/北京市三帆中學(xué)2025?2026學(xué)年九年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．剪紙藝術(shù)是最古老的中國民間藝術(shù)之一，先后入選中國國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄和人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)代表作名錄．以下剪紙中，既是軸對稱又是中心對稱的圖形是（

）A． B． C． D．2．將拋物線向右平移1個單位長度，再向上平移2個單位長度所得的拋物線解析式為（

）A． B．C． D．3．在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為5，則點（

）A．在外 B．在上 C．在內(nèi) D．不確定4．若方程是關(guān)于x的一元二次方程，則m的值為（

）．A．2 B． C． D．不存在5．如圖，圓的兩條弦，相交于點E，且，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．6．如圖，拋物線經(jīng)過點，對稱軸是直線，下面結(jié)論中正確的是（

）A． B． C． D．7．如圖，，分別與相切于點，，點為上的點，過點的切線分別交，于點，．若的周長為，則的長為（

）A． B． C． D．8．在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)，其中．下列四個結(jié)論中：①若這個函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則函數(shù)必有最大值；②若時，隨的增大而減小，則必有；③若這個函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則不等式的解集為或；④若方程有一根為，且，則必有．所有正確結(jié)論的序號是（

）A．①③ B．②③ C．①④ D．①②④二、填空題9．請你寫出一個二次函數(shù)，其圖象滿足條件：①開口向下；②與y軸的交點坐標(biāo)為．此二次函數(shù)的解析式可以是．10．若扇形的圓心角為，半徑為，則該扇形的面積為．11．在平面直角坐標(biāo)系中，點關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)是．12．如圖，OA是的半徑，弦，D是上一點，且點在優(yōu)弧BC上．若，則的度數(shù)為．13．點，在二次函數(shù)的圖象上，若，，則與的大小關(guān)系是．（填“”、“”或“”）14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點P在第一象限，與軸相切于點，與軸交于，兩點，則點的坐標(biāo)是．15．二次函數(shù)的自變量與函數(shù)的部分對應(yīng)值如下表：x…2…y…m0c…關(guān)于的方程的解為．16．如圖，的直徑弦CD于點F，，，點為上一動點，直線AE于點..，連接OP，點在上運動的過程中，線段OP長的最大值為．三、解答題17．解方程：．18．已知關(guān)于的一元二次方程有兩個實數(shù)根．（1）求的取值范圍；（2）若為正整數(shù)，方程的根都為正整數(shù)，求此時方程的根．19．如圖，是等邊三角形，點D是邊上一點，連接，將線段繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，．（1）求證：；（2）若，，求的面積．20．已知二次函數(shù)．（1）求此函數(shù)圖象的對稱軸和頂點坐標(biāo)；（2）填表，并畫出此函數(shù)的圖象；x……y……（3）若點和都在此函數(shù)的圖象上，且，結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出的取值范圍．