第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2025-2026學(xué)年河南省南陽(yáng)市鎮(zhèn)平第一高級(jí)中學(xué)高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知互不相等的一組數(shù)x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8的平均數(shù)為x8，方差為s12，若x1，x2，x3A.s12>s22 B.s12=2.《天工開(kāi)物》是我國(guó)明代科學(xué)家宋應(yīng)星所著的一部綜合性科學(xué)技術(shù)著作，書中記載了一種制造瓦片的方法.首先，準(zhǔn)備一個(gè)圓桶模具，圓桶底面外圓的直徑為30cm，高為10cm，在圓桶的外側(cè)面均勻包上一層厚度為3cm的粘土，然后，沿圓桶母線方向?qū)⒄惩翆臃指畛伤牡确?如圖)，等粘土晾干后，即可得到大小相同的4片瓦.若需要制作800片這種瓦片，則所需粘土的體積為(

)A.45πdm3 B.99πdm3 C.3.若復(fù)數(shù)z滿足(1+i)z=1?i(i為虛數(shù)單位)，則|z|=(

)A.2 B.22 C.24.已知函數(shù)f(x)同時(shí)滿足：

①定義域內(nèi)任意實(shí)數(shù)x，都有f(x)+f(2?x)=0；

②對(duì)于定義域內(nèi)任意x1，x2，當(dāng)x1≠x2時(shí)，恒有f(x1)?f(xA.(?∞,?2) B.(?∞,2]5.在菱形ABCD中，AB=2,∠ABC=π3，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段BD上(包含端點(diǎn))，則FC?FEA.[?1116,1] B.[1,4] C.[0,4]6.在(2x2?1x)nA.5 B.4 C.3 D.27.若函數(shù)f(x)=x3?aex有唯一極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)A.[12e2,+∞) B.(0,12e8.已知a>0，b>0且滿足a+lna=e2+2b?blnbbA.a?b的最大值為e2?1e B.a+b的最小值為2e

C.ba的最大值為e2二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下列說(shuō)法正確的是(

)A.函數(shù)f(x)=ax?1?2(a>0且a≠1)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)(1,?2)

B.若函數(shù)g(x)滿足g(?x)+g(x)=6，則函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,3)對(duì)稱

C.當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)y=x+3x+1?1的最小值為210.已知正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足0<a1<1,an+1A.數(shù)列{an}為遞增數(shù)列 B.a8>8

11.已知雙曲線E：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，且|F1F2|=4，雙曲線E的一條漸近線的傾斜角為πA.E的方程為x2?y23=1

B.A到E的兩條漸近線的距離之積為32

C.若直線AB，AC的斜率之積為3，則B，C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

D.若直線BC過(guò)點(diǎn)F2，且B三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，O13.箱子中有大小相同的6個(gè)小球，分別標(biāo)有數(shù)字1，1，2，2，3，3.甲、乙兩人進(jìn)行三輪比賽，在每輪比賽中，兩人依次從箱子中隨機(jī)摸出1球，甲先摸，乙后摸，摸出的球不放回，并比較摸出的球的標(biāo)號(hào)大小，數(shù)字大的人得1分，數(shù)字小的人不得分，如果數(shù)字一樣，則都不得分.經(jīng)過(guò)三輪比賽后，箱子中的球被摸完，此時(shí)甲的累計(jì)得分比乙的累計(jì)得分大的概率是

．14.已知a，b∈R，若直線y=3x+a是曲線f(x)=ex+2x?b與曲線g(x)=x+2lnx的公切線，則a+b=

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知函數(shù)f(x)=ax?lnx，x∈(0,e]，a∈R．

(Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí)，討論f(x)的單調(diào)性，并求出f(x)的極值；

(Ⅱ)是否存在實(shí)數(shù)a，使f(x)的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說(shuō)明理由．16.(本小題15分)

已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)F1(?2,0)，F(xiàn)2(2,0)，過(guò)F1點(diǎn)且與坐標(biāo)軸不平行的直線l與橢圓C相交于M，N兩點(diǎn)，△MNF2的周長(zhǎng)等于16．

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若過(guò)點(diǎn)P(?8,0)的直線與橢圓C交于兩點(diǎn)A，B，設(shè)直線AF1，17.(本小題15分)

已知單調(diào)遞增的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1=3，S2，S3+1，S5?3成等比數(shù)列．

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(2)18.(本小題17分)

某企業(yè)對(duì)生產(chǎn)設(shè)備進(jìn)行優(yōu)化升級(jí)，升級(jí)后的設(shè)備控制系統(tǒng)由2k?1(k∈N?)個(gè)相同的元件組成，每個(gè)元件正常工作的概率均為p(0<p<1)，各元件之間相互獨(dú)立.當(dāng)控制系統(tǒng)有不少于k個(gè)元件正常工作時(shí)，設(shè)備正常運(yùn)行，否則設(shè)備停止運(yùn)行，記設(shè)備正常運(yùn)行的概率為pk(例如：p2表示控制系統(tǒng)由3個(gè)元件組成時(shí)設(shè)備正常運(yùn)行的概率，p3表示控制系統(tǒng)由5個(gè)元件組成時(shí)設(shè)備正常運(yùn)行的概率)．

