第1頁/共1頁2025年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（北京卷）數(shù)學(xué)本試卷共12頁，150分.考試時長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.第一部分（選擇題

共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1.集合，則（）A. B. C. D.2.已知復(fù)數(shù)z滿足，則（）A. B. C.4 D.83.雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.4.為得到函數(shù)圖象，只需把函數(shù)的圖象上的所有點（）A.橫坐標(biāo)變成原來的倍，縱坐標(biāo)不變 B.橫坐標(biāo)變成原來的2倍，縱坐標(biāo)不變C.縱坐標(biāo)變成原來的倍，橫坐標(biāo)不變 D.縱坐標(biāo)變成原來的3倍，橫坐標(biāo)不變5.已知是公差不為0的等差數(shù)列，，若成等比數(shù)列，則（）A. B. C.16 D.186.已知，則（）A. B.C. D.7.已知函數(shù)定義域為D，則“函數(shù)的值域為”是“對任意，存在，使得”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件8.設(shè)函數(shù)，若恒成立，且在上存在零點，則最小值為（）A.8 B.6 C.4 D.39.在一定條件下，某人工智能大語言模型訓(xùn)練N個單位的數(shù)據(jù)量所需要時間（單位：小時），其中k為常數(shù)．在此條件下，已知訓(xùn)練數(shù)據(jù)量N從個單位增加到個單位時，訓(xùn)練時間增加20小時；當(dāng)訓(xùn)練數(shù)據(jù)量N從個單位增加到個單位時，訓(xùn)練時間增加（單位：小時）（）A.2 B.4 C.20 D.4010.已知平面直角坐標(biāo)系中，，，設(shè)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.第二部分（非選擇題

共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.拋物線的頂點到焦點的距離為3，則________．12.已知，則________；________．13.已知，且，，寫出滿足條件的一組________，_________．14.某科技興趣小組通過3D打印機(jī)的一個零件可以抽象為如圖所示的多面體，其中ABCDEF是一個平行多邊形，平面平面ABC，平面平面ABC，，，若，則該多面體的體積為________．15.關(guān)于定義域為R函數(shù)，以下說法正確的有________．①存在在R上單調(diào)遞增的函數(shù)使得恒成立；②存在在R上單調(diào)遞減的函數(shù)使得恒成立；③使得恒成立的函數(shù)存在且有無窮多個；④使得恒成立的函數(shù)存在且有無窮多個．三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.在中，．（1）求c；（2）在以下三個條件中選擇一個作為已知，使得存在，求BC的高．①；②；③面積為．17.四棱錐中，與為等腰直角三角形，，E為BC的中點．（1）F為中點，G為PE的中點，證明：面PAB；（2）若面ABCD，，求AB與面PCD所成角的正弦值．18.有一道選擇題考查了一個知識點，甲、乙兩校各隨機(jī)抽取100人，甲校有80人答對，乙校有75人答對，用頻率估計概率．（1）從甲校隨機(jī)抽取1人，求這個人做對該題目的概率．（2）從甲、乙兩校各隨機(jī)抽取1人，設(shè)X為做對的人數(shù)，求恰有1人做對的概率以及X的數(shù)學(xué)期望．（3）若甲校同學(xué)掌握這個知識點則有的概率做對該題目，乙校同學(xué)掌握這個知識點則有的概率做對該題目，未掌握該知識點的同學(xué)都是從四個選項里面隨機(jī)選擇一個，設(shè)甲校學(xué)生掌握該知識點的概率為，乙校學(xué)生掌握該知識點的概率為，試比較與的大小（結(jié)論不要求證明）19.已知的離心率為，橢圓上的點到兩焦點距離之和為4，（1）求橢圓方程；（2）設(shè)O為原點，為橢圓上一點，直線與直線，交于A，B．與的面積為，比較與的大小．20.函數(shù)的定義域為，為處的切線．（1）的最大值；（2），除點A外，曲線均在上方；（3）若時，直線過A且與垂直，，分別于x軸的交點為與，求的取值范圍．21.，從M中選出n個有序數(shù)對構(gòu)成一列：．相鄰兩項滿足：或，稱為k列．（1）若k列的第一項為，求第二項．（2）若為k列，且滿足i為奇數(shù)時，：i為偶數(shù)時，；判斷：與能否同時在中，并說明；（3）證明：M中所有元素都不構(gòu)成k列．