21．三等分角問題、倍立方體問題和化圓為方問題被稱為古希臘三大尺規(guī)作圖難題．小巖對三等分角問題很感興趣．于是，他利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，發(fā)明了一個三等分角器．三等分角器的制作方法：1、準(zhǔn)備好薄鐵片；2、按圖1所示制作：三等分角器分別由兩條矩形鐵片和一個半圓鐵片構(gòu)成．其中滿足：點A，B，O，C在同一條直線上，為半圓的直徑，點O為半圓的圓心，與半圓的半徑相等，與半圓相切于點B．三等分角器的使用方法：如圖2，要將三等分．首先將的頂點F放在三等分角器的BD上，然后調(diào)整點F的位置使角的一邊經(jīng)過點A，另一邊與半圓相切，最后連接，則，即完成了的三等分．請完成以下三等分角器的原理的證明．已知：如圖2，點A，B，O，C在同一條直線上，為半圓的直徑，點O為半圓的圓心，，與半圓相切于點B，與半圓相切，連接．求證：．證明：為半圓的直徑，點為半圓的圓心，與半圓相切于點，（__________）．（填推理依據(jù)）又，垂直平分．__________．又，__________．，與半圓相切，__________（__________）．（填推理依據(jù)）．22．在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖象經(jīng)過點和．（1）求該函數(shù)的表達(dá)式；（2）當(dāng)時，對于的每一個值，函數(shù)的值小于函數(shù)的值且大于0，直接寫出的取值范圍．23．如圖1，某公園一個圓形噴水池，在噴水池中心處豎直安裝一根高度為的水管，處是噴頭，噴出水流沿形狀相同的曲線向各個方向落下，噴出水流的運動路線可以看作是拋物線的一部分．建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，測得水流的最高處距離噴水池中心的水平距離為，最大豎直高度為．（1）①請直接寫出水流的最高處的坐標(biāo)_________；②求噴出水流的豎直高度與距離水池中心的水平距離之間的關(guān)系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；（2）安裝師傅調(diào)試時發(fā)現(xiàn)，噴頭豎直上下移動時，拋物線形水流隨之豎直上下移動，即其形狀和對稱軸保持不變，若水流離噴水池中心的最遠(yuǎn)水平距離不超過，水流最大豎直高度大于，直接寫出噴頭高度的取值范圍．24．如圖，的直徑與弦交于點E，，過點作射線使得．（1）求證：與相切于點；（2）延長交射線的反向延長線于點，若，，求的半徑長．25．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點，與軸的交點為．（1）求的值，并用含的式子表示；（2）已知直線與拋物線交于兩點，其中點是右側(cè)交點．①求點的橫坐標(biāo)；②過點作軸的垂線，交拋物線于點（M不與B，C重合），連接，．已知在點從點運動到點的過程中，的面積隨的長的增大而增大，求的取值范圍．26．如圖，在等邊中，點是邊上一點，且，點關(guān)于所在直線的對稱點是，連接，，在上取一點使得，與交于點．（1）依題意補全圖形；（2）求的度數(shù)；（3）用等式表示與的數(shù)量關(guān)系并證明．27．在平面直角坐標(biāo)系中，對于半徑為1的，線段及直線l，給出如下定義：若線段關(guān)于直線的對稱線段是的弦，則稱線段為關(guān)于直線的引入弦．（1）如圖1，點，，，，，，線段，，中，是關(guān)于某條直線的引入弦的為__________．（2）如圖2，點，，點C在直線上，若線段，和中，至少有一條線段是的引入弦，直接寫出點的縱坐標(biāo)的取值范圍．（3）如圖3，線段是關(guān)于直線的引入弦，且．以點，，，為頂點的正方形與線段有公共點，請直接寫出b的取值范圍．

