/重慶市大渡口區(qū)第九十四中學2025?2026學年上學期九年級數(shù)學期中試題一、單選題1．下列方程屬于一元二次方程的是（

）A． B． C． D．2．下列圖形中是軸對稱圖形的是（

）A． B． C． D．3．在一個不透明的布袋中裝有個黃、白兩種顏色的球，除顏色外其他都相同，小紅通過多次摸球試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到黃球的頻率穩(wěn)定在左右，則布袋中黃球可能有（

）A．個 B．個 C．個 D．個4．下列說法中正確的是（

）A．有一個角是直角的四邊形是矩形B．對角線互相垂直的四邊形是正方形C．鄰邊相等的四邊形是菱形D．對角線互相平分且垂直的四邊形是菱形5．若是關于x的一元二次方程的解，則的值為（

）A．3 B． C．9 D．6．按如圖所示的規(guī)律搭正方形：搭一個小正方形需要4根小棒，搭兩個小正方形需要7根小棒，搭2020個這樣的小正方形需要小棒（

）根．A．8080 B．6066 C．6061 D．60607．如圖所示，與位似，點是位似中心.已知，且的面積為16，則的面積是（

）A．1 B．2 C．4 D．88．新年將至，九年級一班全體學生互贈賀卡，共贈賀卡張，問九年級一班共有多少名學生？設九年級一班共有x名學生，那么所列方程為（

）A． B．C． D．9．如圖，正方形的邊長是6，點是線段上一動點，過點作于點，連接，若，則的面積是（

）A． B． C．6 D．1810．已知整式，，其中，，…，為自然數(shù)，，為正整數(shù)，且．下列說法：①若，則；②若，，…，互不相等，且與次數(shù)相同，則滿足條件的整式只有1個；③若為二次三項式，為二次式，滿足恒大于0的整式共有2個．其中正確的個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空題11．一元二次方程的根是．12．如果，那么．13．中國古代數(shù)學有著輝煌的成就，《周髀算經(jīng)》《算學啟蒙》《測圓海鏡》《四元玉鑒》是我國古代數(shù)學的重要文獻．某中學擬從這4部數(shù)學名著中選擇1部作為校本課程“數(shù)學文化”的學習內容，恰好選中《算學啟蒙》的概率是．14．若關于x的方程有實數(shù)根，則k的取值范圍為．15．如圖，在菱形中，，，點E是的中點，連接交于點G，若點F是的中點，則的長為．16．若一個四位自然數(shù)M的千位數(shù)字與個位數(shù)字之和恰好是百位數(shù)字與十位數(shù)字之和的2倍，則稱這個四位數(shù)M為“精善數(shù)”．設“精善數(shù)”，記，．若是15的整數(shù)倍，且是4的整數(shù)倍，則；所有滿足條件的M的最大值和最小值的差為．三、解答題17．解方程：（1）；（2）．18．在學習了全等三角形和等腰三角形的相關知識后，小華通過研究發(fā)現(xiàn)等腰三角形底邊上的中點到兩腰的距離相等，可利用證明三角形全等得到此結論．根據(jù)此思路完成以下作圖和證明過程：（1）如圖，在中，，為底邊的中點，于點．利用尺規(guī)作圖，過點作于點．（保留作圖痕跡，不寫作法，不寫結論）（2）在（1）的條件下，求證：．證明：，，___________①，，，為底邊的中點，___________②在和中（___________④）．19．先化簡，再求值：，其中．20．