2025年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（新高考Ⅱ卷）注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在試卷上無效.3.考試結(jié)束后，本試卷和答題卡一并交回.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.樣本數(shù)據(jù)2，8，14，16，20的平均數(shù)為（）A.8 B.9 C.12 D.182.已知，則（）A. B. C. D.13.已知集合則（）A. B.C. D.4.不等式解集是（）A. B.C. D.5.在中，，，，則（）A. B. C. D.6.設(shè)拋物線的焦點為點A在C上，過A作的準(zhǔn)線的垂線，垂足為B，若直線BF的方程為，則（）A.3 B.4 C.5 D.67.記為等差數(shù)列的前n項和，若則（）A B. C. D.8.已知，，則（）A. B. C. D.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.9.記為等比數(shù)列的前n項和，為的公比，若，則（）A B.C. D.10.已知是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，則（）A. B.當(dāng)時，C.當(dāng)且僅當(dāng) D.是的極大值點11.雙曲線的左、右焦點分別是，左、右頂點分別為，以為直徑的圓與C的一條漸近線交于M、N兩點，且，則（）A. B.C.C的離心率為 D.當(dāng)時，四邊形的面積為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知平面向量若，則___________13.若是函數(shù)極值點，則___________14.一個底面半徑為，高為的封閉圓柱形容器（容器壁厚度忽略不計）內(nèi)有兩個半徑相等的鐵球，則鐵球半徑的最大值為____________．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)．（1）求;（2）設(shè)函數(shù)，求的值域和單調(diào)區(qū)間．16.已知橢圓的離心率為，長軸長為4．（1）求C的方程；（2）過點的直線l與C交于兩點，為坐標(biāo)原點，若的面積為，求．17.如圖，在四邊形中，，F(xiàn)為CD的中點，點E在AB上，，，將四邊形沿翻折至四邊形，使得面與面EFCB所成的二面角為．（1）證明:平面；（2）求面與面所成的二面角的正弦值．18已知函數(shù)，其中．（1）證明：在區(qū)間存在唯一的極值點和唯一的零點；（2）設(shè)分別為在區(qū)間的極值點和零點.（i）設(shè)函數(shù)·證明：在區(qū)間單調(diào)遞減；（ii）比較與的大小，并證明你的結(jié)論．19.甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球練習(xí)，每個球勝者得1分，負(fù)者得0分．設(shè)每個球甲勝的概率為，乙勝的概率為q，，且各球的勝負(fù)相互獨立，對正整數(shù)，記為打完k個球后甲比乙至少多得2分的概率，為打完k個球后乙比甲至少多得2分的概率．（1）求（用p表示）．（2）若，求p．（3）證明：對任意正整數(shù)m，．2025年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（新高考Ⅱ卷）注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在試卷上無效.3.考試結(jié)束后，本試卷和答題卡一并交回.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.樣本數(shù)據(jù)2，8，14，16，20的平均數(shù)為（）A.8 B.9 C.12 D.18【答案】C【解析】【分析】由平均數(shù)的計算公式即可求解.【詳解】樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為.故選：C.2.已知，則（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】分析】由復(fù)數(shù)除法即可求解.【詳解】因為，所以.故選：A.3.已知集合則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求出集合后結(jié)合交集的定義可求.【詳解】，故，故選：D.4.不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】移項后轉(zhuǎn)化為求一元二次不等式的解即可.【詳解】即為即，故，故解集為，故選：C.5.在中，，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由余弦定理直接計算求解即可.