答案1．【正確答案】D【分析】本題考查軸對稱圖形、中心對稱圖形的識別，解題的關(guān)鍵是掌握：如果一個平面圖形沿著一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形；把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形稱為中心對稱圖形．據(jù)此判斷即可．【詳解】解：A．該圖形是軸對稱圖形不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；B．該圖形不是軸對稱圖形也不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；C．該圖形是軸對稱圖形不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；D．該圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故此選項符合題意．故選D．2．【正確答案】A【分析】此題主要考查了二次函數(shù)圖象的平移．利用二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律，左加右減，上加下減，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：拋物線向右平移1個單位長度，再向上平移2個單位長度，平移后的解析式為，故選．3．【正確答案】B【分析】本題主要考查點與圓的位置關(guān)系，熟練掌握點與圓的三種位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵．根據(jù)勾股定理求出的長，再與的半徑比較即可．【詳解】解：點，的半徑為5，點在圓上，故選B．4．【正確答案】B【分析】利用定義：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程判定即可．【詳解】解：∵方程是關(guān)于x的一元二次方程，∴，且．解得．故選B．5．【正確答案】C【分析】本題考查了等弧所對的圓周角相等，三角形的外角定理，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．由等弧所對的圓周角相等可知，再利用三角形外角定理求．【詳解】解：，．．故選C．6．【正確答案】D【分析】本題考查了拋物線的性質(zhì)，核心是利用拋物線的開口方向、對稱軸、與坐標(biāo)軸的交點，結(jié)合特殊點的函數(shù)值，判別式分析代數(shù)式的符號．根據(jù)拋物線的開口方向、對稱軸、與坐標(biāo)軸的交點等性質(zhì)，逐一分析選項即可．【詳解】解：已知拋物線經(jīng)過，對稱軸是，結(jié)合圖象開口向下，因此，拋物線與軸交于正半軸，故，，，故A錯誤；拋物線與軸有2個交點，說明一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，判別式，即，故B錯誤；當(dāng)時，函數(shù)值為，根據(jù)圖象可得，當(dāng)時，，故C錯誤；對稱軸公式，整理，即，故D正確．故選D．7．【正確答案】A【分析】本題考查切線長定理．根據(jù)切線長定理得到，，再根據(jù)三角形周長公式計算，即可得到答案．【詳解】解：∵、分別切于、兩點，∴，同理可得：，∵的周長為，∴，∴，故選A．8．【正確答案】A【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，包括最值、單調(diào)性、不等式解集及根的范圍，靈活運用反例或結(jié)合性質(zhì)找到，的范圍，從而判斷選項是否錯誤是解題關(guān)鍵．結(jié)合條件，利用二次函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷選項即可．【詳解】解：①：若經(jīng)過點，則有，又∵，∴有，解得，，故函數(shù)必有最大值，①正確；②：可取反例，當(dāng)時，，，則此時當(dāng)時，隨的增大而減小，∴②錯誤；③：若經(jīng)過點，則有，∵，∴有，解得，，令，解得或，，結(jié)合圖象可知，∴不等式的解集為或，∴③選項正確；④：由，即，∴可知二次函數(shù)經(jīng)過定點，方程的其中一根為，∵，∴，，∴，，解得，，∴④錯誤，綜上所述，①③正確，故選A．9．【正確答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得出，利用二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征可得出，取，即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)二次函數(shù)的解析式為．∵拋物線開口向下，∴．∵拋物線與y軸的交點坐標(biāo)為，∴．取，時，二次函數(shù)的解析式為．10．【正確答案】π【分析】直接根據(jù)扇形的面積公式計算即可．【詳解】解：該扇形的面積為．11．【正確答案】【分析】根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中任意一點，關(guān)于原點的對稱點是，即關(guān)于原點的對稱點，橫、縱坐標(biāo)都變成相反數(shù)．【詳解】解：點關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)是．12．【正確答案】【分析】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，熟練掌握圓周角定理，垂徑定理是解題的關(guān)鍵．連接，根據(jù)垂徑定理，證明，圓周角定理，證明，計算即可．【詳解】解：連接，∵，∴，∴∵，∴，∴.13．