4.3.2

課時(shí)2等比數(shù)列的前

n項(xiàng)和公式的應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能在具體的問(wèn)題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系，并解決相應(yīng)的問(wèn)題.2.能靈活運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式進(jìn)行求和.3.能在實(shí)際的問(wèn)題情境中，抽象出等比數(shù)列模型，并能運(yùn)用等比數(shù)列

的概念、通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式、性質(zhì)解決一些綜合問(wèn)題.2.在計(jì)算前n項(xiàng)和時(shí)，

一定要考慮公比是否為1.3.推導(dǎo)前n項(xiàng)和公式時(shí)，用的方法為錯(cuò)位相減法.復(fù)習(xí)導(dǎo)入1.等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式：例1

如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為5

cm,取正方形ABCD各邊的中點(diǎn)F,F,G,H,

作第2個(gè)正方形EFGH,然后再取正方形EFGH各邊的中點(diǎn)I,J,K,L,作第3個(gè)正方形IJKL,依此方法一直繼續(xù)下去.(1)求從正方形ABCD開(kāi)始，連續(xù)10個(gè)正方形的面積之和；…

,

則a?=25.由于第k+1

個(gè)正方形的頂點(diǎn)分別是第k個(gè)正方形各邊的中點(diǎn)，所以因此，{an}是以25為首項(xiàng)，

為公比的等比數(shù)列.思考：各正方形的面積有何特點(diǎn)，能否利用數(shù)列表示呢?解：設(shè)正方形ABCD的面積為a?,

后繼正方形的面積依次為a?,a?,

…

,an,典型例題例1

如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為5

cm,取正方形ABCD各邊的中點(diǎn)F,F,G,H,作第2個(gè)正方形EFGH,然后再取正方形EFGH各邊的中點(diǎn)I,J,K,L,作第3個(gè)正方形IJKL,依此方法一直繼續(xù)下去.(1)求從正方形ABCD開(kāi)始，連續(xù)10個(gè)正方形的面積之和；設(shè){an}的前n

項(xiàng)和為Sn.所以，前10個(gè)正方形的面積之和典型例題(2)如果這個(gè)作圖過(guò)程可以一直繼續(xù)下去，那么所有這些正方形的面積之和將趨近于多少?解(2):當(dāng)n

無(wú)限增大時(shí)，Sn

無(wú)限趨近于所有正方形的面積和將趨近于0,將趨近于50.

轉(zhuǎn)化為分析函數(shù)最值問(wèn)題所以，所有這些正方形的面積之和將趨近于50.典型例題隨著n的無(wú)限增大，a1+a2+a3+

…+an+

…

方法歸納與用等差數(shù)列的前n

項(xiàng)和公式解決問(wèn)題類似，用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式解決問(wèn)題時(shí)：1.先發(fā)現(xiàn)問(wèn)題情境中呈等比關(guān)系變化的量，并構(gòu)造一個(gè)等比數(shù)列來(lái)刻畫(huà)它；2.把求這個(gè)量的和的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求等比數(shù)列和的問(wèn)題.隨著n的無(wú)限增大，

將趨近于0,將趨近于50.試一試：根據(jù)上面的面積求和問(wèn)題，你能分析等比數(shù)列的前n項(xiàng)和有怎樣的函數(shù)特征嗎?轉(zhuǎn)化為分析函數(shù)最值問(wèn)題等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的函數(shù)特征：(1)當(dāng)q=1時(shí)，Sn=na

是關(guān)于n的一次函數(shù).(2)當(dāng)q≠1時(shí)，設(shè)

S?！魽q'-A

即S,是關(guān)于n的一個(gè)指數(shù)型函數(shù)。

結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：q”的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)互為相反數(shù).

