2026屆廣州市高三年級(jí)調(diào)研測(cè)試（零模）數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分，每小題只有一個(gè)選項(xiàng)符合要求1.已知復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】位于第三象限.2.已知集合，則“”是“”的A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】“”時(shí),,則,充分;時(shí),或或2,不必要.3.假設(shè)某次考試的成績(jī)服從正態(tài)分布.如果按照16%，34%，34%，16%的比例將考試成績(jī)從高到低分為四個(gè)等級(jí),則等級(jí)的分?jǐn)?shù)線約為(若,則)A.76 B.88 C.94 D.103【答案】A【解析】.4.由曲線圍成的圖形的面積為A. B. C. D.【答案】B【解析】時(shí),,圓心為,半徑為的圓時(shí),,圓心為,半徑為的圓,兩個(gè)圓面積之和.5.已知都是第二象限角,且,則A.-1 B.1 C. D.【答案】A【解析】為第二象限角,則,為第二象限角,則,.6.已知的外接圓圓心為,且,則在上的投影向量為A. B. C. D.【答案】D【解析】,為平行四邊形，為菱形,在上的投影向量.7.有編號(hào)為1,2,3的三個(gè)盒子,將4個(gè)不同的小球全部放入盒子.若每個(gè)盒子中所放球的個(gè)數(shù)不大于其編號(hào),則不同的放法共有A.26種 B.32種 C.38種 D.44種【答案】C【解析】①1號(hào)盒子1個(gè)球,2號(hào)盒子1個(gè)球,3號(hào)盒子2個(gè)球,此時(shí)有個(gè);②1號(hào)盒子1個(gè)球，2號(hào)盒子2個(gè)球，3號(hào)盒子1個(gè)球，此時(shí)有4×3=12個(gè)；③1號(hào)盒子沒有球，2號(hào)盒子1個(gè)球，3號(hào)盒子3個(gè)球，此時(shí)有4個(gè)；④1號(hào)盒子沒有球，2號(hào)盒子2個(gè)球，3號(hào)盒子2個(gè)球，此時(shí)有個(gè)；⑤1號(hào)盒子1個(gè)球，2號(hào)盒子沒有球，3號(hào)盒子3個(gè)球，此時(shí)有4個(gè).則共有.8.記表示不小于的最小整數(shù),例如.奇函數(shù)滿足當(dāng)時(shí),.若關(guān)于的方程在上恰有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根,則的取值范圍為A. B. C. D.【答案】D【解析】方法一:時(shí),由作出大致圖象如下,與在上恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn)結(jié)合圖象知,或,選:D.方法二:時(shí),則共3個(gè)根,滿足條件,排除BC.時(shí),共4個(gè)零點(diǎn),,選D.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示,則A.B.在區(qū)間上單調(diào)遞減C.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D.將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象,則為奇函數(shù)【答案】AC【解析】,,對(duì)稱軸,對(duì).的一個(gè)單調(diào)減區(qū)間,在單調(diào)遞減,單調(diào)遞增,B錯(cuò).是一條對(duì)稱軸,C對(duì).為偶函數(shù),D錯(cuò).10.已知為坐標(biāo)原點(diǎn),拋物線的焦點(diǎn)為,點(diǎn)在的準(zhǔn)線上,過的直線與交于不同的兩點(diǎn),則A. B. C. D.【答案】ABD【解析】對(duì).,B對(duì).D對(duì)，選ABD.至于,令,過作準(zhǔn)線的母線,垂足為,有最大值錯(cuò).11.已知函數(shù),過點(diǎn)作曲線的切線交軸于點(diǎn),過點(diǎn)作曲線的切線交軸于點(diǎn),依此類推,得到,則A.數(shù)列是等差數(shù)列 B.當(dāng)且時(shí)，C. D.記面積為，則【答案】ABD【解析】,切線令，，同理，為等差數(shù)列，對(duì).,令在單調(diào)遞減,單調(diào)遞增,即,,即對(duì).,令矛盾,錯(cuò).為等差數(shù)列,為等比數(shù)列,,D對(duì).三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12.已知函數(shù)是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)________.【答案】【解析】為偶函數(shù),則.13.某校高三年級(jí)舉行米接力賽，共有8條賽進(jìn)，第⑨道和第④道是“黃金賽道”。賽制規(guī)定:由1到8班按班級(jí)序號(hào)從小到大依次抽簽決定賽道，抽出的簽不再放回。在1班未抽到“黃金賽道”的條件下，3班抽到“黃金賽道”的概率是_______.【答案】【解析】記“1班未抽到黃金賽道”為,記“3班抽到黃金賽道”為,.14.已知同底的兩個(gè)正六棱錐和的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上.