/江蘇省蘇州市立達(dá)中學(xué)校2025?2026學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．（）A． B． C． D．2．把拋物線向上平移1個(gè)單位，所得拋物線為（）A． B． C． D．3．已知函數(shù)是關(guān)于的二次函數(shù)，則滿足條件的的值為（）A． B．0 C． D．34．如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為，若的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則的值為（）A． B． C． D．5．關(guān)于的二次函數(shù)的圖象一定不經(jīng)過（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．如圖，在Rt中，，于點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．7．已知二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線，部分圖象如圖所示，下列結(jié)論中：①；②；③；其中正確的結(jié)論有（）A．①②③ B．①③ C．②③ D．①②8．一個(gè)水杯豎直放置時(shí)的縱向截面如圖1所示，其左右輪廓線，都是同一條拋物線的一部分，，都與水面桌面平行，已知水杯底部寬為，水杯高度為，當(dāng)水面高度為時(shí)，水面寬度為．如圖2先把水杯盛滿水，再將水杯繞點(diǎn)傾斜倒出部分水，如圖3，當(dāng)傾斜角時(shí)，杯中水面平行水平桌面．則此時(shí)水面的值是（）A． B． C． D．二、填空題9．二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是．10．比較大?。海ㄌ睢啊?，“”或“”）11．若點(diǎn)，是二次函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，則（填）．12．二次函數(shù)的最小值為．13．在中，，則銳角的度數(shù)為．14．如圖，考古隊(duì)在點(diǎn)A處測得古塔BC頂端C的仰角為，斜坡長10米，坡度，長12米，則古塔的高度為米．15．四巧板是一種類似七巧板的傳統(tǒng)智力玩具，它是由一個(gè)長方形按圖分割而成，這幾個(gè)多邊形的內(nèi)角除了有直角外，還有、、角．小明發(fā)現(xiàn)可以將四巧板拼搭成如圖的字形和字形，那么字形圖中高與寬的比值為．16．如圖，在中，，，AD平分，，E為垂足，則的值為．三、解答題17．計(jì)算：．18．已知二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，且圖象經(jīng)過點(diǎn)．（1）求函數(shù)解析式；（2）求函數(shù)圖象與軸交點(diǎn)坐標(biāo)．19．已知在直角中，，，，求的大小和邊的長度．20．如圖，在中，，，，求邊的長．21．如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與一次函數(shù)的圖象交于兩點(diǎn)．（1）求的值；（2）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）根據(jù)圖象，直接寫出當(dāng)時(shí)的取值范圍．22．某水利工程公司開挖的池塘，截面呈拋物線形，蓄水之后在圖中建立平面直角坐標(biāo)系，并標(biāo)出相關(guān)數(shù)據(jù)（單位：）如圖所示，（1）求拋物線的解析式：（2）若池塘中水面的寬度減少為原來的一半，則最大水深減少了多少？23．2025年春晚名為《秋》的舞蹈，機(jī)器人們以精準(zhǔn)的動(dòng)作和熱情的表演讓觀眾體驗(yàn)到了傳統(tǒng)文化與現(xiàn)代科技完美的跨界融合．機(jī)器人為了完美的轉(zhuǎn)動(dòng)手絹，表演時(shí)需要和舞者保持一定的間距．圖②是其側(cè)面示意圖，胳膊與機(jī)器人身體的夾角，胳膊，，旋轉(zhuǎn)的手絹近似圓形，半徑，與手臂保持垂直．肘關(guān)節(jié)點(diǎn)與手絹旋轉(zhuǎn)點(diǎn)之間的水平寬度為（即的長度）．（1）求的度數(shù)；（2）機(jī)器人跳舞時(shí)規(guī)定手絹端點(diǎn)與舞者安全距離范圍為．在圖②中，手絹端點(diǎn)在與舞者之間，機(jī)器人與舞者之間距離為，問此時(shí)手絹端點(diǎn)與舞者距離是否在規(guī)定范圍內(nèi)？并說明理由．（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）（參考數(shù)據(jù)：，，，）24．如圖，二次函數(shù)的圖象與y軸交于點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)、點(diǎn)E．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）連接，求的面積；（3）線段在拋物線的對(duì)稱軸上移動(dòng)（點(diǎn)C在點(diǎn)D的下方），且，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．25．新定義：若二次函數(shù)為（是常數(shù)），則稱為的“關(guān)聯(lián)”二次函數(shù)，稱這兩個(gè)函數(shù)互為“關(guān)聯(lián)”二次函數(shù)．（1）寫出的“關(guān)聯(lián)”二次函數(shù)的表達(dá)式：___________．（2）若（）中的互為“關(guān)聯(lián)”二次函數(shù)的兩個(gè)圖象與正比例函數(shù)的圖象有且只有兩個(gè)交點(diǎn)，求的值；（3）如圖，二次函數(shù)與互為“關(guān)聯(lián)”二次函數(shù)，，分別是互為“關(guān)聯(lián)”的兩個(gè)二次函數(shù)與的圖象的頂點(diǎn)，點(diǎn)是的圖象與軸正半軸的交點(diǎn)，連接，若點(diǎn)為，且為直角三角形，求點(diǎn)的坐標(biāo)．26．如圖1，拋物線與軸相交于原點(diǎn)和點(diǎn)，直線與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)．（1）求點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）拋物線上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求出所有點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）如圖2，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)是直線下方的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)．設(shè)和的面積分別為和，求當(dāng)取最大值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．

