第33講與圓有關的位置關系【構建知識網絡】知識點1點與圓的位置關系設圓的半徑為r，點到圓心的距離為d1.點在圓外?d>r，如圖中點A2.點在圓上?d＝r，如圖中點B3.點在圓內?d<r，如圖中點C知識點2直線與圓的位置關系設圓的半徑為r，圓心到直線的距離為d.位置關系相離相切相交d與r的關系d>rd＝rd<r交點的個數(shù)沒有公共點有且只有一個公共點有兩個公共點示意圖知識點3切線的性質與判定定義直線和圓只有一個公共點，則這條直線叫做圓的切線，這個公共點叫做切點性質定理圓的切線垂直于過切點的半徑(或直徑)推論經過圓心且垂直于切線的直線必過切點；經過切點且垂直于切線的直線必過圓心判定用定義判定和圓有唯一公共點的直線是圓的切線數(shù)量關系圓心到直線的距離等于半徑的直線是圓的切線定理過半徑外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線知識點4切線長定義過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段長叫做這點到圓的切線長定理從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角【滿分技能】切線長與切線的區(qū)別：切線是直線，不可度量；切線長是過圓外一點畫圓的切線，這點和切點之間線段的長度，是一個量.知識點5三角形的內切圓定義與三角形三邊都相切的圓叫做三角形的內切圓內心三角形內切圓的圓心叫三角形的內心，內心是三角形三條角平分線的交點內心位置一定在三角形的內部性質三角形的內心到三角形的三邊的距離相等，內心與每一個頂點的連線平分每個內角考點1點、線與圓的位置關系(5年6地0考)[2025·內蒙古二模]如圖，正方形ABCD的邊長為6，以點B為圓心，BC的長為半徑畫圓，則正方形ABCD的中心在⊙B___(填“內”“上”或“外”)；若將圖中陰影部分剪下來圍成圓錐，則圓錐的底面直徑為__．內32．[2022·呼和浩特]已知AB為⊙O的直徑且AB＝2，點C是⊙O上一點(不與A，B重合)，點D在半徑OB上，且AD＝AC，AE與過點C的⊙O的切線垂直，垂足為E.若∠EAC＝36°，則CD＝__，OD＝______.1解析：如圖，連接CO，BC，∵EC是⊙O的切線，∴OC⊥EC，∵AE⊥EC，∠EAC＝36°，∴AE∥OC，∠ACO＝∠EAC＝36°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝36°，∴∠COD＝2∠CAO＝72°，∵AC＝AD，∴∠ADC＝∠ACD＝72°，∴∠ADC＝∠COD＝72°，4．[2024·通遼]如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，點O為AC邊上一點，以點O為圓心，OC為半徑作圓與AB相切于點D，連接CD.(1)求證：∠ABC＝2∠ACD；(2)若AC＝8，BC＝6，求⊙O的半徑．解：(1)證明：如圖，連接OD，∵AB為切線，∴OD⊥AB，∴∠ODA＝90°，∴∠A＋∠AOD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ABC＋∠A＝90°，∴∠AOD＝∠ABC,∵∠AOD＝2∠ACD，∴∠ABC＝2∠ACD；解：(1)證明：連接OD，∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD，又∵∠DAB＝∠BFD，∠DAE＝∠BFD，∴∠ODA＝∠DAE，∵DE⊥AC，∴∠ADE＋∠DAE＝90°，∴∠ADE＋∠ODA＝90°，即OD⊥DE，又∵OD是⊙O的半徑，∴DE是⊙O的切線；解：(1)證明：連接OE，BD，如圖，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°，∵CD是⊙O的直徑，∴∠CBD＝90°，∴∠DBE＝∠CBD－∠ABC＝90°－45°＝45°，∴∠DOE＝2∠DBE＝2×45°＝90°，∵EF∥CD，∴∠FEO＝∠DOE＝90°，即OE⊥EF，∵OE是⊙O的半徑，∴EF是⊙O的切線；3．[2023·呼和浩特]已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，以邊AC為直徑作⊙O，與AB邊交于點D，點M為邊BC的中點，連接DM.