模型展示(1)如圖①,在正方形ABCD

中，以下三個條件：①AE=DF;②BE=AF;③BE⊥A

F,

由其中任意一

個可推導(dǎo)出另外兩個.(2)如圖②③

,在正方形

ABCD

中，若

EG⊥FH,

則

EG=FH.1

正方形中的“十字形”模型類型②③1.如圖，在正方形ABCD中

，E、F

分別是邊

AD

、CD

上的點(點E、F不與端點重合),且

AE=DF,BE

、AF

交于點

P,C作

CHLBE于

點

H.若

AB=3,AE=√7,

則線段BH=E2.

如圖，在正方形ABCD中

，AD=12,AE=13,F為

AE的中點，過點

F

作直線分別與

AD、BC相交于點

M、N.

若

MN=AE,

且

AM>BN,求

AM

的長

.解：如圖，過點

N作

NHLAD

于點

H,連

結(jié)

ME.∵

四邊形

ABCD

是

正

方形

，∴AB=AD,∠D=∠B=∠BAD=90°.BN又

∵

NHLAD,

∴∠NHA=∠NHD=90°,∴

四邊形ABNH是

矩形，∴

NH=AB=AD.在

Rt△NMH和

Rt△AED

中，∵MN=EA,NH=AD,∴Rt△NMH≌Rt△AED(HL),

∠HNM=∠DAE.∵∠HNM+∠AMN=90°,∴∠DAE+∠AMN=90°,∴∠AFM=90°

.又∵

F

為

AE

的中點，∴易得

AM=ME.∵AD=12,AE=13,∴

易得

DE=5.∵ME2=DM2+DE2,∴AM2=(12-AM)2+52,∴●模型展示

如圖，在正方形ABCD

中，∠EOF=90°

,則△OBE≌△OCF,△AOE≌△BOF,△AOG≌△BOH,GEBH2

正方形中的“對角互補”模型△GOH

是等腰直角三角形，D0C,BE+BF=AB.DCEBl類型3.如圖，邊長為4的正方形ABCD

的對角線交點

為

O,另

一

個邊長為4的正方形OEF

G

繞著點

O轉(zhuǎn)動，且邊

OE

、OG

分別交邊

BC、CD

于

點

M

、N.(1)求證：△OBM≌△OCN.(2)設(shè)這兩個正方形的重疊部分的面積為

S,S

是否為定值?若是，求出

S

的值；若不是，

請說明理由.(1)證

明：∵

四

邊形和四

邊形OEFG

都

是正

方

形，∴

易

得

OB=OC,∠OBM=∠OCN=45°,∠BOC=∠EOG=90°

.∴∠BOC

一

∠MOC=∠EOG一

∠MOC,即∠BOM=∠CON.∴△OBM≌△OCN(ASA).B(2)解：S

是定值?！摺鱋BM≌△OCN,∴S△OBM=S△OCN.∴S=S△Ocn

十S△ocM=S△OBM十S△OcM=S△OBC=,即重登部分的面積

S是定值，為4.模型展示(1)如圖，在正方形

ABCD

中，若∠EAF=45°,則：①EF=BE+DF;②△CEF

的周長為正方形

ABCD

邊長的2倍；③FA

平分∠DFE,EA平分∠BEF.3

正方形中的“半角”模型(輔助線作法)類型(2)如圖，在正方形

ABCD中，若∠EAF=45°,

則平分∠DFE,EF=DF—BE.(

輔

助

線

作

法

2

)(

輔

助

線

作

法

1

)4.如圖，在正方形

ABCD

中，點

E、F

分別在邊BC

、CD上，且∠EAF=45°,連結(jié)

EF.(1)求證：EF=BE+DF;(2)若BE=3,CF=4,求正方形ABCD

的邊長.90°,AD=AB.∴△ADF≌△ABH(SAS).∴∠DAF=∠BAH,AF=AH.∴∠FAH=∠BAF

十

∠BAH=∠BAF十∠DAF=∠BAD=90°

.∵∠EAF=45°,∴∠EAH=∠FAH

一

∠EAF=45°=∠EAF.又∵AE=AE,∴△FAE≌△HAE(SAS).∴EF=EH=BE+BH.∴EF=BE+DF.(1)證明：如圖，延長

EB

至

點H,

使BH=DF,

連

結(jié)

AH.∵

四

邊

形

ABCD是正

方

形，∴∠D=∠BAD=∠ABC=∠ABH=H

B(2)解：設(shè)

BC=CD=x,

則

CE=BC—BE=x-3,DF=

CD

一CF=x—4.∴EF=BE

十DF=3十x—4=x-1.在

Rt△CEF中，CE2+CF2=EF2,即(x-3)2+42=(x-1)2,

解得

x=6.

∴BC=6.∴正

方

形

ABCD的邊長為

6

.模型展示

如圖，在正方形

ABCD中

，∠

AEF=90°,CF平分∠DCH,AG=EC

,則△AGE≌△ECF.GDD4

正方形中的“外角平分線十垂直”模型GB

E類型C

HC

EHB5.如圖①,在正方形ABC

D

中

，E

是

邊

AD上

一點，連結(jié)

BE,

以BE

為邊作等腰直角三角形

BEF,其中∠BEF=90°,

過點

F

作

AD

的

垂

線，垂足為點M,

連

結(jié)

DF.(1)求證：△ABE≌△MEF.(2)①猜想DF

與AE

之間的數(shù)量關(guān)系，并說明

理由

.②如圖②,當

E是

AD

延長線上一點，題干

中其他條件不變時，①中的結(jié)論是否仍

然成立?請說明理由

.②①(1

)

證明：∵四

邊

形ABCD是正方形，∴∠A=

90°

.∵△BEF

是

等

腰

直

角

三

角

形，∠BEF=90°,∴BE=EF,∠AEB+∠FEM=180°-∠BEF=90°.∵FMLAD,

∴∠M=∠A=90°.∴∠FEM+∠MFE=180°-∠M=90°

.∴∠AEB=∠MFE.

∴△ABE≌△MEF(AAS).②①(2

)

解：①DF=√2AE.理

由如下：由(

1

)

得

△ABE≌△MEF,∴AE=MF,AB=ME.∵四邊

形

ABCD

是

正

方

形，

∴AB=AD=ME.∴AD一

DE=ME一

DE,即

AE=MD.∴MD=MF.又

∵

∠M=90°,∴DF2=MD2+MF2=2MF2

.∴DF=√2MF.

∴DF=√2AE.A②①②①中

的

結(jié)

論

仍

然成

立

.理由

如

下：∵

四

邊

形

ABCD

是正方形，∴∠A=90°,AB=AD.

∵△BEF

是等腰直角三角形，∠BEF=90°,∴BE=EF,∠AEB+∠FEM=180°-∠BEF=90°

.

∵FMLAD,∴∠M=∠A=90°

.∴∠FEM+∠MFE=180°-∠M=90°

.