2025年9月3日，中國舉行了舉世矚目的“九三大閱兵”活動．為掌握同學們對閱兵活動相關知識的了解情況，某校從七、八年級學生中各隨機抽取20名學生進行了問卷調查，調查結果以百分制呈現(xiàn)（結果均為整數(shù)）．該校數(shù)學興趣小組對調查結果進行了整理、描述和分析．（成績均不低于60分，用表示，共分四組：（；；；），下面給出了部分信息：七年級20名學生的成績是：100，97，97，95，92，92，92，89，88，87，85，85，83，83，80，75，73，72，64，61．八年級20名學生的成績在組中的數(shù)據(jù)是：80，81，82，85，87，88，89．年級平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差七年級86八年級95八年級所抽取學生的成績扇形統(tǒng)計圖根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）上述圖表中___________，___________，___________；（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認為該校七、八年級中哪個年級學生對閱兵活動相關知識更加了解？請說明理由（寫出一條理由即可）；（3）該校七、八年級共有學生2000人，如果七、八年級的學生全部參與問卷調查，請估計七、八年級共有多少名學生的問卷調查成績不低于90分？21．某水果批發(fā)商場以每千克40元的價格購進一種高檔水果，如果按每千克50元銷售，每天可售出500千克，經(jīng)市場調查發(fā)現(xiàn)，在進貨價不變的情況下，若每千克漲價1元，日銷售量將減少20千克．（1）現(xiàn)該商場要保證每天盈利6000元，同時又要顧客得到實惠，那么每千克的定價應為多少元？（2）在（1）的條件下，若商場購進該種水果5000千克，為了擴大銷售，拿出一部分水果按定價的8折進行批發(fā)銷售．商場在這批水果全部售出后，為了確保這批商品總的利潤率不低于，則商場用于批發(fā)的水果最多為多少千克？22．如圖，在中，于點E，延長至點F，使，連接、、．（1）求證：四邊形是矩形；（2）若，，，求的長．23．如圖，在中，，，動點從點出發(fā)，以2個單位/秒沿折線方向運動，運動到點停止運動，時間為于點，設的長為．（1）求關于的函數(shù)解析式，并注明自變量的取值范圍；（2）在平面直角坐標系中畫出這個函數(shù)的圖象，并寫出該函數(shù)的一條性質；（3）結合函數(shù)圖象，如果與該函數(shù)圖象有兩個不同的交點，請寫出的取值范圍．24．如圖，直線與x軸交于點，與y軸交于點B，點C在x軸上點A的右邊，，經(jīng)過點C的直線與正比例函數(shù)的圖象平行，直線與直線相交于點D，點P為直線上一動點（且點P在第一象限）．（1）求點D坐標；（2）若，請求出符合條件的在第一象限的點P的坐標；（3）點M為直線上一點，當時，請直接寫出所有符合條件的點M的坐標．25．在中，為上一點，連接．（1）如圖1，若，作交于，交于，，求的度數(shù)；（2）如圖2，若，作交于，交于，將繞點順時針旋轉得到，連接，若，求證：；（3）如圖3，若，，將繞點逆時針旋轉得線段，連接為直線上一點，連接，當取最小值時，將沿所在直線翻折到所在的平面內，得，連接，作交直線于點，當取最大值時，請直接寫出的面積．