【詳解】由題意得，又，所以.故選：A6.設(shè)拋物線的焦點為點A在C上，過A作的準(zhǔn)線的垂線，垂足為B，若直線BF的方程為，則（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】先由直線求出焦點和即拋物線的方程，進(jìn)而依次得拋物線的準(zhǔn)線方程和點B，從而可依次求出和，再由焦半徑公式即可得解.【詳解】對，令，則，所以，即拋物線，故拋物線的準(zhǔn)線方程為，故，則，代入拋物線得.所以.故選：C7.記為等差數(shù)列的前n項和，若則（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由等差數(shù)列前n項和公式結(jié)合題意列出關(guān)于首項和公差d的方程求出首項和公差d，再由等差數(shù)列前n項和公式即可計算求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則由題可得，所以.故選：B.8.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用二倍角余弦公式得，則，最后再根據(jù)兩角差正弦公式即可得到答案.【詳解】，因為，則，則，則.故選：D.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.9.記為等比數(shù)列的前n項和，為的公比，若，則（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】對A，根據(jù)等比數(shù)列通項公式和前項和公式得到方程組，解出，再利用其通項公式和前項和公式一一計算分析即可.【詳解】對A，由題意得，結(jié)合，解得或（舍去），故A正確；對B，則，故B錯誤；對C，，故C錯誤；對D，，，則，故D正確；故選：AD.10.已知是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，則（）A. B.當(dāng)時，C.當(dāng)且僅當(dāng) D.是的極大值點【答案】ABD【解析】【分析】對A，根據(jù)奇函數(shù)特點即可判斷；對B，利用代入求解即可；對C，舉反例即可；對D，直接求導(dǎo)，根據(jù)極大值點判定方法即可判斷.【詳解】對A，因為定義在上奇函數(shù)，則，故A正確；對B，當(dāng)時，，則，故B正確；對C，，故C錯誤；對D，當(dāng)時，，則，令，解得或（舍去），當(dāng)時，，此時單調(diào)遞增，當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減，則是極大值點，故D正確；故選：ABD.11.雙曲線的左、右焦點分別是，左、右頂點分別為，以為直徑的圓與C的一條漸近線交于M、N兩點，且，則（）A. B.C.C的離心率為 D.當(dāng)時，四邊形的面積為【答案】ACD【解析】【分析】由平行四邊形的性質(zhì)判斷A；由且結(jié)合在漸近線上可求的坐標(biāo)，從而可判斷B的正誤，或者利用三角函數(shù)定義和余弦定理也可判斷；由中線向量結(jié)合B的結(jié)果可得，計算后可判斷C的正誤，或者利用并結(jié)合離心率變形公式即可判斷；結(jié)合BC的結(jié)果求出面積后可判斷D的正誤.【詳解】不妨設(shè)漸近線為，在第一象限，在第三象限，對于A，由雙曲線的對稱性可得為平行四邊形，故，故A正確；對于B，方法一：因為在以為直徑的圓上，故且，設(shè)，則，故，故，由A得，故即，故B錯誤；方法二：因為，因為雙曲線中，，則，又因為以為直徑的圓與的一條漸近線交于、，則，則若過點往軸作垂線，垂足為，則，則點與重合，則軸，則，方法三：在利用余弦定理知，，即，則，則為直角三角形，且，則，故B錯誤；對于C，方法一：因為，故，由B可知，故即，故離心率，故C正確；方法二：因為，則，則，故C正確；對于D，當(dāng)時，由C可知，故，故，故四邊形為，故D正確，故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知平面向量若，則___________【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)化運(yùn)算得，再利用向量垂直的坐標(biāo)表示得到方程，解出即可.【詳解】，因為，則，則，解得.則，則.故答案為：.13.若是函數(shù)的極值點，則___________【答案】【解析】【分析】由題意得即可求解，再代入即可求解.【詳解】由題意有，所以，因為是函數(shù)極值點，所以，得，當(dāng)時，，當(dāng)單調(diào)遞增，當(dāng)單調(diào)遞減，當(dāng)單調(diào)遞增，所以是函數(shù)的極小值點，符合題意；所以.故答案為：.14.