米4.3.2等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式(1)米復(fù)習(xí)回顧1.等比數(shù)列的定義：2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：①

an=a?q"-1

②an=amq"-m(m,n∈N")3.等比中項(xiàng)：a,G,b為等比數(shù)列?

G2=ab(ab>0)4.

等比數(shù)列的主要性質(zhì)：若

m+n=p+q

(m,n,p,q∈N),

則aman=

apa。.特別地，若m+n=2t

(m,n,t∈N*),

則有aman=

a2

.陛下賞小人幾粒麥子就搞定.第一格放1粒麥子，以后每個(gè)格子里放

的麥粒數(shù)都是前一

個(gè)格子里放的的2倍，

直到第64個(gè)格子.情景導(dǎo)入相傳古印度的舍罕王打算重賞國際象棋的發(fā)明者——宰相你想得到

什么樣的

賞賜?OK!西薩

·班

·達(dá)依爾，于是，這位國王對(duì)宰相說：1

2

22

23

…

2?2

2632?+21+22+23+…+2?2+263=實(shí)際上就是一個(gè)以1為首項(xiàng)，2為公比

的等比數(shù)列的前64項(xiàng)的求和問題情景導(dǎo)入根據(jù)以上數(shù)據(jù)，判斷國王是否能實(shí)現(xiàn)他的諾言?故事可以提煉出一個(gè)什么數(shù)學(xué)問題?情景導(dǎo)入S?4=2?+21+22+23+

…

…+2?2+23①①×2得：2S?4=

21+22+23+2?+……+23

+2?4

②由②-①

得：

S

?4=264

1=18446744073709551615≈

1.84×1019假定千粒麥子的質(zhì)量為40g,那么麥粒的總質(zhì)量超過了7000億噸.所以當(dāng)人們把一袋一袋的麥子搬來開始計(jì)數(shù)時(shí)，國王才發(fā)現(xiàn)：就是把全印度甚至全世界的麥粒拿來，也滿足不了他的要求.

2002年全世界小麥總產(chǎn)量約為4.56億噸.2016年全世界小麥總產(chǎn)量約為7.5億噸.錯(cuò)位相減法S?4=2?+21+22+23+……+2?2+263

①①×2得：2S?4=

21+22+23+2?+…+23

+2?4

②由②-①得：

S?4=264—1思考1①式兩邊為什么要乘以2?2是該等比數(shù)列的公比.思考2

類比上面求和的方法能否得到一般等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式呢?錯(cuò)位相減法情景導(dǎo)入①-②得

:

S,—qS,=a?—a?q”,

即

S?(1-q)=a?(1-q”).當(dāng)q≠1

時(shí)，當(dāng)q=1

時(shí)

，Sn=na?.新知探究設(shè)等比數(shù)列{a}的首項(xiàng)為a?,公比為q,則{a}的前n

項(xiàng)和為是否可以把等式兩邊同

除以(1-q)?Sn=a?+a?+a?+…+an-1+an,

由

于an=a?q”-1.錯(cuò)位相減法①×①通項(xiàng)公式：

an=a?q"

-“知三求二”公式中涉及a?,q,n,an,Sn

五個(gè)量

(方程思想)注意：等比數(shù)列求和時(shí)應(yīng)考慮q=1與q≠1兩種情況.等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和的公式：當(dāng)q=1

時(shí)

，S,=

na?新知獲得當(dāng)q≠1時(shí)，新知獲得等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和的公式：當(dāng)

q≠1時(shí)

，2

加

1m

而則例7已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列.(1)若

,求S?;解

：

:

例題分析

等比數(shù)列的計(jì)算書P35例7已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列.(2)若a?=27,

,q<0,

求S?;解：

q=27,例題分析又∵q<0,∴書P35例7已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列.(3)

≤

,求n.

代入，

得整理，

解得，n=5.例題分析書P35解

：練習(xí)1.已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列.(1)若a?=3,q=2,n=6,

求Sn;(2)若a?=-2.7,

,求Sn;解：(1)書P37(

3

)

解：當(dāng)q≠1時(shí)

，當(dāng)

,

滿

足

條

件

。在解方程組時(shí)，經(jīng)常用到兩式相除達(dá)到整體消

元的目的，注意立方差、

平方差公式的使用

,q=1

或a,=6,

練

習(xí)1.已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列

.q未知時(shí)，注意考慮q=1

與q≠1兩種情況書P37解

得練

習(xí)∴a=3×2,或u

。=2×3”1書P37求

a

和Sn.3.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)

和

為S,已知a?=6,6a?+a?=30.解：由已知可得解

得練習(xí)

等比數(shù)列的對(duì)稱設(shè)法

書P374.