1.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)

和Sn=22n+1+a,若此數(shù)列為等比數(shù)列，則a=

-2

解：因?yàn)閿?shù)列{an}的前n項(xiàng)

和S,=22n+1+a,所以an=Sn-Sn-1=(22n+1+a)-(22n-1+a)=3·22n-1,n≥2;又a?=8+a,因?yàn)閿?shù)列{an}為等比數(shù)列，則a?=8+a

也滿足an=3

·22n-1,即a?=8+a=3

·2=6,

解

得a=-2.故答案為-2.練一練典型例題例2

去年某地產(chǎn)生的生活垃圾為20萬(wàn)噸，其中14萬(wàn)噸垃圾以填埋方式處理，6萬(wàn)噸垃圾以環(huán)保方式處理.預(yù)計(jì)每年生活垃圾的總量遞增5%,同時(shí)，通過(guò)環(huán)保方式處理的垃圾量每年增加1.5萬(wàn)噸.為了確定處理生活垃圾的預(yù)算，請(qǐng)你測(cè)算一下從

今年起5年內(nèi)通過(guò)填埋方式處理的垃圾總量(精確到0.1萬(wàn)噸).解：設(shè)從今年起每年生活垃圾的總量(單位：萬(wàn)噸)構(gòu)成數(shù)列{an},每年以環(huán)保方式處理的垃圾量(單位：萬(wàn)噸)構(gòu)成數(shù)列{bn},n

年內(nèi)通過(guò)填埋方式處理的垃圾總量為Sn(單位：萬(wàn)噸),則an=20(1+5%)",bn=b+1.5n,分析：每年生活垃圾的總量構(gòu)成

等

比

數(shù)列；每年以環(huán)保方式處理的垃圾量

構(gòu)成

等差

數(shù)列.例2

去年某地產(chǎn)生的生活垃圾為20萬(wàn)噸，其中14萬(wàn)噸垃圾以填埋方式處理，6萬(wàn)噸垃圾以環(huán)保方式處理.預(yù)計(jì)每年生活垃圾的總量遞增5%,同時(shí)，通過(guò)環(huán)保方式

處理的垃圾量每年增加1.5萬(wàn)噸.為了確定處理生活垃圾的預(yù)算，請(qǐng)你測(cè)算一下從

今年起5年內(nèi)通過(guò)填埋方式處理的垃圾總量(精確到0.1萬(wàn)噸).Sn=(a?-b?)+(a?-b?)+…+(an-bn)

=(

a?+a?+…+an

)+(

b?+b?+…+bn)分組求和

=(20×1.05+20×1.052+…+20×1.05”)-(7.5+9+…+b+1.5n)當(dāng)n=5時(shí)，S?≈63.5.所以，從今年起5年內(nèi)，通過(guò)填埋方式處理的垃圾總量約為63.5萬(wàn)噸.

要點(diǎn)歸納若數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列，數(shù)列{bn}是公差為d

的等差數(shù)列，數(shù)列{an+bn}的前n

項(xiàng)和S

為：Sn=(a?+b?)+(a?+b?)+…

十

(an+bn)=(a?+a?+…+an)+(b?+b?+…+bn)

分組求和法

練一練

2.計(jì)算：(2-3×5-1)+(4-3×5-2)+…+(2n-3×5-n).例3

某牧場(chǎng)今年初生的存欄數(shù)為1200,預(yù)計(jì)以后每年存欄數(shù)的增長(zhǎng)率為8%,且在每年年底賣出100頭牛.設(shè)牧場(chǎng)從今年起每

年年初的計(jì)劃存欄數(shù)依次為，C?,C?,C?,

….(1)寫(xiě)出一個(gè)遞推公式，表示Cn+1與cn

之間的關(guān)系；(2)將(1)中的遞推公式表示成Cn+1-k=r(Cn-k)的形式，其

中k,r

為常數(shù)；解(1):由題意，得C?=1200,并且Cn+1=1.08cn-100.①(2):將Cn+1-k=r(Cn-k)

化成Cn+1=rcn-rk+k.

②比較①②的系數(shù)，可得

典型例題典型例題例3

某牧場(chǎng)今年初生的存欄數(shù)為1200,預(yù)計(jì)以后每年存欄數(shù)的增長(zhǎng)率為8%,且在每年年底賣出100頭牛.設(shè)牧場(chǎng)從今年起每

年年初的計(jì)劃存欄數(shù)依次為，C?,C?,C?,

….(2)將(1)中的遞推公式表示成Cn+1-k=r(Cn-k)的形式，其中k,r

為常數(shù)；解這個(gè)方程組，得

所以，(1)中的遞推公式可以化為：Cn+1-1250=1.08(Cn-

1250).例3某牧場(chǎng)今年初生的存欄數(shù)為1200,預(yù)計(jì)以后每年存欄數(shù)的增長(zhǎng)率為8%,且在每年年底賣出100頭牛.設(shè)牧場(chǎng)從今年起每

年年初的計(jì)劃存欄數(shù)依次為，C?,C?,C?,

…

.(3)求S?0=C?