一個底面半徑為，高為的封閉圓柱形容器（容器壁厚度忽略不計）內(nèi)有兩個半徑相等的鐵球，則鐵球半徑的最大值為____________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)圓柱與球的性質(zhì)以及球的體積公式可求出球的半徑；【詳解】圓柱的底面半徑為，設(shè)鐵球的半徑為r，且，由圓柱與球的性質(zhì)知，即，，故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)．（1）求;（2）設(shè)函數(shù)，求的值域和單調(diào)區(qū)間．【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）直接由題意得，結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性即可得解；（2）由三角恒等變換得，由此可得值域，進(jìn)一步由整體代入法可得函數(shù)單調(diào)區(qū)間.【小問1詳解】由題意，所以；【小問2詳解】由（1）可知，所以，所以函數(shù)的值域為，令，解得，令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.16.已知橢圓的離心率為，長軸長為4．（1）求C的方程；（2）過點的直線l與C交于兩點，為坐標(biāo)原點，若的面積為，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)長軸長和離心率求出基本量后可得橢圓方程；（2）設(shè)出直線方程并聯(lián)立橢圓方程后結(jié)合韋達(dá)定理用參數(shù)表示面積后可求的值，從而可求弦長.【小問1詳解】因為長軸長為4，故，而離心率為，故，故，故橢圓方程為：.【小問2詳解】由題設(shè)直線的斜率不為0，故設(shè)直線，，由可得，故即，且，故，解得，故.17.如圖，在四邊形中，，F(xiàn)為CD的中點，點E在AB上，，，將四邊形沿翻折至四邊形，使得面與面EFCB所成的二面角為．（1）證明:平面；（2）求面與面所成的二面角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）先應(yīng)用線面平行判定定理得出平面及平面，再應(yīng)用面面平行判定定理得出平面平面，進(jìn)而得出線面平行；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用已知條件將點的坐標(biāo)表示出來，然后將平面及平面的法向量求出來，利用兩個法向量的數(shù)量積公式可將兩平面的夾角余弦值求出來，進(jìn)而可求得其正弦值.小問1詳解】設(shè)，所以，因為為中點，所以，因為，，所以是平行四邊形，所以，所以，因為平面平面，所以平面，因為平面平面，所以平面，又，平面，所以平面平面，又平面，所以平面．【小問2詳解】因為，所以，又因為，所以，以為原點，以及垂直于平面的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.因為，平面與平面所成二面角為60°，所以.則，，，，，.所以.設(shè)平面的法向量為，則，所以，令，則，則.設(shè)平面的法向量為，則，所以，令，則，所以.所以.所以平面與平面夾角的正弦值為.18.已知函數(shù)，其中．（1）證明：在區(qū)間存在唯一的極值點和唯一的零點；（2）設(shè)分別為在區(qū)間的極值點和零點.（i）設(shè)函數(shù)·證明：在區(qū)間單調(diào)遞減；（ii）比較與的大小，并證明你的結(jié)論．【答案】（1）證明見解析；（2）（i）證明見解析；（ii），證明見解析.【解析】【分析】（1）先由題意求得，接著構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)工具研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)值情況，從而得到函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得證函數(shù)在區(qū)間上存在唯一極值點；再結(jié)合和時的正負(fù)情況即可得證在區(qū)間上存在唯一零點；（2）（i）由（1）和結(jié)合（1）中所得導(dǎo)函數(shù)計算得到，再結(jié)合得即可得證；（ii）由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減得到，再結(jié)合，和函數(shù)的單調(diào)性以以及函數(shù)值的情況即可得證.【小問1詳解】由題得，因為，所以，設(shè)，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，，令，所以當(dāng)時，，則；當(dāng)時，，則，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上存在唯一極值點，對函數(shù)有在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，所以在上恒成立，又因為，時，所以時，所以存在唯一使得，即在上存在唯一零點.