解：(1)證明：連接CD，OD，如圖1，∵AC為⊙O的直徑，∴∠ADC＝90°，∴∠BDC＝90°，∵M為BC的中點，∴DM＝BC＝MC，∴∠MDC＝∠MCD，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∵∠ACB＝90°，∴∠OCD＋∠MCD＝90°，∴∠ODC＋∠MDC＝90°，即∠ODM＝90°，∴OD⊥DM，∵OD是⊙O的半徑，∴DM是⊙O的切線；(2)①在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，∴AB＝10.i)當點P在線段BC上時，過點P作PE⊥AB,垂足為E，如圖2，∵tan∠BAP＝，∴設EP＝m，則AE＝3m，∴EB＝10－3m，②過點Q作QG⊥AC，垂足為G，如圖4，∵AC為⊙O的直徑，∴∠AQC＝90°，∵∠PAC＋∠ACQ＝90°，∠GQC＋∠ACQ＝90°，∴∠PAC＝∠GQC，∵∠ACP＝∠QGC＝90°，∴△APC∽△QCG，解：(1)證明：連接OD，BD，則∠ACD＝∠ABD，∵∠ADF＝∠ACD，∴∠ABD＝∠ADF，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠ABD＋∠BAD＝90°，∴∠ADF＋∠BAD＝90°，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠ADF＋∠ODA＝90°，即∠ODF＝90°，∴OD⊥DF，又∵OD為⊙O的半徑，∴DF是⊙O的切線；(2)①∵BE是⊙O的切線，∴AB⊥BE，∴∠ABE＝90°，∴∠ABC＋∠CBE＝90°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＋∠BAC＝90°，∴∠CBE＝∠BAC，∵∠BAC＝∠BDC，∴∠CBE＝∠BDC，即∠CBE＝∠BDE，又∵∠E＝∠E，∴△CBE∽△BDE，2．[2025·包頭三模]在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，OA平分∠BAC交BC于點O，以O為圓心，OC長為半徑作圓交BC于點D.(1)如圖1，求證：AB為⊙O的切線；(2)如圖2，AB與⊙O相切于點E，連接CE交OA于點F.①試判斷線段OA與CE的關系，并說明理由；②若OF∶FC＝1∶2，OC＝3，求tanB的值．解：(1)如圖1，過點O作OG⊥AB，垂足為G，∵OA平分∠BAC交BC于點O，∠ACB＝90°，∴OG＝OC，∴點G在⊙O上，即AB為⊙O的切線；(2)①OA垂直平分CE，理由：連接OE，如圖2，∵AB與⊙O相切于點E，AC與⊙O相切于點C，∴AE＝AC，∵OE＝OC，∴OA垂直平分CE；考點5三角形的內切圓與內心(5年6地0考)1．如圖，點O是△ABC外接圓的圓心，點I是△ABC的內心，連接OB，IA.若∠CAI＝35°，則∠OBC的度數(shù)為()A．15°B．17.5°C．20°D．25°2．劉徽(今山東濱州人)是魏晉時期我國偉大的數(shù)學家，中國古典數(shù)學理論的奠基者之一，被譽為“世界古代數(shù)學泰斗”．劉徽在注釋《九章算術》時十分重視一題多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圓公式的推導，他給出了內切圓直徑的多種表達形式．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB，BC，CA的長分別為c，a，b，則可以用含c，a，b的式子表示出△ABC的內切圓直徑d，下列表達式錯誤的是()1．[2025·福建]如圖，PA與⊙O相切于點A，PO的延長線交⊙O于點C.AB∥PC，且交⊙O于點B.若∠P＝30°，則∠BCP的大小為()A．30°B．45°C．60°D．75°2．[2025·自貢]PA，PB分別與⊙O相切于A，B兩點．點C在⊙O上，不與點A，B重合．若∠P＝80°，則∠ACB的度數(shù)為()A．50°B．100°C．130°D．50°或130°3．[2025·南通]在平面直角坐標系中，以點A(3，0)為圓心，為半徑作⊙A.直線y＝kx－3k＋2與⊙A交于B，C兩點，則BC的最小值為__．64．[2025·安徽]如圖，AB是⊙O的弦，PB與⊙O相切于點B，圓心O在線段PA上．已知∠P＝50°，則∠PAB的大小為___°.205．[2025·黑龍江]如圖，PA，PB是圓O的切線，A，B為切點，AC是直徑，∠BAC＝35°，∠P＝_____．70°6．[2025·廣州]已知⊙O的半徑為6，⊙O所在平面內有一動點P，過點P可以引⊙O的兩條切線PA，PB，切點分別為A，B.點P與圓心O的距離為d，則d的取值范圍是_____；若過點O作OC∥PA交直線PB于點C(點C不與點B重合)，線段OC與⊙O交于點D.設PA＝x，CD＝y(tǒng)，則y關于x的函數(shù)解析式為____________．d＞67．[2025·綏化]如圖，∠APO＝∠BPO，PA與⊙O相切于點M，連接OM，OP與⊙O相交于點C，過點C作CD⊥OM，垂足為E，交⊙O于點D，連接PD交OM于點F.(1)求證：PB是⊙O的切線；(2)當PC＝6，PM＝CD時，求線段MF的長．解：(1)證明：過點O作ON⊥PB于點N，∵PA與⊙O相切于點M，∴OM⊥PA.∵∠APO＝∠BPO，∴PO是∠APB的平分線，∴ON＝OM.∵OM為⊙O的半徑，∴ON為⊙O的半徑．∵ON⊥PB，∴PB是⊙O的切線；8．[2025·宜賓]如圖，已知AE是⊙O的直徑，D是⊙O上一點，過D作直線DB與AE的延長線交于B點，過點A作AC⊥BD于C點，連接AD，DE，且∠AED＝∠ADC.(1)求證：直線BC是⊙O的切線；(2)若AE＝10，tan∠CA