答案1．【正確答案】C【分析】本題考查了一元二次方程的概念，判斷一個方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化簡后是否是只含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2．根據(jù)一元二次方程的定義：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程進行判斷，即可解答．【詳解】解：A、，有2個未知數(shù)，不是一元二次方程，故不符合題意；B、，等號左邊不是整式，不是一元二次方程，故不符合題意；C、，是一元二次方程，故符合題意；D、，是一元一次方程，故不符合題意；故選C．2．【正確答案】B【分析】本題考查了軸對稱圖形的識別，解題的關鍵在于熟練掌握：在平面內，一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形叫做軸對稱圖形．根據(jù)軸對稱圖形的概念求解即可．【詳解】解：A、該圖形不是軸對稱圖形，不符合題意；B、該圖形是軸對稱圖形，符合題意；C、該圖形不是軸對稱圖形，不符合題意；D、該圖形不是軸對稱圖形，不符合題意；故選B．3．【正確答案】D【分析】本題考查利用頻率估計概率．利用頻率估計概率得到摸到黃球的概率為，然后根據(jù)概率公式計算即可．【詳解】解：設袋子中黃球有個，根據(jù)題意，得：，解得：，即布袋中黃球可能有個．故選D．4．【正確答案】D【分析】本題考查矩形、正方形、菱形的判定定理，解題的關鍵是熟練掌握這些特殊四邊形的判定條件．根據(jù)矩形、正方形、菱形的判定定理，對每個選項進行分析判斷．【詳解】A、有一個角是直角的平行四邊形才是矩形，僅一個角是直角的四邊形不一定是矩形，該選項錯誤；B、對角線互相垂直且相等的平行四邊形才是正方形，僅對角線互相垂直的四邊形不一定是正方形，該選項錯誤；C、鄰邊相等的平行四邊形才是菱形，僅鄰邊相等的四邊形不一定是菱形，該選項錯誤；D、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，對角線再互相垂直的平行四邊形是菱形，所以對角線互相平分且垂直的四邊形是菱形，該選項正確．故選D．5．【正確答案】B【分析】本題考查了一元二次方程的解．將代入方程，得到關于a和b的等式，簡化后直接求解的值．【詳解】解：∵是方程的解，∴，即，兩邊同時除以3：，∴．故選B．6．【正確答案】C【分析】通過歸納與總結得出規(guī)律：每增加1個正方形，火柴棒的數(shù)量增加3根，由此求出第n個圖形時需要火柴的根數(shù)的代數(shù)式，然后代入求值即可．【詳解】解：搭2個正方形需要4+3×1＝7根火柴棒；搭3個正方形需要4+3×2＝10根火柴棒；搭n個這樣的正方形需要4+3（n﹣1）＝3n+1根火柴棒；∴搭2020個這樣的正方形需要3×2020+1＝6061根火柴棒；故選C．7．【正確答案】A【分析】根據(jù)位似比等于三角形的相似比，結合相似三角形的性質：面積之比等于相似比的平方計算即可．【詳解】∵與位似，點O為位似中心，且，∴，∵的面積為16，∴的面積是1，故選A．8．【正確答案】C【分析】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，正確理解題意，弄清楚每一名學生要贈送張賀卡，總共有名學生，是解題的關鍵．九年級一班共有名學生，每一名學生都需要給剩下的名學生贈賀卡，因此共贈賀卡張，由題意可知，共贈賀卡張，即可列方程．【詳解】解：根據(jù)題意得：每一名學生要贈送張賀卡，總共有名學生，所以全班共贈賀卡：．故答案選：C．9．【正確答案】A【分析】本題考查正方形的性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理、等腰三角形的性質，解答本題的關鍵是求出的值．根據(jù)正方形的性質和全等三角形的判定可以得到和全等，然后即可得到和的關系，根據(jù)等腰三角形的性質可以得到和的關系，再根據(jù)勾股定理可以得到的值，然后即可計算出的面積．【詳解】解：作于點，如圖所示，