【小問2詳解】（i）由（1）知，則，，則，因為，所以，所以，所以，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；（ii），證明如下：由（i）知：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以即，又，由（1）可知在上單調(diào)遞減，，且對任意，所以.19.甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球練習(xí)，每個球勝者得1分，負(fù)者得0分．設(shè)每個球甲勝的概率為，乙勝的概率為q，，且各球的勝負(fù)相互獨立，對正整數(shù)，記為打完k個球后甲比乙至少多得2分的概率，為打完k個球后乙比甲至少多得2分的概率．（1）求（用p表示）．（2）若，求p．（3）證明：對任意正整數(shù)m，．【答案】（1），（2）（3）證明過程見解析【解析】【分析】（1）直接由二項分布概率計算公式即可求解；（2）由題意，聯(lián)立，即可求解；（3）首先，，同理有，，作差有，另一方面，且同理有，作差能得到，由此即可得證.【小問1詳解】為打完3個球后甲比乙至少多得兩分的概率，故只能甲勝三場，故所求為，為打完4個球后甲比乙至少多得兩分的概率，故甲勝三場或四場，故所求為；【小問2詳解】由（1）得，，同理，若，，則，由于，所以，解得；【小問3詳解】我們有.以及.至此我們得到，，同理有，.故，即.另一方面，由于且同理有.故結(jié)合，就能得到，即，證畢.2025年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（北京卷）數(shù)學(xué)本試卷共12頁，150分.考試時長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.第一部分（選擇題

共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1.集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出集合，再根據(jù)集合的交集運(yùn)算即可解出.【詳解】因為，所以，故選：D.2已知復(fù)數(shù)z滿足，則（）A. B. C.4 D.8【答案】B【解析】【分析】先求出復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)模的公式即可求出．【詳解】由可得，，所以，故選：B.3.雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先將雙曲線方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，求出，即可求出離心率．【詳解】由得，，所以，即，所以，故選：B．4.為得到函數(shù)圖象，只需把函數(shù)的圖象上的所有點（）A.橫坐標(biāo)變成原來倍，縱坐標(biāo)不變 B.橫坐標(biāo)變成原來的2倍，縱坐標(biāo)不變C.縱坐標(biāo)變成原來的倍，橫坐標(biāo)不變 D.縱坐標(biāo)變成原來的3倍，橫坐標(biāo)不變【答案】A【解析】【分析】由，根據(jù)平移法則即可解出．【詳解】因為，所以將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標(biāo)變成原來的倍，縱坐標(biāo)不變，即可得到函數(shù)的圖象，故選：A.5.已知是公差不為0的等差數(shù)列，，若成等比數(shù)列，則（）A. B. C.16 D.18【答案】C【解析】【分析】由等比中項的性質(zhì)結(jié)合等差數(shù)列的基本量運(yùn)算即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為成等比數(shù)列，且，所以，即，解得或（舍去），所以.故選：C.6.已知，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由基本不等式結(jié)合特例即可判斷.【詳解】對于A,當(dāng)時，，故A錯誤；對于BD，取，此時，，故BD錯誤；對于C，由基本不等式可得，故C正確.故選：C.7.已知函數(shù)的定義域為D，則“函數(shù)的值域為”是“對任意，存在，使得”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由函數(shù)值域的概念結(jié)合特例，再根據(jù)充分條件、必要條件的概念即可求解.【詳解】若函數(shù)的值域為，則對任意，一定存在，使得，取，則，充分性成立；取，，則對任意，一定存在，使得，取，則，但此時函數(shù)的值域為，必要性不成立；所以“函數(shù)的值域為”是“對任意，存在，使得”的充分不必要條件.