答案1．【正確答案】B【分析】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可求解，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，故選B．2．【正確答案】A【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象的平移，根據(jù)二次函數(shù)圖象的平移法則：上加下減，左加右減即可得解，熟練掌握二次函數(shù)圖象的平移法則是解此題的關(guān)鍵．【詳解】∵原拋物線為，向上平移1個(gè)單位，∴新拋物線為，故選A．3．【正確答案】D【分析】本題考查了二次函數(shù)的定義，根據(jù)二次函數(shù)的定義，最高次項(xiàng)次數(shù)為2且系數(shù)不為零，據(jù)此進(jìn)行分析，即可作答．【詳解】解：∵函數(shù)是關(guān)于的二次函數(shù)，∴，，∴，，解得，故選D．4．【正確答案】C【分析】本題考查了勾股定理及逆定理，銳角三角函數(shù)，由勾股定理及逆定理可得是直角三角形，且，進(jìn)而根據(jù)正切的定義即可求解，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，取格點(diǎn)，連接，由網(wǎng)格可得，，，，∵，∴是直角三角形，且，∴，故選．5．【正確答案】C【分析】本題考查二次函數(shù)圖象與性質(zhì)．根據(jù)拋物線與軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)分三種情況進(jìn)行討論即可．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，∵，∴開口向上，∵對(duì)稱軸為直線，∴對(duì)稱軸直線在原點(diǎn)的右邊，當(dāng)時(shí)，，∴拋物線與軸的交點(diǎn)在原點(diǎn)的上方，∴拋物線的圖象過第一、二、四象限，不過第三象限．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，即或時(shí)，與軸沒有交點(diǎn)，∵，∴開口向上，∵對(duì)稱軸為直線，∴對(duì)稱軸直線在原點(diǎn)的右邊，當(dāng)時(shí)，，∴拋物線與軸的交點(diǎn)在原點(diǎn)的上方，∴拋物線的圖象過第一、二象限，不過第三象限．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，即或時(shí)，與軸只有一個(gè)交點(diǎn)，∵，∴開口向上，∵對(duì)稱軸為直線，∴對(duì)稱軸直線在原點(diǎn)的右邊，當(dāng)時(shí)，，∴拋物線與軸的交點(diǎn)在原點(diǎn)的上方，∴拋物線的圖象過第一、二象限且頂點(diǎn)在軸上，不過第三象限．綜上可知，關(guān)于的二次函數(shù)的圖象一定不經(jīng)過第三象限．故選C．6．【正確答案】A【分析】本題考查銳角三角函數(shù)，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，逐一進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴∴，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；，故A選項(xiàng)正確；，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選A．7．【正確答案】D【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，由圖象可得，拋物線開口向上，與軸交于負(fù)半軸，從而得出，，由二次函數(shù)的對(duì)稱軸得出，即可判斷①；由圖象可得，拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)即可判斷②；由圖象可得，當(dāng)時(shí)，，結(jié)合以及即可判斷③；熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，采用數(shù)形結(jié)合的思想是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：由圖象可得，拋物線開口向上，與軸交于負(fù)半軸，∴，，∵二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線，∴，∴，∴，故①正確；由圖象可得，拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，令，則，即此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴，故②正確；由圖象可得，當(dāng)時(shí)，，∴，∵，∴，∵，∴，故③錯(cuò)誤；綜上所述，正確的有①②，故選D．8．【正確答案】B【分析】本題考查了二次函數(shù)，一次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，建立合適的直角坐標(biāo)系和待定系數(shù)法求解析式是解題的關(guān)鍵．以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，直線為軸，線段的中垂線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，得出和杯子中間點(diǎn)的坐標(biāo)用待定系數(shù)法求拋物線的解析式；將杯子繞傾斜倒出部分液體，當(dāng)傾斜角時(shí)停止轉(zhuǎn)動(dòng)，求出與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，把點(diǎn)代入求出直線的解析式，再將二次函數(shù)和一次函數(shù)聯(lián)立求解，求出點(diǎn)坐標(biāo)，用兩點(diǎn)間的距離公式求出點(diǎn)到點(diǎn)的距離．