已知三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，它們的和等于14,積等于64.求這個(gè)等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比.解：設(shè)這三個(gè)數(shù)分別為

,a,aq,

則已知條件可得,

解得∴這個(gè)等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比分別為2,2或8,例題分析

書P36例8已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為一1,前n項(xiàng)和為Sn,若

求公比q.解：若q=1,

則

,

∴q≠1.當(dāng)q≠1,

由

得即新知獲得等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)：等比數(shù)列{an},

其前n項(xiàng)的和為S,

則有1.性質(zhì)1:

當(dāng)

q≠1時(shí)

，練習(xí)

等比數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用

書P375.如果一個(gè)等比數(shù)列前5項(xiàng)的和等于10,前10項(xiàng)的和等于50,

那么這個(gè)數(shù)列的公比等于多少?解

：設(shè)這個(gè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為a?,

公比為q.當(dāng)q=1

時(shí)，顯然不合題意，∴q≠1.,兩式相除，并化簡整理得1+q?=5,∴q=54.例題分析

書P36例9已知等比數(shù)列{an}的公比q≠一

1,前n項(xiàng)和為Sn,

證明Sn,S?n-Sn,S?n-S?n,成等比數(shù)列，并這個(gè)數(shù)列的公比.證明：當(dāng)q=1

時(shí)，Sn=na?,S?n-Sn=na?,S?n-S?n=na?.∴S,S2n-S,S?n-S?n

成等比數(shù)列，公比為1.例9已知等比數(shù)列{an}的公比q≠-1,前n項(xiàng)和為S,證明Sn,S?n-Sn,S?n-S?n,成等比數(shù)列，并這個(gè)數(shù)列的公比.當(dāng)q≠1

時(shí)，例題分析P36書例題分析

書P36例9已知等比數(shù)列{an}的公比q≠一

1,前n項(xiàng)和為S,證明Sn,S?n-Sn,S?n-S?n,成等比數(shù)列，并這個(gè)數(shù)列的公比.∴S,S?n-S,S?n-S?n

成等比數(shù)列，公比為q".新知獲得等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)：等比數(shù)列{an},

其前n項(xiàng)的和為S,

則有1.性質(zhì)1:當(dāng)q≠1時(shí)，2.性質(zhì)2:

Sn,S?n-Sn,S?n-S2n,.….也是等比數(shù)列，公比為q".

(其中S,S?n-Sn,S?n—S?n,

…

均不為0)解

：設(shè)這個(gè)等比數(shù)列前n

項(xiàng)

和

為S

還有其他解法嗎?S?,S??-S?,S?5-S??成等比數(shù)列，公比為q?

.∴q=34練習(xí)

等比數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用

書P375.如果一個(gè)等比數(shù)列前5項(xiàng)的和等于10,前10項(xiàng)的和等于50,

那么這個(gè)數(shù)列的公比等于多少?變式：如果一個(gè)等比數(shù)列前5項(xiàng)的和等于10,前10項(xiàng)的和等于50,

求這個(gè)數(shù)列的前15項(xiàng)的和.解：設(shè)這個(gè)等比數(shù)列前n項(xiàng)和為S,S?,S??-S?,S?5-S??

成

等比

數(shù)

列

.即10,40,S?5-50

成等比數(shù)列，公比為4.∴S??-50=160,∴S?5=210.練習(xí)

等比數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用

書P37新知獲得等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)：等比數(shù)列{an},

其前n項(xiàng)的和為S,

則有1.性質(zhì)1:

當(dāng)q≠1時(shí)，2.性質(zhì)2:

Sn,S?n-Sn,S?n-S2n

,.….也是等比數(shù)列，公比為q".

(其中S,S?n-Sn,S?n—S?n,

…均不為0)3.性質(zhì)3:

若項(xiàng)數(shù)為2n,

則

補(bǔ)充：一個(gè)等比數(shù)列共2n項(xiàng)，其和為-240,且奇數(shù)項(xiàng)和比偶數(shù)項(xiàng)和大80,則公比q=.

2

●練習(xí)

等比數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用

練P43新知獲得等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)：等比數(shù)列{an},

其前n項(xiàng)的和為S,

則有4.性質(zhì)4:

數(shù)列{an}是等比數(shù)列→Sn=

Aq"

-A(A≠0,q≠0,q≠1).練習(xí)

等比數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用

練P43補(bǔ)充：

數(shù)列{an}是公比為3的等比數(shù)列，其前n

項(xiàng)的和S,=3"+k,則

k=

-1

●課堂小結(jié)等比數(shù)列{an}的

前n項(xiàng)和的公式：當(dāng)q=1

時(shí)

，Sn=na?當(dāng)q≠1時(shí)

，通項(xiàng)公式：

an=a?q"-1“知三求二”公式中涉及a?

,q,n,an,S,

五個(gè)量

(方程思想)注

意

：等比數(shù)列求和時(shí)應(yīng)考慮q=1

與