第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)首都師大附中2025-2026學(xué)年第一學(xué)期期末練習(xí)高二數(shù)學(xué)一、選擇題：本大題共10小題，共50分。1.拋物線y2=8x的準(zhǔn)線方程是(

)A.x=2 B.x=?2 C.y=2 D.y=?22.在x2?2x4的展開式中，A.4 B.?4 C.8 D.?83.已知{an}是公差不為零的等差數(shù)列，且a1+A.52 B.92 C.9 4.某學(xué)校隨機(jī)抽查了本校20個(gè)同學(xué)，調(diào)查他們平均每天在課外進(jìn)行體育鍛煉的時(shí)間(單位：分鐘)，根據(jù)所得數(shù)據(jù)的莖葉圖，以5為組距將數(shù)據(jù)分為8組，分別是0,5,5,10,...,35,40，做出頻率分布直方圖如圖所示，則原始的莖葉圖可能是(

)A. B.

C. D.5.近年來(lái)，盲盒產(chǎn)品風(fēng)靡市場(chǎng)，深受年輕人追捧．新上市的某種盲盒產(chǎn)品共有6個(gè)不同的款式，每一套都有6個(gè)外觀和質(zhì)量相同的盲盒，且包含了這6個(gè)不同的款式．小銘喜歡其中的2款，他從一套的6個(gè)盲盒中隨機(jī)購(gòu)買2個(gè)，則至少有1個(gè)盲盒中是他喜歡的款式的概率為(

)A.19 B.815 C.356.設(shè)點(diǎn)A1,0，動(dòng)直線l：x+ay+2a?1=0，作AM⊥l于點(diǎn)M，則點(diǎn)M到坐標(biāo)原點(diǎn)O距離的最小值為(

)A.1 B.2+1 C.27.已知{an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和，則“a4>a3”是“對(duì)于任意n∈A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8.過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A,?B兩點(diǎn)，點(diǎn)O是原點(diǎn)，如果BF=3,?∠BFO=2π3，那么A.1 B.32 C.3 D.9.在數(shù)列{an}中，若an2?an??12=p，(n≥2，n∈N?，①若{an}是等方差數(shù)列，則{an②{(?1)n}是等方差數(shù)列；③若{an}是等方差數(shù)列，則{akn}(k∈N?，k為常數(shù))也是等方差數(shù)列；④若{an}既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，則該數(shù)列為常數(shù)列．其中正確命題的個(gè)數(shù)是(

)A.1 B.2 C.3 D.410.如果小明在某一周的第一天和第七天分別吃了3個(gè)水果，且從這周的第二天開始，每天所吃水果的個(gè)數(shù)與前一天相比，僅存在三種可能：或“多一個(gè)”或“持平”或“少一個(gè)”，那么，小明在這一周中每天所吃水果個(gè)數(shù)的不同選擇方案共有(

)A.50種 B.51種 C.140種 D.141種二、填空題：本大題共5小題，共25分。11.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若?S1、S2、a312.若2x+15=a0+a1x+1+a213.將4位志愿者全部分配到世博會(huì)的3個(gè)不同場(chǎng)館服務(wù)，每個(gè)場(chǎng)館至少分配1人，且每位志愿者不能兼職，則不同的分配方案有

種．14.已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的右焦點(diǎn)為F，過F作垂直于x軸的直線與雙曲線C15.無(wú)窮數(shù)列an前n項(xiàng)和為Sn，且滿足：?n∈N?，an>①a2=2③?n0∈N?，使得三、解答題：本題共6小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過程或演算步驟。16.甲、乙兩袋裝有形狀、大小都相同的紅球和白球，甲袋裝有2個(gè)紅球，3個(gè)白球；乙袋裝有1個(gè)紅球，2個(gè)白球．(1)若從甲袋中連續(xù)抽取2次，每次取1個(gè)球，抽取后不放回，則在第1次取到白球的條件下，第2次取到紅球的概率是___________．(2)若從甲袋中隨機(jī)取2個(gè)，求所取的2個(gè)球中至少有一個(gè)紅球的概率；(3)若從甲袋中隨機(jī)取1個(gè)球，放入乙袋中，再?gòu)囊掖须S機(jī)取2個(gè)球，求取到的2個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率．17.已知等差數(shù)列an中，a1=5,?7a2=4a4.數(shù)列(1)求數(shù)列an和b(2)設(shè)數(shù)列cn=an+Sn，求18.某高中組織學(xué)生研學(xué)旅行．現(xiàn)有A，B兩地可供選擇，學(xué)生按照自愿的原則選擇一地進(jìn)行研學(xué)旅行．研學(xué)旅行結(jié)束后，學(xué)校從全體學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行滿意度調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下表：