四邊形是正方形，，，，，，，，，，在和中，，，，，，，，即，解得，∴，故選A．10．【正確答案】C【分析】本題主要考查了整式的定義，系數(shù)條件限制下多項式構造，推理能力等，合理分析給定條件是解題的關鍵．①由的結構分析的系數(shù)，判斷是否成立；②根據(jù)到互不相等且次數(shù)相同，推導的唯一性；③枚舉為二次三項式且為二次式時，恒正的情況，驗證個數(shù)．【詳解】解：①當時，由和兩個項組成，即．只有對應的系數(shù)需滿足（對應項）、（另一項）、（對應項）時．時，故①正確．②若到互不相等且與次數(shù)相同，則的次數(shù)．由于是正整數(shù)且互不相等，唯一可能的結構是為的排列，此時，唯一確定．故②正確．③為二次三項式，即且．為二次式要求．需恒正：時，，；時，，（恒正）；時，，．共3種情況，但題目稱有2個，故③錯誤．綜上，①和②正確，但③錯誤．故選C．11．【正確答案】，【分析】本題考查了解一元二次方程．通過因式分解法求解一元二次方程即可．【詳解】解：，，∴或，即，．12．【正確答案】【分析】本題主要考查了比例的性質，根據(jù)比例的性質得到，再把代入所求式子中計算求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴.13．【正確答案】【分析】本題考查了概率公式，根據(jù)從這4部數(shù)學名著中選擇1部作為校本課程“數(shù)學文化”的學習內容，進行列式計算，即可作答．【詳解】解：∵某中學擬從這4部數(shù)學名著中選擇1部作為校本課程“數(shù)學文化”的學習內容，∴恰好選中《算學啟蒙》的概率是.14．【正確答案】【分析】本題考查了根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)，求一元一次方程的解，解題關鍵是掌握上述知識點并能熟練運用求解．分、兩種情況討論，分別求得的取值范圍．【詳解】解：當時，原方程為，有實數(shù)根，符合題意；當時，原方程為一元二次方程，∵關于x的方程有實數(shù)根，∴，解得：，綜上所述，的取值范圍是.15．【正確答案】【分析】本題考查菱形的性質、等邊三角形的判定和性質、直角三角形的性質，連接，由菱形的性質得，，證明是等邊三角形，求出，，，，證明，得到，由勾股定理可得出的長．【詳解】解：連接，∵四邊形是菱形，，∴，∵，∴是等邊三角形，，∵點E是的中點，∴，∴，，∴，∵點F為的中點，，∴，∴，∵，，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴.16．【正確答案】5；8442【分析】本題考查了整式的加減運算，新定義，解題的關鍵是正確理解新定義．根據(jù)“精善數(shù)”的定義得到，則，且是15的整數(shù)倍，結合的取值范圍為1到9，可得，進而，則，由是4的整數(shù)倍，結合，可得是4的倍數(shù)，從而確定a和d的取值，b和c滿足，有6種可能，即可得到所有滿足條件的M的最大值為9501，最小值為1059，則差值為8442．【詳解】解：，，為正整數(shù)，∵，，∴，只能等于，則，∴，∵和20均為4的倍數(shù)，是4的整數(shù)倍，∴是4的倍數(shù)，∵，∴；或；或；或；或；∵，b和c為數(shù)字（b從0到9，c從0到9），∴或或或或或∵∴，則為最大值；取，則為最小值，∴差值為17．【正確答案】（1）（2）【分析】本題考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接開平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，靈活選擇合適的方法是解答本題的關鍵．（1）使用因式分解法求解即可；（2）使用因式分解法求解即可．【詳解】（1）解：∵，∴，∴或，∴；（2）解：∵，∴，∴，∴或，∴．18．【正確答案】（1）見詳解（2）①；②；③；④【分析】本題考查作圖—復雜作圖、全等三角形的判定與性質，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．（1）根據(jù)垂線的作圖方法作圖即可；（2）根據(jù)全等三角形的判定與性質填空即可．【詳解】（1）解：如圖，，（2）證明：，①，，，為底邊的中點，②在和中，．19．【正確答案】化簡得：；解得：【分析】本題考查了分式的化簡求值問題，解本題的關鍵在正確運用分式的混合運算進行化簡．掌握分式的運算順序：先乘方，再乘除，再加減（如果有括號先算括號里面的，再算括號外面的）利用分式的混合運算法則是解題的關鍵．首先對括號里面的分式先通分化為同分母分式再加減，同時將除式的分子因式分解，再利用分式除法要乘以除式的倒數(shù)化為乘法運算，約分后得到最簡結果，然后利用的值代入其，即可得出結果．【詳解】解：原式，，；當時，原式，，．20．