所示的測量草圖．1．測出測角儀的高．2．利用測角儀測出展覽館頂端A的仰角．3．測出測角儀底端D處到展覽館底端B處之間的距離．任務(wù)二計算實際高度根據(jù)上述測得的數(shù)據(jù)，計算該城市規(guī)劃展覽館的高度．（結(jié)果精確到1m）（參考數(shù)據(jù)：，，）任務(wù)三換算模型高度將該城市規(guī)劃展覽館的高度按等比例縮小，得到其打印模型的高度約為________．（結(jié)果精確到）項目結(jié)果為社團制作城市規(guī)劃展覽館的打印模型提供數(shù)據(jù)請結(jié)合上表中的測量草圖和相關(guān)數(shù)據(jù)，幫助該社團完成任務(wù)二和任務(wù)三．21．如圖，在中，，，點P為線段（不與點A重合）上一點，過點P作交于點Q．設(shè)的長度為x，線段的長度為，等于的周長與的周長之比．（1）求出，分別關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）在平面直角坐標系中畫出函數(shù)，取值范圍內(nèi)的圖象；求出它們的交點坐標；（3）請寫出函數(shù)的一條性質(zhì)，并結(jié)合函數(shù)圖象直接寫出與的取值范圍．22．如圖，是的外接圓，點在邊上，的平分線交于點，連接、，過點作的平行線，與的延長線相交于點．（1）求證：是的切線；（2）求證：；（3）當，時，求線段的長．23．已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過，兩點，其中a，b，c為常數(shù)，且．（1）求a，c的值；（2）若該二次函數(shù)的最小值是，且它的圖象與x軸交于點A，B（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C．①求該二次函數(shù)的解析式，并直接寫出點A，B的坐標；②如圖，在第三象限內(nèi)二次函數(shù)的圖象上有一動點P，連接，與直線交于點E，當?shù)闹底畲髸r，求點P的坐標，及的值．

答案1．【正確答案】C【分析】本題考查了軸對稱圖形，中心對稱圖形的識別．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握：在平面內(nèi)，一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形叫做軸對稱圖形；在平面內(nèi)，把一個圖形繞著某個點旋轉(zhuǎn)180度，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形．根據(jù)中心對稱和軸對稱的定義，進行判斷即可．【詳解】解：A、既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，不符合題意；B、既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，不符合題意；C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，符合題意；D、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，不符合題意；故選C．2．【正確答案】D【分析】本題考查比較反比例函數(shù)的函數(shù)值的大小關(guān)系，根據(jù)反比例函數(shù)的增減性，進行判斷即可．【詳解】解：∵，∴反比例函數(shù)的圖象過二，四象限，在每一個象限內(nèi)，隨著的增大而增大，∵點都在反比例函數(shù)的圖象上，且，∴；故選D．3．【正確答案】D【分析】本題考查了正弦，理解正弦的定義是解題關(guān)鍵．根據(jù)正弦的定義求解即可．【詳解】解：∵長為10米，斜道長為30米，∴根據(jù)題意得：，故選D4．【正確答案】D【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)判斷即可；【詳解】解：∵，∴當時，隨的增大而增大，故A不符合題意；∵，∴圖象位于第二、四象限，故B不符合題意；當時，，故C不符合題意；當時，