(1)若p=23，當(dāng)k=2時(shí)，求控制系統(tǒng)中正常工作的元件個(gè)數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望，并求p3；

(2)已知設(shè)備升級(jí)前，單位時(shí)間的產(chǎn)量為a(a∈N?)件，每件產(chǎn)品的利潤(rùn)為1元，設(shè)備升級(jí)后，在正常運(yùn)行狀態(tài)下，單位時(shí)間的產(chǎn)量是原來(lái)的4倍，且出現(xiàn)了高端產(chǎn)品，每件產(chǎn)品成為高端產(chǎn)品的概率為14，每件高端產(chǎn)品的利潤(rùn)是2元.記設(shè)備升級(jí)后單位時(shí)間內(nèi)的利潤(rùn)為Y(單位：元)．

19.(本小題17分)

如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，平面ABC1⊥平面ABC，AC1⊥平面BCC1B1．

(1)求證：BC

參考答案1.C

2.D

3.D

4.A

5.D

6.A

7.A

8.B

9.BD

10.ACD

11.ACD

12.1213.113014.1

15.解：(Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=x?lnx，

f′(x)=1?1x=x?1x，

∴當(dāng)0<x<1時(shí)，f′(x)<0，此時(shí)f(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)1<x<e時(shí)，f′(x)>0，此時(shí)f(x)單調(diào)遞增．

∴f(x)的極小值為f(1)=1．

(Ⅱ)假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使f(x)=ax?lnx，x∈[0,e]有最小值3，

f′(x)=a?1x=ax?1x，

①當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在(0,e]上單調(diào)遞減，

f(x)min=f(e)=ae?1=3，a=4e(舍去)，

∴此時(shí)f(x)最小值不為3；

②當(dāng)0<1a<e時(shí)，f(x)在(0,1a)上單調(diào)遞減，在(1a,+∞)上單調(diào)遞增，

∴f(x)min=f(16.解：(1)由題意，橢圓焦點(diǎn)在x軸上，

且c=24a=16a2=b2+c2，解得a=4b=23c=2，

∴橢圓C的方程為x216+y212=1．

(2)證明：由題意可知直線斜率存在，

當(dāng)直線斜率為0時(shí)，顯然k1=k2=0，∴k1+k2=0；

當(dāng)直線斜率不為0時(shí)，設(shè)直線AB方程為x=my?8，A(x1,y1)，B(17.解：(1)已知單調(diào)遞增的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，

a1=3，S2，S3+1，S5?3成等比數(shù)列，

設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，

由題意得，S2=a1+a2=d+6，

S3+1=3(a1+a3)2+1=3a2+1=3(a1+d)+1=3d+10，

S5?3=5(a1+a5)2?3=5a3?3=5(a1+2d)?3=10d+12，

根據(jù)等比中項(xiàng)可得，(S3+1)2=S2(S5?3)?(3d+10)2=(d+6)(10d+12)，

整理得d2+12d?28=(d+14)(d?2)=0，解得d=2或d=?14，

因?yàn)閧an}是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，所以d>0，即d=2，

根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得an=a1+(n?1)d=3+(n?1)2=2n+1；

(2)令{bnan}是以X0123P1248控制系統(tǒng)中正常工作的元件個(gè)數(shù)X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=3×23=2，

p3產(chǎn)量4a0設(shè)備運(yùn)行概率p1?∴升級(jí)改造后單位時(shí)間內(nèi)產(chǎn)量的期望為4ap產(chǎn)品類型高端產(chǎn)品一般產(chǎn)品產(chǎn)量(單位：件)a3a利潤(rùn)(單位：元)21設(shè)備升級(jí)后單位時(shí)間內(nèi)的利潤(rùn)為2apk+3apk=5apk，即E(Y)=5apk．

(ii)若增加2個(gè)元件，則第一類：

原系統(tǒng)中至少有4個(gè)元件正常工作，其概率為p(1)=p3?C53p3(1?p)2，

第二類：原系統(tǒng)中恰好有3個(gè)元件正常工作，新增2個(gè)元件中至少有1個(gè)正常工作，

其概率為(1?p)2(2?p)；

第三類：原系統(tǒng)中恰好有2個(gè)元件正常工作，新增2個(gè)元件全部正常工作，

其概率為p(3)=C52p2(1?p)3?p2=C52p4(1?p19.解：(1)證明：過(guò)C1作C1E⊥AB于點(diǎn)E，如圖所示：

面ABC1⊥面ABC，AB是交線，C1E?面ABC1，故C??1E⊥面ABC，

又因?yàn)锽C?面ABC，故C??1E⊥BC，

又AC1⊥面BCC1B1，BC?面BCC1B