高一高二高三A地B地A地B地A地B地滿意122183156一般226568不滿意116232假設(shè)所有學(xué)生的研學(xué)旅行地點(diǎn)選擇相互獨(dú)立．用頻率估計(jì)概率．(1)估計(jì)該校學(xué)生對(duì)本次研學(xué)旅行滿意的概率；(2)分別從高一、高二、高三三個(gè)年級(jí)中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)這3人中至少有2人選擇去B地的概率；(3)對(duì)于上述樣本，在三個(gè)年級(jí)去A地研學(xué)旅行的學(xué)生中，調(diào)查結(jié)果為滿意的學(xué)生人數(shù)的方差為s12，調(diào)查結(jié)果為不滿意的學(xué)生人數(shù)的方差為s22，寫出s12和19.已知橢圓E：x2a2+y2b2=1a>b>0的離心率為32，A，C分別是橢圓E(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)P為第一象限內(nèi)橢圓E上的動(dòng)點(diǎn)，直線PA與直線BC交于點(diǎn)M，直線PD與直線x=?2交于點(diǎn)N，求證：MN//CD．20.已知橢圓x29+y25=1的右頂點(diǎn)為A，左焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F作斜率不為零的直線l交橢圓于M，N兩點(diǎn)，連接AM，AN分別交直線x=?92于P，Q兩點(diǎn)，過點(diǎn)(1)求證：點(diǎn)R為線段PQ的中點(diǎn);(2)記△MPR，△MRN，△NRQ的面積分別為S1，S2，S3，試探究：是否存在實(shí)數(shù)λ使得λS2

21.已知數(shù)列A:a1，a2，…，an(n≥2)滿足ai∈N?且1≤ai≤i(i=1,2,…,n)，數(shù)列B:b1，b2，…，bn(n≥2)滿足(1)數(shù)列A:1，1，2，3，4，請(qǐng)直接寫出數(shù)列B；(2)證明：b(3)若數(shù)列A相鄰兩項(xiàng)均不相等，且B與A為同一個(gè)數(shù)列，證明：ai=i(i=1,2,…,n)．參考答案1.B

2.D

3.B

4.B

5.C

6.C

7.B

8.A

9.D

10.D

11.3或?1

12.?1

；?；2

13.36

14.(1,15.①②④

16.(1)解：設(shè)事件A=“第1次取到白球”，B=“第2次取到紅球”，因?yàn)榧状b有2個(gè)紅球，3個(gè)白球，從中連續(xù)抽取2次，每次取1個(gè)球，基本事件的總數(shù)為N=5×4=20種取法，則P(A)=C31C4所以在第1次取到白球的條件下，第2次取到紅球的概率為12(2)解：因?yàn)榧状b有2個(gè)紅球，3個(gè)白球，從甲袋中隨機(jī)取2個(gè)，可得基本事件的總數(shù)為N1設(shè)事件E=“所取的2個(gè)球中至少有一個(gè)紅球”，則E=“所取的2則P(E)=C所以所取的2個(gè)球中至少有一個(gè)紅球的概率710(3)解：設(shè)事件C=“取到的2個(gè)球中恰有1個(gè)紅球”，事件D1事件D2從甲袋中取球，因?yàn)榧状b有2個(gè)紅球，3個(gè)白球，可得P(D若從甲袋中取到紅球放入乙袋，此時(shí)乙袋中有2個(gè)紅球和2個(gè)白球，則從乙袋中取2個(gè)球，恰有1個(gè)紅球的概率為PC若從甲袋中取出白球放入乙袋，此時(shí)乙袋中有1個(gè)紅球和3個(gè)白球，則從乙袋中取2個(gè)球，恰有1個(gè)紅球的概率為PC根據(jù)全概率公式，可得P(C)=P(D所以取到的2個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率為1730