【正確答案】（1），92，40（2）八年級學生競賽成績較好，理由見詳解（3）750名【分析】本題主要考查扇形統(tǒng)計圖及中位數(shù)、眾數(shù)、平樣本估計整體等知識點，熟練掌握扇形統(tǒng)計圖及中位數(shù)、眾數(shù)的定義是解題的關鍵．（1）根據(jù)表格以及眾數(shù)、中位數(shù)的定義可確定a、b的值，先求出C、D的人數(shù)，然后結果B組數(shù)據(jù)求得A組數(shù)據(jù)的個數(shù)，最后再求其所占的百分比即可；（2）根據(jù)平均分、中位數(shù)，眾數(shù)進行分析即可解答；（3）用學生總數(shù)乘以卷調查成績不低于90分的百分比即可解答．【詳解】（1）解：由八年級C組占，人數(shù)為（人），八年級D組占，人數(shù)為（人），∴八年級中位數(shù)為C組的第5、6個同學競賽成績的平均數(shù)即；∵七年級20名學生的競賽成績中92出現(xiàn)次數(shù)最多，∴七年級的眾數(shù)；八年級A組人數(shù)為（人），∴，即．（2）解：八年級學生競賽成績較好，理由如下：（3）解：∵七年級問卷調查成績不低于90分的學生有7人，八年級問卷調查成績不低于90分的學生有8人，∴兩個年級學生的問卷調查成績不低于90分共人．答：七、八年級共有750名學生的問卷調查成績不低于90分．21．【正確答案】（1）55元（2）3000千克【分析】本題主要考查了列一元二次方程解決實際問題，列一元一次不等式解決實際最值問題，解題的關鍵是準確找出等量關系和不等關系．（1）設每千克定價為元，根據(jù)利潤列出方程求解即可；（2）設商場用于批發(fā)的水果為a千克，根據(jù)利潤列出不等式，并求解即可．【詳解】（1）解：設每千克定價為元，根據(jù)題意得，，解得，，，∵要顧客得到實惠，∴，答：每千克的定價為55元；（2）解：設商場用于批發(fā)的水果為a千克，根據(jù)題意得，，解得，答：商場用于批發(fā)的水果最多為3000千克．22．【正確答案】（1）見詳解（2）【分析】（1）根據(jù)平行四邊形性質得，，再根據(jù)得，由此可判定四邊形為平行四邊形，然后再根據(jù)可得出結論；（2）根據(jù)矩形性質得，再根據(jù)勾股定理的逆定理證明，然后根據(jù)三角形的面積公式即可求出的長．【詳解】（1）證明：∵四邊形為平行四邊形，∴，，∵，∴，即，∴，∵，即，∴四邊形為平行四邊形，∵，∴，∴平行四邊形為矩形；（2）∵四邊形是矩形，∴，在中，，，，∵，，∴，∴為直角三角形，即，由三角形的面積公式得：，∴．23．【正確答案】（1）（2）見詳解，當時，隨的增大而增大；當時，隨的增大而減?。?）【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的圖象與性質、等腰三角形的性質、含30度角的直角三角形的性質、求函數(shù)解析式等知識，掌握數(shù)形結合和分類討論思想求解是解答的關鍵．（1）先求得，再分當時，P在上運動；當時，P在上運動，兩種情況，利用含30度角的直角三角形的性質求解即可；（2）根據(jù)（1）中解析式描點畫圖即可，再根據(jù)圖象寫出可性質即可；（3）根據(jù)（2）中圖象即可解答．【詳解】（1）解：∵在中，，，∴，如圖，當時，P在上運動，則，∵，∴，即．如圖，當時，P在上運動，則，∴，即．綜上，y關于t的函數(shù)表達式為．（2）解：由（1）知，該函數(shù)圖象經(jīng)過點，，，，，則函數(shù)圖象如圖所示：由圖可知，當時，隨的增大而增大；當時，隨的增大而減?。?）解：由必過，如圖：當過時，，解得：；當過時，，解得：，所以如果與該函數(shù)圖象有兩個不同的交點，的取值范圍．24．【正確答案】（1）（2）（3）或．【分析】本題考查了待定系數(shù)法求解析式，相似三角形的判定和性質，勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定和性質．（1）將點的坐標代入直線得出其解析式，點的坐標代入直線的解析式，然后聯(lián)立兩條直線的解析式即可求解；（2）過點作于點，過點作于點，證明∽，進而得到，即可解題；（3）連接，求出，根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)勾股定理逆定理得到，證明是等腰直角三角形，即，當M在下方時，連接，根據(jù)垂直平分線的性質得到，根據(jù)等邊對等角得到，即，可知此時M與E重合，求出，即可求出點M的坐標；當M在上方時，連接，證明，得到．根據(jù)勾股定理求出相關數(shù)據(jù)，得到，即，作軸，則，即，根據(jù)勾股定理求出相關數(shù)據(jù)，得到，，即可求出點M的坐標．【詳解】（1）解：∵直線與軸交于點，與軸交于點，將點的坐標代入得：，解得：，∴，∵點在軸上點的右邊，，∴，即，∵經(jīng)過點的直線與正比例函數(shù)的圖象平行，設直線的解析式為：，代入，有：，解得：，∴直線的解析式為：，由直線與直線相交于點，聯(lián)立得：，解得：，∴；（2）解：如圖，過點作于點