2026年數(shù)學(xué)奧林匹克競賽培訓(xùn)題目集一、幾何證明與計算題（共3題，每題15分）題目1（15分）：已知△ABC中，AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC上一點(diǎn)，且∠AFD=90°。求證：四邊形AEDF的面積是△ABC面積的四分之一。題目2（15分）：在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，2），點(diǎn)B（3，0），點(diǎn)C（0，4）。以BC為直徑作圓O，求圓O上到直線AB距離最遠(yuǎn)的點(diǎn)的坐標(biāo)。題目3（15分）：正方形ABCD的邊長為2，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為CD上一點(diǎn)，且∠AEF=45°。求四邊形AEBF的面積。二、代數(shù)綜合題（共3題，每題15分）題目4（15分）：若實數(shù)x滿足x^4-6x^2+5=0，求x^4+2x^2+1的值。題目5（15分）：已知a、b為正數(shù)，且a+b=1。求函數(shù)f(a)=a^2+(1-a)^2的最小值。題目6（15分）：設(shè)f(x)=x^3-ax^2+bx-c，已知f(1)=0，f(2)=0，f(3)=0。求f(4)的值。三、組合與計數(shù)題（共3題，每題15分）題目7（15分）：從1到10的數(shù)字中選出5個不同的數(shù)字，使得任意兩個相鄰數(shù)字的差不大于2。問有多少種不同的選法？題目8（15分）：在一個8×8的國際象棋棋盤上，用馬走“日”字格的方式，從左上角（1，1）出發(fā)，經(jīng)過64格后回到原點(diǎn)。求不同的走法總數(shù)。題目9（15分）：將一個正十二面體的12個面染成紅色或藍(lán)色，要求相鄰的面顏色不同。問有多少種不同的染色方案？四、數(shù)論問題（共3題，每題15分）題目10（15分）：求所有正整數(shù)n，使得n^2+n+41是質(zhì)數(shù)。題目11（15分）：已知a、b為互質(zhì)的正整數(shù)，且a+b=15。求a、b的所有可能組合。題目12（15分）：求100以內(nèi)所有能被3整除且各位數(shù)字之和為6的正整數(shù)。答案與解析一、幾何證明與計算題題目1（15分）：證明：取BC的中點(diǎn)D，連接AD。因為AB=AC，D為BC中點(diǎn)，所以AD⊥BC。又∠AFD=90°，所以四邊形AEDF是直角梯形，其中AD=1/2BC。設(shè)BC=2a，則AD=a，∠AFD=90°，所以AF=AD=2a。四邊形AEDF的面積=1/2×AD×AF=1/2×a×2a=a^2。△ABC的面積=1/2×BC×AD=1/2×2a×a=a^2。因此，四邊形AEDF的面積是△ABC面積的四分之一。題目2（15分）：解：圓O的方程為(x-2)^2+(y-2)^2=4，圓心為（2，2），半徑為2。直線AB的方程為y=-x+3。點(diǎn)到直線的距離公式為d=|Ax1+By1+C|/√(A^2+B^2)，代入A=-1,B=1,C=-3，圓心（2，2）的距離為d=|(-1)×2+1×2-3|/√2=√2。最遠(yuǎn)點(diǎn)在圓上，與直線垂直的點(diǎn)的坐標(biāo)為（2±√2，2?√2）。題目3（15分）：解：設(shè)正方形ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2)，E(1,0)，F(xiàn)(x,2)?！螦EF=45°，斜率k1=0，k2=(2-0)/(x-1)。tan45°=|k1-k2|/(1+k1k2)=1，解得x=2或x=0（舍去）。四邊形AEBF的面積=△ABE+△BFC=1/2×2×1+1/2×1×1=2。二、代數(shù)綜合題題目4（15分）：解：令t=x^2，則t^2-6t+5=0，解得t=1或t=5。當(dāng)t=1時，x^2=1，x=±1，x^4+2x^2+1=4；當(dāng)t=5時，x^2=5，x=±√5，x^4+2x^2+1=31。答案為4或31。題目5（15分）：解：f(a)=a^2+(1-a)^2=2a^2-2a+1=2(a-1/2)^2+1/2。最小值為1/2，當(dāng)a=1/2時取到。題目6（15分）：解：f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)，f(4)=3×2×1=6。三、組合與計數(shù)題題目7（15分）：解：分類討論：1.5個數(shù)字為1,2,3,4,5；2.1,2,3,4,6；3.1,2,3,4,7；……（共10種）4.2,3,4,5,6；……（共8種）總數(shù)為C(5,5)+C(5,4)+……=56種。題目8（15分）：解：馬走“日”字格的周期為6步，64步可分組為10組余4步。走法總數(shù)為(8!/(4!4!))×2^4=7040種。題目9（15分）：解：正十二面體有20個頂點(diǎn)，每個頂點(diǎn)相鄰5個面。染色方案數(shù)為2×(1-1/2)^20=2/11≈0.18（非整數(shù)需修正）實際為2×(1-1/2)^12×(1-1/3)^8=0.348（近似值）四、數(shù)論問題題目10（15分）：解：當(dāng)n=1時，1^2+1+41=43（質(zhì)數(shù)）；當(dāng)n=2時，4+2+41=47（質(zhì)數(shù)）；當(dāng)n>2時，n^2+n+41=(n+1)^2+(n+1)-40，必為合數(shù)。答案為n=1或2。題目11（15分）：解：15=1+14=2+13=3+12=4+11=5+10=6+9=7+8，互質(zhì)組合為(1,14),(2,13),(4,11),(5,10),(7,8)。題目12（15