故選：A.8.設(shè)函數(shù)，若恒成立，且在上存在零點，則的最小值為（）A.8 B.6 C.4 D.3【答案】C【解析】【分析】由輔助角公式化簡函數(shù)解析式，再由正弦函數(shù)的最小正周期與零點即可求解.【詳解】函數(shù)，設(shè)函數(shù)的最小正周期為T，由可得，所以，即；又函數(shù)在上存在零點，且當(dāng)時，，所以，即；綜上，的最小值為4.故選：C.9.在一定條件下，某人工智能大語言模型訓(xùn)練N個單位的數(shù)據(jù)量所需要時間（單位：小時），其中k為常數(shù)．在此條件下，已知訓(xùn)練數(shù)據(jù)量N從個單位增加到個單位時，訓(xùn)練時間增加20小時；當(dāng)訓(xùn)練數(shù)據(jù)量N從個單位增加到個單位時，訓(xùn)練時間增加（單位：小時）（）A.2 B.4 C.20 D.40【答案】B【解析】【分析】由題給條件列出不同訓(xùn)練數(shù)據(jù)量時所需的時間，結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解.【詳解】設(shè)當(dāng)N取個單位、個單位、個單位時所需時間分別為,由題意，，，，因為，所以，所以，所以當(dāng)訓(xùn)練數(shù)據(jù)量N從個單位增加到個單位時，訓(xùn)練時間增加4小時.故選：B.10.已知平面直角坐標(biāo)系中，，，設(shè)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)，求出，進(jìn)而可以用向量表示出，即可解出．【詳解】因為，，由平方可得，，所以．，，所以，，又，即，所以，即，故選：D.第二部分（非選擇題

共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.拋物線的頂點到焦點的距離為3，則________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)可求的值.【詳解】因為拋物線的頂點到焦距的距離為，故，故，故答案：.12.已知，則________；________．【答案】①.②.【解析】【分析】利用賦值法可求，利用換元法結(jié)合賦值法可求的值.【詳解】令，則，又，故，令，則，令，則，故故答案為：.13.已知，且，，寫出滿足條件的一組________，_________．【答案】①.（答案不唯一）②.（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)角的三角函數(shù)的關(guān)系可得角的等量關(guān)系，從而可得滿足條件的一組解.【詳解】因為，，所以的終邊關(guān)于軸，且不與軸重合，故且，即，故取可滿足題設(shè)要求；故答案為：，（答案不唯一）14.某科技興趣小組通過3D打印機(jī)的一個零件可以抽象為如圖所示的多面體，其中ABCDEF是一個平行多邊形，平面平面ABC，平面平面ABC，，，若，則該多面體的體積為________．【答案】【解析】【分析】如圖，將一半的幾何體分割成直三棱柱和四棱錐后結(jié)合體積公式可求幾何體的體積.【詳解】先證明一個結(jié)論：如果平面平面，平面平面，平面，則.證明：設(shè)，，在平面取一點，，在平面內(nèi)過作直線，使得，作直線，使得，因為平面平面，，故，而，故，同理，而，故.下面回歸問題.連接，因為且，故，同理，，而，故直角梯形與直角梯形全等，故，在直角梯形中，過作，垂足為，則四邊形為矩形，且為以為直角的等腰直角三角形，故，平面平面，平面平面，,平面，故平面，取的中點為，的中點為，的中點為，連接，則，同理可證平面，而平面，故平面平面，同理平面平面，而平面平面，故平面，故，故四邊形為平行四邊形，故.在平面中過作，交于，連接.則四邊形為平行四邊形，且，故，故四邊形為平行四邊形，而平面，故平面，故平面平面，而，故，故幾何體為直棱柱，而，故,因為，故平面，而平面，故平面平面，在平面中過作，垂足為，同理可證平面，而，故，故，由對稱性可得幾何體的體積為，故答案為：.15.關(guān)于定義域為R的函數(shù)，以下說法正確的有________．①存在在R上單調(diào)遞增的函數(shù)使得恒成立；②存在在R上單調(diào)遞減的函數(shù)使得恒成立；③使得恒成立的函數(shù)存在且有無窮多個；④使得恒成立的函數(shù)存在且有無窮多個．【答案】②③【解析】【分析】利用反證法可判斷①④的正誤，構(gòu)造函數(shù)并驗證后可判斷②③的正誤.【詳解】對于①，若存在上的增函數(shù)，滿足，則即，故時，，故，故即，矛盾，故①錯誤；對于②，取，該函數(shù)為上的減函數(shù)且，故該函數(shù)符合，故②正確；對于③，取，此時，由可得有無窮多個，故③正確；對于④，若存在，使得，令，則，但，矛盾，故滿足的函數(shù)不存在，故④錯誤.故答案為：②③三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.