【詳解】解：設(shè)與的中點(diǎn)分別為O、F，以所在的直線為x軸，以所在的直線為y軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，∵在圖3中，，∴．過點(diǎn)C作，交y軸于點(diǎn)G，則即為圖3中傾倒后的．∵點(diǎn)O是的中點(diǎn)，∴．∴，同理可知：圖1液面的右端點(diǎn)是根據(jù)對(duì)稱性可知：左右輪廓線，所在的拋物線的對(duì)稱軸為y軸，設(shè)這個(gè)拋物線的解析式為：，則由圖1可知，拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，∴解得：，∴拋物線的解析式是：．令，解得∴，，又∵，∴，∴在中，，解得：，∴，∴，設(shè)直線的解析式是：，∵直線經(jīng)過點(diǎn)，，∴解得：，∴直線的解析式是：，將拋物線與直線的解析式聯(lián)立得：，解得：或，∴，又∵，∴故選B．9．【正確答案】【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式為：，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為，即可作答．【詳解】解：二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是.10．【正確答案】【分析】本題考查了銳角三角形的性質(zhì)，根據(jù)銳角三角函數(shù)的性質(zhì)，正弦函數(shù)在到范圍內(nèi)是單調(diào)遞增的，即可得解，熟練掌握銳角三角形函數(shù)的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：因?yàn)檎液瘮?shù)在區(qū)間到上單調(diào)遞增，且，所以.11．【正確答案】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，拋物線開口向上，圖象的點(diǎn)離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越大，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：，，對(duì)稱軸為：，∴拋物線的開口向上，圖象的點(diǎn)離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越大，∵，∴.12．【正確答案】1【分析】本題考查了二次函數(shù)的最值問題．通過配方將二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式，根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)判斷拋物線的開口方向，從而確定函數(shù)的最小值，據(jù)此進(jìn)行分析，即可作答．【詳解】解：，∵中的二次項(xiàng)系數(shù)，∴函數(shù)的開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴二次函數(shù)的最小值為.13．【正確答案】80【分析】本題考查了正弦，熟練掌握特殊角的正弦值是解題關(guān)鍵．先判斷出也是銳角，再根據(jù)可得，由此即可得．【詳解】解：∵是銳角，∴也是銳角，由得：，∴，∴.14．【正確答案】26【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題，作，，由，可設(shè)，，結(jié)合，利用勾股定理可求得x的值，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得出，進(jìn)一步即可得出．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作，交延長線于點(diǎn)F，由，可設(shè)，，∵，∴，解得：（負(fù)值舍去），則，，∴，∵，∴∴，則.15．【正確答案】【分析】本題考查了幾何變換，根據(jù)圖與圖的拼圖結(jié)果得出線段間的相等關(guān)系，求得與，進(jìn)而即可求解，解題的關(guān)鍵是弄清題意，能從圖形中找出線段間關(guān)系．【詳解】解：如圖，∵圖由一個(gè)長方形分割而成，且圖中只有、、的角，∴線段線段，∴，由圖可知，∴，，∴.16．【正確答案】【分析】本題考查等腰三角形的判定與相似三角形的應(yīng)用，掌握通過延長線段構(gòu)造等腰三角形和相似三角形，利用相似三角形的比例關(guān)系求解線段比值是解題的關(guān)鍵．通過延長線段構(gòu)造等腰三角形和相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)和線段關(guān)系求出的值．【詳解】解：如圖所示，延長與的延長線相交于點(diǎn)F，，平分，則是等腰三角形，，，，，和是對(duì)頂角，，，則，設(shè)．．，，，則，，得，則．17．【正確答案】【分析】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值混合運(yùn)算，把特殊角的三角函數(shù)值代入計(jì)算即可求解，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：原式．18．【正確答案】（1）（2），【分析】本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，求二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，熟練掌握用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．（）設(shè)二次函數(shù)的解析式為，將點(diǎn)代入求出，即得答案；（）令，得，求解方程得，即得函數(shù)圖象與軸交點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】（1）解：設(shè)二次函數(shù)的解析式為，將點(diǎn)代入得，解得，∴函數(shù)解析式為；（2）解：令，則，得，∴函數(shù)圖象與軸交點(diǎn)坐標(biāo)為．19．