若正六棱錐的側(cè)面與底面所成角為,則正六棱錐的側(cè)棱與底面所成角的正切值是________.【答案】【解析】設(shè)正六邊形的中心為中點(diǎn)為,不妨設(shè),正六棱錐的側(cè)面與底面所成角為,,,設(shè)球心為,半徑,，正六棱錐的側(cè)棱與底面所成角為四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟15.在中,角的對(duì)邊分別為,已知.(1)求角的大小:(2)若的面積，求的值.【解析】(1).(2).16.如圖，在直三棱柱中，.,其中.(1)當(dāng)時(shí)，求證:平面:(2)當(dāng)為何值時(shí)，的長(zhǎng)最小，并求其最小值；(3)當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)最小時(shí)，求平面與平面夾角的余弦值.【解析】(1)分別取中點(diǎn)，連接，時(shí),分別為的中點(diǎn),而在三棱柱中,,四邊形為平行四邊形,平面平面平面(2)過作于點(diǎn)平面，連接,而當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”.(3)如圖建系，當(dāng)最小時(shí)，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，而平面的一個(gè)法向量，平面與平面夾角為，.17.已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，不等式?jīng)]有正整數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】(1)①當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，令且當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增.(2)當(dāng)時(shí)，，由沒有正整數(shù)解對(duì)恒成立令而時(shí),單調(diào)遞增,即的取值范圍為.18.已知橢圓的左頂點(diǎn)為，下頂點(diǎn)為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，且過點(diǎn).(1)求的方程；(2)點(diǎn)為橢圓在第一象限上任一點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn).(i)若四條直線的斜率分別記為,證明:;(ii)記的面積為，四邊形的面積為，求的最大值.【解析】(1)由題意知.(2)方法一:(i)設(shè),方程:,令方程:,令(i),當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”.方法二:(2)設(shè)在第一象限(i)證明:直線的斜率.直線BP的斜率.直線AB的斜率.直線過,斜率為,故方程.令得.直線:過,斜率為,故方程.令得.于是直線的斜率為.故.(ii)由上面已得.注意到與在軸上,線段在軸上,可用將四邊形分成兩個(gè)三角形:.其中.因此.面積:.在第一象限且時(shí)可知,且代入得..即.由橢圓參數(shù)表示第一象限:.則.設(shè),則.代回得.又由柯西不等式:成立.因此.等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)(即)成立.因此.最大值為.當(dāng)時(shí)取到,此時(shí).19.已知數(shù)列為無窮數(shù)列,前項(xiàng)和為.(1)若，求的通項(xiàng)公式；(2)是否存在等差數(shù)列，使？若存在，請(qǐng)寫出一個(gè)滿足條件的通項(xiàng)公式.若不存在,請(qǐng)說明理由;(3)若數(shù)列為等比數(shù)列，公比為，且滿足，求的取值范圍.【解析】方法一:(1)①，時(shí)，②①-②而,在①中令不滿足上式時(shí),(2)假設(shè)存在這樣的等差數(shù)列，設(shè)公差為，由(*)對(duì)恒成立當(dāng)時(shí),時(shí),式左邊與條件矛盾,舍當(dāng)時(shí),不可能對(duì)恒成立,如時(shí),式左邊了,也舍.當(dāng)時(shí),取,不等式(*)式左邊與條件也矛盾不存在這樣的等差數(shù)列.(3)由，即①若，則，(i)當(dāng)時(shí),取為偶數(shù),且時(shí),(*)式左邊了,與(*)式矛盾,舍(ii)當(dāng)時(shí),取為偶數(shù),則(*)式左邊也矛盾,舍(iii)當(dāng)時(shí),當(dāng)為偶數(shù)時(shí),恒成立當(dāng)為奇數(shù)時(shí),恒成立符合.(iv)當(dāng)時(shí),對(duì)恒成立,該不等式關(guān)于單調(diào)遞減只需顯然成立,也符合.②若，則由，,而,綜上:.方法二:(1)由題意.則.又.故.于是并且.(2)設(shè)為等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為.則.條件等價(jià)于.移項(xiàng)得.又由時(shí):.當(dāng)足夠大,存在充分大的使,從而,與矛盾.因此不存在等差數(shù)列滿足對(duì)所有都有.(3)設(shè)等比數(shù)列首項(xiàng)，公比.則.條件即.分情形討論由可先判斷符號(hào):由.因此:若,則;若,則.情形一:,此時(shí)可直接除以正數(shù),得.等價(jià)于.要對(duì)一切成立:若,則,恒成立;若,則,且隨增大,