+C?

+C?

+

…+C10的值(精確到1).(3)由(2)可知，數(shù)列{Cn-1250}

是以-50為首項(xiàng)，1.08為公比的等比數(shù)列，則：(C?-1250)+(C?-1250)+(C?-1250)+…+(C10-1250)所以，S10=C1+C?+C?+…+C10≈1250×10-724.3=11775.7≈11776.典型例題方法歸納在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，有時(shí)不容易發(fā)現(xiàn)呈等差關(guān)系或等比關(guān)系變化的量，但可以發(fā)現(xiàn)某些量的遞推關(guān)系.①可以先構(gòu)建一個(gè)用遞推關(guān)系表達(dá)的數(shù)列，再嘗試通過(guò)代數(shù)變換，把這個(gè)

數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列，或等差數(shù)列與等比數(shù)列的線性組合.②若數(shù)列{cn}滿足：Cn+1=rcn+m,先通過(guò)引入?yún)?shù)，

建立一個(gè)含cn+1與cn的等比關(guān)系，

再求出其中的參數(shù)，

這實(shí)際上是待定系數(shù)法，即：Cn+1—k=r(cn—k)

,

先求出數(shù)列{cn—k}的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求得數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式.

練一練3.一個(gè)乒乓球從100cm

高的高度自由落下，每次落下后反彈的高度都是原來(lái)高度

的0.61倍.(1)當(dāng)它第6次著地時(shí)，經(jīng)過(guò)的總路程是多少(精確到1cm)?(2)至少在第幾次著地后，它經(jīng)過(guò)的總路程能達(dá)到400cm?解：(1)由題可知，每次落地的高度形成以1為首項(xiàng)，0.61為公比的等比數(shù)列，則當(dāng)它第6次著地時(shí)，

經(jīng)過(guò)的總路程為1+2(0.61+0.612+...所以當(dāng)它第6次著地時(shí)，經(jīng)過(guò)的總路程是386cm;

練一練

3.一個(gè)乒乓球從100cm高的高度自由落下，每次落下后反彈的高度都是原來(lái)高度的0.61倍.(1)當(dāng)它第6次著地時(shí)，經(jīng)過(guò)的總路程是多少(精確到1cm)?(2)至少在第幾次著地后，它經(jīng)過(guò)的總路程能達(dá)到400cm?解：

(2)由題意得1+2(0.61+0.612+...整理得0.61′≤0.025,所以n≥8,則至少在第8次著地后，它經(jīng)過(guò)的總路程能達(dá)到400cm.新

知

講

解思考：若{an}是公比為q的等比數(shù)列，

S偶，S奇分別是數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)和與奇數(shù)項(xiàng)和，則S偶，

間有什么關(guān)系?S偶=a?+a?+...+a?n

S

偶=qS

奇

臺(tái)(2)若等比數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)有2n+1項(xiàng)，則S偶=a?

十a(chǎn)?十

.

.

.

十a(chǎn)2nS奇a?

十a(chǎn)?十...十

a2n-1

十a(chǎn)2n+1=a?+(a?+...

=a?+q(a?+a?+...+a?n)=a?+qS

偶(1)若等比數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)有2n項(xiàng)，則S奇=a?+a?+….+a?n-1

S奇=a?+qS

偶

4.已知等比數(shù)列{an}共有32項(xiàng)，其公比q=3,且奇數(shù)項(xiàng)之和比偶數(shù)項(xiàng)之和少60,則數(shù)列{an}的所有項(xiàng)之和是(

D)A.30B.60

C.90D.120解：由題知S

偶

=

qS奇

=

3S

奇，

又

S奇

+

60=S偶，所

以S奇

+

6

0

=

3S奇，解得S奇

=

3

0

,

S

偶

=

9

0

,故數(shù)列{an}的所有項(xiàng)之和是30+90=120

.練一練本課小結(jié)本節(jié)課你學(xué)到了