【正確答案】，4【分析】本題考查了解直角三角形，由特殊角的三角形函數(shù)值即可得出的大小，再由計(jì)算即可得解，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖：∵在直角中，，，∴，∴．20．【正確答案】【分析】本題考查解直角三角形，過A作于D，利用銳角三角函數(shù)求得，，進(jìn)而可求解．【詳解】解：如圖，過A作于D，在中，，，∴，在中，，∴，∴．21．【正確答案】（1）（2）（3）或【分析】（）利用二次函數(shù)求出點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法解答即可；（）聯(lián)立兩函數(shù)解析式，求出方程組的解即可；（）根據(jù)函數(shù)圖象解答即可；本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，二次函數(shù)與不等式，掌握數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：把代入二次函數(shù)，得，解得，，∴，把代入一次函數(shù)，得，∴；（2）解：∵，∴一次函數(shù)，由，解得或，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）解：由函數(shù)圖象可知，當(dāng)時(shí)的取值范圍為或．22．【正確答案】（1）拋物線的解析式為（2）最大水深減少了米【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意正確求出二次函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．（1）由圖象可得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)拋物線的解析式為，利用待定系數(shù)法解答即可求解；（2）分別求出和時(shí)的函數(shù)值，再相減即可求解．【詳解】（1）解：由圖可知，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴可設(shè)拋物線的解析式為，把代入，，解得：，∴拋物線的解析式為，（2）解：原水面寬度為米，減少為原來的一半后寬度為12米，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴水面下降的高度為米，即最大水深減少了米．23．【正確答案】（1）（2）在規(guī)定范圍內(nèi)，理由見詳解【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，理解題意，正確添加輔助線構(gòu)造直角三角形是解此題的關(guān)鍵．（1）解直角三角形得出，再由同角的余角相等即可得解；（2）作于，則，由（1）可得：，解直角三角形得出，，從而即可得出此時(shí)手絹端點(diǎn)與舞者距離，結(jié)合題意判斷即可．【詳解】（1）解：由題意可得：，，∴,∴，∵與手臂保持垂直，∴，∴；（2）解：在規(guī)定范圍內(nèi)，理由如下：如圖，作于，則，，由（1）可得：，∴，∵，，∴，∴此時(shí)手絹端點(diǎn)與舞者距離為，∵安全距離范圍為，∴此時(shí)手絹端點(diǎn)與舞者距離在規(guī)定范圍內(nèi)．24．【正確答案】（1）（2）3（3）【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求出答案；（2）求出，得到，，根據(jù)三角形面積公式即可求出答案；（3）求出，將點(diǎn)沿軸向下平移個(gè)單位，得到點(diǎn)，連接，，，易證得四邊形是平行四邊形，于是可得，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得，于是得到，即點(diǎn)是直線與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)時(shí)，的值最小，利用待定系數(shù)法可求得直線的解析式，然后求得拋物線的對(duì)稱軸，通過求解兩條直線的交點(diǎn)即可得出答案．【詳解】（1）解：二次函數(shù)的圖象與y軸交于，與x軸交于點(diǎn)，∴解得，∴拋物線的表達(dá)式為；（2）解：當(dāng)時(shí)，，解得，∴，∵點(diǎn)，點(diǎn)、∴，，∴的面積；（3）解：，，如圖，將點(diǎn)沿軸向下平移個(gè)單位，得到點(diǎn)，連接，，，點(diǎn)沿軸向下平移個(gè)單位得到點(diǎn)，，，，拋物線的對(duì)稱軸軸，且線段在拋物線的對(duì)稱軸上，線段在軸上，，四邊形是平行四邊形，，拋物線是軸對(duì)稱圖形，，，當(dāng)、、三點(diǎn)共線，即點(diǎn)是直線與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)時(shí)，的值最小，，∴由平移的性質(zhì)可得：點(diǎn)的縱坐標(biāo)，，設(shè)直線的解析式為，將，代入，得：，解得：，直線的解析式為，在拋物線中，其對(duì)稱軸為直線，要使的值最小，則點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)滿足，解得：，，25．【正確答案】（1）（2）或（3）或【分析】（）根據(jù)“關(guān)聯(lián)”二次函數(shù)的定義即可求解；（）由“關(guān)聯(lián)”二次函數(shù)的圖象與正比例函數(shù)的圖象都關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，且題（）中的互為“關(guān)聯(lián)”二次函數(shù)的圖象與正比例函數(shù)的圖象只有兩個(gè)交點(diǎn)，可得的圖象與的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，即得關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，據(jù)此解答即可求解；（）根據(jù)“關(guān)聯(lián)”二次函數(shù)的對(duì)稱性求得點(diǎn)坐標(biāo)，再分和本題考查了二次函數(shù)的幾何應(yīng)用，二次函數(shù)與一元二次方程，直角三角形的定義及性質(zhì)等，理解題意是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：由題意得，的“關(guān)聯(lián)”二次函數(shù)的表達(dá)式為.（2）解：由“關(guān)聯(lián)”二次函數(shù)的定義可知，互為“