【正確答案】【分析】本題主要考查對二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識點的理解和掌握，能求出對稱軸和根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出正確答案是解此題的關(guān)鍵；先根據(jù)二次函數(shù)的解析式判斷出拋物線的開口方向及對稱軸，根據(jù)圖象上的點的橫坐標(biāo)距離對稱軸的遠(yuǎn)近來判斷縱坐標(biāo)的大?。驹斀狻拷猓骸叨魏瘮?shù)的對稱軸為，拋物線開口向上，且，，∴點橫坐標(biāo)離對稱軸的距離小于點橫坐標(biāo)離對稱軸的距離，∴.14．【正確答案】【分析】本題考查了垂徑定理，切線的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，坐標(biāo)與圖形，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．過點作于，連接，由點的坐標(biāo)可得，，進(jìn)而由垂徑定理得，即得，又根據(jù)切線的性質(zhì)可得四邊形是矩形，即得，，得到，利用勾股定理求出即可求解．【詳解】解：過點作于，連接，則，∵，，∴，，∵，∴，∴，∵與軸相切于點，∴軸，∴，又∵，∴四邊形是矩形，∴，，∴，∴，∴，∴點的坐標(biāo)為.15．【正確答案】，【分析】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，根據(jù)二次函數(shù)對稱性，由點和點縱坐標(biāo)相同，求得對稱軸，再利用對稱軸求點的對稱點，從而得到方程的解．【詳解】解：由二次函數(shù)可知，當(dāng)時，，故點在函數(shù)圖象上．由表可知，當(dāng)時，，故點也在函數(shù)圖象上．點和點縱坐標(biāo)相同，∴函數(shù)圖象的對稱軸為直線．∵點在函數(shù)圖象上，其關(guān)于對稱軸的對稱點為，∴當(dāng)時，．因此方程的解為或．16．【正確答案】【分析】連接、，過點作于點，如圖，利用勾股定理先計算出，再計算出，根據(jù)垂徑定理得到，接著利用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得到，然后利用勾股定理得到，最后利用三角形三邊的關(guān)系得到，所以的最大值為．【詳解】解：連接、，過點作于點，如圖，，，在中，，，，在中，，，，，，，，在中，，（當(dāng)且僅當(dāng)、、共線時取等號），的最大值為．17．【正確答案】，【分析】本題主要考查了解一元二次方程——配方法，熟知配方法解一元二次方程的步驟是解題的關(guān)鍵．利用配方法對所給一元二次方程進(jìn)行求解即可．【詳解】解：，，，，，，．18．【正確答案】（1）（2）【分析】本題考查根的判別式，解一元二次方程，熟練掌握相關(guān)知識點，是解題的關(guān)鍵：（1）根據(jù)方程有兩個實數(shù)根，得到，列出不等式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)為正整數(shù)，得到或，分別解一元二次方程，進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：，，，，∵該方程有兩個實數(shù)根，，解得．（2）由（1）知：，∵為正整數(shù)，∴當(dāng)時，方程化為：，解得，，∵方程的根都為正整數(shù)，∴此時不符合題意，舍去；當(dāng)時，方程化為，解得，符合題意，，此時方程的根為．19．【正確答案】（1）見詳解（2）【分析】（1）由等邊三角形得到，，由旋轉(zhuǎn)得到，，推出，然后證明出；（2）過點作于點，由等邊三角形得到，，求出，利用勾股定理求出，然后由全等得到，，然后利用三角形面積公式求解即可．【詳解】（1）證明：是等邊三角形，，，∵將線段繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，，，，，即，在和中，，；（2）解：過點作于點．是等邊三角形，，，，，，，中，，，，∴，，，，，，．20．【正確答案】（1）對稱軸為直線，頂點坐標(biāo)為（2）見詳解（3）或【正確答案】組成正八邊形的相鄰兩架飛機的距離是20米．【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，畫二次函數(shù)圖象，圖象法求自變量的取值范圍，熟知二次函數(shù)的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．（1）把拋物線解析式化為頂點式求解即可；（2）先列表，然后描點，最后連線即可；（3）根據(jù)函數(shù)圖象求解即可．【詳解】（1）解：由題意得，，∴拋物線對稱軸為直線，頂點坐標(biāo)為；（2）解：列表如下：x…0…y…3003…函數(shù)圖象如下所示：（3）解：由函數(shù)圖象可知，當(dāng)時，或．21、2025年9月3日，我們迎來了紀(jì)念中國人民抗日戰(zhàn)爭暨世界反法西斯戰(zhàn)爭勝利80周年的重要時刻．這次閱兵，由徒步方隊、裝備方隊和空中梯隊組成．空中護(hù)旗梯隊由多型直升機組成，他們以“最高標(biāo)準(zhǔn)、最好狀態(tài)、最佳效果”飛過天安門上空，接受祖國和人民的檢閱．如圖1，26架直升機匯成巨大的“”字樣，其中“”由14架飛機組成，“”由12架飛機組成．如圖2，將每一架飛機當(dāng)作一個點，連接形成由兩個正八邊形組成的圖案“”如果將B，C兩點隱去，連接AE，DF，則得到圖3中的圖案“”．發(fā)現(xiàn)“”的面積比“”的面積大，求組成正八邊形“”的相鄰兩架飛機的距離是多少米？