，故D錯誤，符合題意；故答案選D．5．【正確答案】D【分析】本題考查了解直角三角形，熟練掌握解直角三角形的方法是解題關(guān)鍵．如圖（見詳解），根據(jù)可得的長，由此即可得．【詳解】解：如圖，由題意得：，米，∴，∴米，即她沿垂直方向升高了米，故選D．6．【正確答案】C【分析】該題考查了圓周角定理，根據(jù)同弧所對圓周角等于圓心角的一半得出，即可求解．【詳解】解：∵，∴，∴，故選C．7．【正確答案】C【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)逐一判斷即可，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：方法，連接，，由網(wǎng)格可知，，，∴，∴；方法，連接，，由網(wǎng)格可知，，，∴，∴；綜上可知：方法，都對，故選．8．【正確答案】C【分析】仔細觀察表格，在坐標系中分別描出各點，并平滑曲線連接這些點，即可畫出函數(shù)圖象；觀察所畫圖形，回想常見幾種函數(shù)的圖象特征，即可判斷出函數(shù)類型，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)關(guān)系式；把代入上面所得關(guān)系式求解，并根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)判斷彈簧秤與O點的距離不斷增大時的彈簧測力計示數(shù)變化情況．【詳解】解：由圖象猜測y與x之間的函數(shù)關(guān)系為反比例函數(shù)．所以設(shè)把代入求得∴將其余各點代入驗證均適合，∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為，把代入得，∴當彈簧測力計的示數(shù)為時，彈簧測力計與O點的距離是，隨著彈簧測力計與O點的距離不斷增大，彈簧測力計上的示數(shù)不斷減?。蔬xC．9．【正確答案】D【分析】本題考查的是位似變換的性質(zhì)，根據(jù)位似變換的性質(zhì)以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點的坐標的比等于k或，計算即可．【詳解】解：∵等邊的頂點，，∴，過A作軸于C，

∵是等邊三角形，∴，∴，∴，∵與位似，位似中心是原點O，且的面積是面積的16倍，∴與的位似比為，∴點A的對應(yīng)點的坐標是或，即或，故選D．10．【正確答案】A【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，三角形相似的判定和性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．過A作軸于C，過B作軸于D，證明，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方求解即可．【詳解】解：過A作軸于C，過B作軸于D，∴，，，∵，∴，∴，∴，即，∴（負值舍去），故選A．11．【正確答案】【分析】本題考查根的判別式，當時，方程有兩個相等的實數(shù)根，由此可解．【詳解】解：方程有兩個相等的實數(shù)根，，解得.12．【正確答案】【分析】本題考查了平行線分線段成比例的知識點，根據(jù)平行線分線段成比例找出線段之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．由平行線分線段成比例可得，，從而可得答案．【詳解】解：∵，，.13．【正確答案】51【分析】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用，理解題意，作出輔助線是解題關(guān)鍵．延長交距水平地面的水平線于點D，根據(jù)，求出，即可求解．【詳解】解：延長交距水平地面的水平線于點D，如圖，由題可知，，設(shè)，∵，∴，∴，∴，∴．14．【正確答案】/【分析】此題考查了正多邊形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、求反比例函數(shù)是比例系數(shù)．作軸于點，求出，根據(jù)在反比例函數(shù)的圖象上即可得到答案．【詳解】解：作軸于點，在正八邊形中，內(nèi)角的度數(shù)，∵軸，∴軸，∴三點共線，∵，∴，∴是等腰直角三角形，同理可得，是等腰直角三角形，∴∴，∵在反比例函數(shù)的圖象上，∴.15．【正確答案】【分析】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，解題關(guān)鍵構(gòu)造相似三角形轉(zhuǎn)化線段關(guān)系得出.在上取點，使，構(gòu)造出，得，再根據(jù)兩點之間線段最短得出即當在上時，取最小值.【詳解】解：在上取點，使，又∵，，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，即當在上時，取最小值，為.故答案為.16．【正確答案】（1），；（2）2【分析】（1）運用因式分解法解方程；（2）把特殊角的三角函數(shù)值代入計算即可；本題考查一元二次方程與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值以及運用因式分解法解一元二次方程是解題關(guān)鍵．【詳解】解；（1），，，；（2）．17．