17.(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由a所以a2=a解得d=3，所以an所以an由Sn當(dāng)n=1時(shí)，S1=b當(dāng)n≥2時(shí)，由Sn=2b所以bn=S所以數(shù)列bn是以2為公比，2所以bn(2)由(1)得Sn所以cn所以T=3×所以cn的前n項(xiàng)和Tn為：

18.(1)從表格數(shù)據(jù)可知，隨機(jī)抽取的100名學(xué)生對(duì)本次研學(xué)旅行滿意的人數(shù)為12+2+18+3+15+6=56，因此該校學(xué)生對(duì)本次研學(xué)旅行滿意的概率可估計(jì)為56100(2)設(shè)事件A1：抽取的高一學(xué)生選擇去B事件A2：抽取的高二學(xué)生選擇去B事件A3：抽取的高三學(xué)生選擇去B事件Ci：抽取的3人中恰有i人選擇去B地，i=2,3事件D：抽取的3人中至少有2人選擇去B地．從數(shù)據(jù)表格可知，抽取的100名學(xué)生中高一年級(jí)學(xué)生總數(shù)為12+2+1+2+2+1=20，選擇去B地的總數(shù)為2+2+1=5，所以PA1可估計(jì)為抽取的100名學(xué)生中高二年級(jí)學(xué)生總數(shù)為18+6+6+3+5+2=40，選擇去B地的總數(shù)為3+5+2=10，所以PA2可估計(jì)為抽取的100名學(xué)生中高三年級(jí)學(xué)生總數(shù)為15+6+3+6+8+2=40，選擇去B地的總數(shù)為6+8+2=16，所以PA3可估計(jì)為因?yàn)镈=C所以P(D)=P=PA所以抽取的3人中至少有2人選擇去B地的概率可估計(jì)為14(3)在三個(gè)年級(jí)去A地研學(xué)旅行的學(xué)生中，調(diào)查結(jié)果為滿意的學(xué)生人數(shù)的平均數(shù)為x1則調(diào)查結(jié)果為滿意的學(xué)生人數(shù)的方差為s1調(diào)查結(jié)果為不滿意的學(xué)生人數(shù)的平均數(shù)為x2則調(diào)查結(jié)果為不滿意的學(xué)生人數(shù)的方差為s2則s1

19.(1)依題意得，a2=b2所以橢圓E的方程為x2(2)設(shè)Px0,y0，其中x因?yàn)锳0,1，B?2,0，C0,?1所以直線PD的方程為y=y令x=?2，則y=?4y0因?yàn)橹本€BC的方程為y=0?(?1)又直線PA的方程為y=y聯(lián)立y=?12所以M?4所以直線MN的斜率kMN又因?yàn)閤0所以kMN因?yàn)橹本€CD的斜率kCD=0?(?1)又因?yàn)橹本€MN與直線CD顯然不重合，所以MN//CD．

20.解：(1)A(3,0)，F(xiàn)(?2,0)，設(shè)l:x=my?2，M(x1,y1)，N(x2,y2)，

聯(lián)立x=my?2,x29+y25=1,得(5m2+9)y2?20my?25=0，則y1+y2=20m5m2+9，

y1y2=?255m2+9，

直線AM:y=y1x1?3(x?3)，令x=?92得y=?15y12(x1?3)，

所以21.【詳解】(1)b1=τ(a1b4=τ(a故數(shù)列B為1，1，3，4，5．(2)證明：i．i=1時(shí)，由1≤ai≤i知aii．i≥2時(shí)，設(shè)ai=k，①若k=1，則有bi②