【分析】本題考查了正八邊形的性質(zhì)，連接，根據(jù)正八邊形的性質(zhì)求得，再得到，設(shè)米，則，求解即可，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：連接，如圖：，均為正八邊形的一個內(nèi)角，，，設(shè)米，∴，解得：，（舍去）∴組成正八邊形的相鄰兩架飛機的距離是20米．21．【正確答案】圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑；；；；從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長度相等，且圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角．【分析】本題考查作圖—應(yīng)用與設(shè)計作圖、認(rèn)識立體圖形、線段垂直平分線的性質(zhì)、垂徑定理、圓周角定理、切線的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．結(jié)合題意以及切線的判定與性質(zhì)填空即可．【詳解】證明：∵為半圓的直徑，點O為半圓的圓心，與半圓相切于點B，∴（圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑）．又∵，∴垂直平分．∴．又∵，∴．∵，與半圓O相切，為半徑，∴（從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長度相等，且圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角）∴．22．【正確答案】（1）該函數(shù)的表達(dá)式為（2）【分析】本題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)與幾何綜合，解不等式，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）求出當(dāng)時，，再分和兩種情況，根據(jù)當(dāng)時，對于的每一個值，函數(shù)的值小于函數(shù)的值可確定a的一個取值范圍；再求出當(dāng)時，，分和兩種情況，根據(jù)當(dāng)時，函數(shù)的值大于0，即可確定a的取值范圍．【詳解】（1）解：∵函數(shù)的圖象經(jīng)過點和，∴，∴，∴該函數(shù)的表達(dá)式為；（2）當(dāng)時，則，若，即時，，∵當(dāng)時，對于的每一個值，函數(shù)的值小于函數(shù)的值且大于0，∴這種情況不成立；當(dāng)，即時，，∵當(dāng)時，對于的每一個值，函數(shù)的值小于函數(shù)的值，∴，解得；當(dāng)時，，若，則，∵當(dāng)時，函數(shù)的值大于0，∴，∴，∴此時；若，則，∵當(dāng)時，函數(shù)的值大于0，∴這種情況不成立；綜上所述，．23．【正確答案】（1）①；②（2）【分析】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，理解題意，掌握二次函數(shù)的頂點式是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意得：點的橫坐標(biāo)為1，縱坐標(biāo)為，即可求解；②依據(jù)題意，設(shè)拋物線的解析式為，由點坐標(biāo)為，求出的值，進(jìn)而求得拋物線的解析式；（2）設(shè)拋物線的解析式為，根據(jù)水流離噴水池中心的最遠(yuǎn)水平距離不超過，水流最大豎直高度大于，求出的取值范圍，進(jìn)而求出的取值范圍即可．【詳解】（1）①，，∴點的橫坐標(biāo)為1，縱坐標(biāo)為，故點坐標(biāo)為．②由題意，點坐標(biāo)為，點坐標(biāo)為，設(shè)拋物線的解析式為，∵拋物線經(jīng)過點，∴，解得，噴出水流的豎直高度與距離水池中心的水平距離之間的關(guān)系式為．（2）∵拋物線水流移動時，保持對稱軸及形狀不變，∴可設(shè)拋物線的解析式為，∵水流最大豎直高度大于，，當(dāng)時，，解得，（負(fù)值舍去），∵水流離噴水池中心的最遠(yuǎn)水平距離不超過，，，，．當(dāng)時，，．，，24．【正確答案】（1）見詳解（2）的半徑長為【分析】本題主要考查了垂徑定理，勾股定理，切線的判定定理，能綜合運用相關(guān)知識是解決問題的關(guān)鍵．（1）連接，根據(jù)垂徑定理得到，由，得到，因為，已知，則可證，即，可證得結(jié)論；（2）設(shè)的半徑，得到，，由勾股定理表示，，在中勾股定理列方程求解即可．【詳解】（1）解：證明：連接，，，的直徑與弦交于點E，，，，，，即，∴半徑于點，與相切于點；（2）解：設(shè)的半徑長為r，，，，，，中，，，∵，∴，中，，，中，，，，，的半徑長為．25．【正確答案】（1）（2）①點B的橫坐標(biāo)為7；②或【分析】本題考查了二次函數(shù)綜合問題，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．（1）將點和點代入二次函數(shù)解析中求解即可；（2）①聯(lián)立直線和拋物線進(jìn)行解方程求解即可；②分兩情況：當(dāng)時和當(dāng)時，進(jìn)行討論即可．【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點，與軸的交點為，；（2）解：①∵直線與拋物線交于兩點，解得，∵點B是右側(cè)交點，∴點B的橫坐標(biāo)為7；②當(dāng)時，設(shè)過點作軸的垂線，交直線于點，

∵過點作軸的垂線，交拋物線于點，交直線于點N，，，∴當(dāng)時，，設(shè)為底邊的高，為底邊的高，則點B的橫坐標(biāo)的值，∴的面積，∵，∴，∵由題意得，，∴關(guān)于的面積的二次函數(shù)開口向下，∴當(dāng)時，關(guān)于的面積的二