【正確答案】（1）（2）游戲公平，理由見詳解【分析】本題主要考查樹狀圖法或列表法求概率、游戲的公平性，（1）畫出樹狀圖得到所有符合題意的等可能性的結(jié)果數(shù)，再找到兩次數(shù)字之和大于4的結(jié)果，然后根據(jù)概率計算公式計算即可．（2）結(jié)合（1）中得一共有9種等可能性的結(jié)果數(shù)，進而求出兩次摸到的數(shù)字之和大于4、兩次摸到的數(shù)字之和小于4和兩次摸到的數(shù)字之和等于4的概率，即可判定．【詳解】（1）解：畫樹狀圖如下所示：由樹狀圖可知，一共有9種等可能性的結(jié)果數(shù)，其中兩次摸到的數(shù)字之和大于4的結(jié)果數(shù)有3種，小俊獲勝的概率為，答：小俊參加活動課程的概率是；（2）解：游戲公平；理由：由（1）可知，一共有9種等可能性的結(jié)果數(shù)，兩次摸到的數(shù)字之和大于4的結(jié)果數(shù)有3種，兩次摸到的數(shù)字之和小于4的結(jié)果數(shù)有3種，兩次摸到的數(shù)字之和等于4的結(jié)果數(shù)有3種，∴小俊獲勝的概率為；小珂獲勝的概率為；家樂獲勝的概率為，∵，游戲公平．18．【正確答案】（1）①②（2）見詳解（3）2【分析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、解一元二次方程，熟知相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．（1）有兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似，據(jù)此可得小星的結(jié)果；有兩邊對應(yīng)成比例，且它們的夾角相等的兩個三角形相似，據(jù)此可得小紅的結(jié)果；有兩邊對應(yīng)成比例，且一組角對應(yīng)相等（不是成比例的兩邊的夾角）的兩個三角形不一定相似，據(jù)此可得小亮的結(jié)果；（2）見詳解（1）；（3）利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：①小星的證明：∵，∴；②小紅的證明：∵，∴；③小亮的證明：由不能證明，∴小星和小紅對，小亮錯．（2）證明：小星的證明：∵，∴；小紅的證明：∵，∴．（3）解：∵，∴，∵，，∴，解得．（負值已舍去）19．【正確答案】（1）反比例函數(shù)的表達式為：（2）【分析】（1）把的坐標為代入反比例函數(shù)即可得到答案；（2）求解，證明，求解，如圖，連接，旋轉(zhuǎn)到的位置；可得，結(jié)合的對應(yīng)點在的圖象上，可得，進一步求解即可.【詳解】（1）解：∵含角的三角板的直角頂點的坐標為，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點．∴，∴反比例函數(shù)的表達式為：；（2）解：∵，∴，∵含角的三角板為等腰直角三角形，，∴，，如圖，連接，旋轉(zhuǎn)到的位置；∴，∵的對應(yīng)點在的圖象上，∴，∴，由旋轉(zhuǎn)可得：，∴.20．【正確答案】該城市規(guī)劃展覽館的高度為；打印模型的高度約為【分析】本題考查了解直角三角形的實際應(yīng)用，比例的基本性質(zhì)，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．任務(wù)二：先由矩形得到，，然后解即可；任務(wù)三：由比例尺等于圖上距離比上實際距離求解即可．【詳解】解：任務(wù)二：由題意得為矩形，∴，，∵在中，∴，∴，答：該城市規(guī)劃展覽館的高度為；任務(wù)三：設(shè)打印模型的高度約為，則由題意得：，解得：，答：打印模型的高度約為．21．【正確答案】（1）（2）見詳解；（3）隨x增大而減?。ù鸢覆晃ㄒ唬?；【分析】本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，相似三角形的性質(zhì)與判定：（1）證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，據(jù)此可得答案；（2）根據(jù)（1）所求利用描點法畫出對應(yīng)的函數(shù)圖象，再聯(lián)立兩函數(shù)解方程即可求出交點坐標．（3）根據(jù)函數(shù)的圖象寫出一條性質(zhì)數(shù)即可，再求出與的取值范圍即可．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，∴，∴；（2）解：如圖所示，即為所求；聯(lián)立兩函數(shù)：解得：或（舍去），故兩函數(shù)圖象的交點坐標為：．（3）解：由函數(shù)圖象可知，隨x增大而減小；∵，∵，∴