在中，．（1）求c；（2）在以下三個條件中選擇一個作為已知，使得存在，求BC的高．①；②；③面積為．【答案】（1）6（2）答案見解析【解析】【分析】（1）由平方關(guān)系、正弦定理即可求解；（2）若選①，可得都是鈍角，矛盾；若選②，由正弦定理、平方關(guān)系求得，，進(jìn)一步由求得高，并說明此時三角形存在即可；若選③，首先根據(jù)三角形面積公式求得，再根據(jù)余弦定理可求得，由此可說明三角形存在，且可由等面積法求解.【小問1詳解】因為，所以，由正弦定理有，解得；【小問2詳解】如圖所示，若存在，則設(shè)其邊上的高為，若選①，，因為，所以，因為，這表明此時三角形有兩個鈍角，而這是不可能的，所以此時三角形不存在，故邊上的高也不存在；若選②，，由正弦定理有，解得，此時，，而，，，所以，可以唯一確定，所以此時也可以唯一確定，這表明此時三角形是存在的，且邊上的高；若選③，的面積是，則，解得，由余弦定理可得可以唯一確定，進(jìn)一步由余弦定理可得也可以唯一確定，即可以唯一確定，這表明此時三角形是存在的，且邊上的高滿足：，即.17.四棱錐中，與為等腰直角三角形，，E為BC的中點．（1）F為的中點，G為PE的中點，證明：面PAB；（2）若面ABCD，，求AB與面PCD所成角的正弦值．【答案】（1）證明過程見解析（2）【解析】【分析】（1）取PA的中點N，PB的中點M，連接FN、MN，只需證明即可；（2）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出直線AB的方向向量與面PCD的法向量，根據(jù)向量夾角公式即可求解.【小問1詳解】取PA的中點N，PB的中點M，連接FN、MN，與為等腰直角三角形不妨設(shè)，E、F分別為BC、PD的中點，，，，，∴四邊形FGMN為平行四邊形，，面PAB，面PAB，面PAB；【小問2詳解】面ABCD，以A為原點，AC、AB、AP所在直線分別為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則設(shè)面PCD的一個法向量為取設(shè)AB與面PCD成的角為則即AB與平面PCD成角的正弦值為.18.有一道選擇題考查了一個知識點，甲、乙兩校各隨機(jī)抽取100人，甲校有80人答對，乙校有75人答對，用頻率估計概率．（1）從甲校隨機(jī)抽取1人，求這個人做對該題目的概率．（2）從甲、乙兩校各隨機(jī)抽取1人，設(shè)X為做對的人數(shù)，求恰有1人做對的概率以及X的數(shù)學(xué)期望．（3）若甲校同學(xué)掌握這個知識點則有的概率做對該題目，乙校同學(xué)掌握這個知識點則有的概率做對該題目，未掌握該知識點的同學(xué)都是從四個選項里面隨機(jī)選擇一個，設(shè)甲校學(xué)生掌握該知識點的概率為，乙校學(xué)生掌握該知識點的概率為，試比較與的大小（結(jié)論不要求證明）【答案】（1）（2），（3）【解析】【分析】（1）用頻率估計概率后可得從甲校隨機(jī)抽取1人做對該題目的概率；（2）利用獨立事件可求恰有1人做對的概率及的分布列，從而可求其期望；（3）根據(jù)題設(shè)可得關(guān)于的方程，求出其解后可得它們的大小關(guān)系.【小問1詳解】用頻率估計概率，從甲校隨機(jī)抽取1人，做對題目的概率為.【小問2詳解】設(shè)為“從甲校抽取1人做對”，則，則，設(shè)為“從乙校抽取1人做對”，則，則，設(shè)為“恰有1人做對”，故，而可取，，，，故的分布列如下表：故.【小問3詳解】設(shè)為“甲校掌握該知識的學(xué)生”，因為甲校掌握這個知識點則有的概率做對該題目，未掌握該知識點的同學(xué)都是從四個選項里面隨機(jī)選擇一個，故即，故，同理有，故，故.19.已知的離心率為，橢圓上的點到兩焦點距離之和為4，（1）求橢圓方程；（2）設(shè)O為原點，為橢圓上一點，直線與直線，交于A，B．與的面積為，比較與的大小．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓定義以及離心率可求出，再根據(jù)的關(guān)系求出，即可得到橢圓方程；（2）法一：聯(lián)立直線方程求出點坐標(biāo)，即可求出，再根據(jù)，即可得出它們的大小關(guān)系.法二：利用直線的到角公式或者傾斜角之間的關(guān)系得到，再根據(jù)三角形的面積公式即可解出.【小問1詳解】由橢圓可知，，所以，又，所以，，故橢圓方程為；【小問2詳解】聯(lián)立，消去得，，整理得，①，又，所以，，故①式可化簡為，即，所以，所以直線與橢圓相切，為切點.設(shè)，易知，當(dāng)時，由對稱性可知，．故設(shè)，易知，聯(lián)立，解得，聯(lián)立，解得，所以，，故．法二：不妨設(shè)，易知，當(dāng)時，由對稱性可知，．故設(shè)，聯(lián)立，解得，聯(lián)立，解得，則，，,又，所以，所以，，則，即，所以.20.函數(shù)的定義域為