2026年數(shù)學(xué)建模與算法應(yīng)用題庫(kù)一、線性規(guī)劃問(wèn)題（3題，每題15分）1.題目某食品公司位于華北地區(qū)，主要生產(chǎn)兩種營(yíng)養(yǎng)麥片：A型和B型。A型麥片每袋成本為3元，售價(jià)為6元；B型麥片每袋成本為4元，售價(jià)為7元。生產(chǎn)過(guò)程中，每袋A型麥片需要消耗面粉0.5千克、蛋白質(zhì)粉0.2千克，每袋B型麥片需要消耗面粉0.7千克、蛋白質(zhì)粉0.3千克。公司每日可供面粉總量為100千克，蛋白質(zhì)粉總量為50千克。根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，每日A型麥片需求量不超過(guò)80袋，B型麥片需求量不超過(guò)60袋。問(wèn)：公司如何安排每日生產(chǎn)計(jì)劃，才能使每日利潤(rùn)最大？2.題目某物流公司在西南地區(qū)運(yùn)營(yíng)三個(gè)倉(cāng)庫(kù)（W1、W2、W3），向四個(gè)銷(xiāo)售點(diǎn)（S1、S2、S3、S4）配送商品。各倉(cāng)庫(kù)庫(kù)存量、各銷(xiāo)售點(diǎn)需求量、單位運(yùn)輸成本（元/噸·千米）及各倉(cāng)庫(kù)到各銷(xiāo)售點(diǎn)的距離（千米）如下表所示：|倉(cāng)庫(kù)→銷(xiāo)售點(diǎn)|S1|S2|S3|S4|庫(kù)存量（噸）||--|-|-|-|-|||W1|10|15|20|25|200||W2|12|18|22|30|150||W3|14|16|24|28|180||需求量（噸）|80|100|120|90||要求：在滿足各銷(xiāo)售點(diǎn)需求量的前提下，如何安排配送方案才能使總運(yùn)輸成本最低？3.題目某化工企業(yè)位于華東地區(qū)，生產(chǎn)兩種產(chǎn)品：甲和乙。生產(chǎn)甲產(chǎn)品需要消耗原料A和B，每噸甲產(chǎn)品需A2噸、B1噸；生產(chǎn)乙產(chǎn)品需要消耗原料A和C，每噸乙產(chǎn)品需A1噸、C2噸。原料A、B、C的每日供應(yīng)量分別為100噸、80噸、120噸。甲產(chǎn)品售價(jià)為10萬(wàn)元/噸，乙產(chǎn)品售價(jià)為8萬(wàn)元/噸。此外，生產(chǎn)甲產(chǎn)品會(huì)產(chǎn)生污染，每噸甲產(chǎn)品污染量為5噸，企業(yè)需繳納環(huán)保費(fèi)1萬(wàn)元/噸；乙產(chǎn)品無(wú)污染。環(huán)保部門(mén)每日允許排放污染總量不超過(guò)200噸。問(wèn)：企業(yè)如何安排生產(chǎn)計(jì)劃，才能使每日利潤(rùn)最大？二、整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題（2題，每題20分）1.題目某建筑公司在西北地區(qū)承建一項(xiàng)工程項(xiàng)目，需要采購(gòu)兩種設(shè)備：挖掘機(jī)和裝載機(jī)。挖掘機(jī)單價(jià)為50萬(wàn)元/臺(tái)，裝載機(jī)單價(jià)為30萬(wàn)元/臺(tái)。根據(jù)工程需求，挖掘機(jī)數(shù)量不能超過(guò)8臺(tái)，裝載機(jī)數(shù)量不能超過(guò)10臺(tái)。每臺(tái)挖掘機(jī)每天可完成工程量10立方米，每臺(tái)裝載機(jī)每天可完成工程量8立方米。工程總量為800立方米，每日至少需要完成工程量60立方米。問(wèn)：公司如何采購(gòu)設(shè)備，才能在滿足工程需求的前提下，使采購(gòu)成本最低？2.題目某電商平臺(tái)位于華南地區(qū)，計(jì)劃在雙十一期間促銷(xiāo)三種商品：手機(jī)、電腦和平板。手機(jī)每臺(tái)利潤(rùn)為500元，庫(kù)存量100臺(tái)；電腦每臺(tái)利潤(rùn)為800元，庫(kù)存量80臺(tái)；平板每臺(tái)利潤(rùn)為300元，庫(kù)存量120臺(tái)。根據(jù)平臺(tái)策略，每種商品促銷(xiāo)數(shù)量必須是10的倍數(shù)。此外，平臺(tái)要求每日總促銷(xiāo)金額不低于50000元。問(wèn)：平臺(tái)如何安排促銷(xiāo)方案，才能使每日利潤(rùn)最大？三、動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題（2題，每題20分）1.題目某旅游公司在東北地區(qū)的冬季推出滑雪套餐，套餐分為三日游和五日游兩種。三日游每人利潤(rùn)為600元，五日游每人利潤(rùn)為1000元。根據(jù)預(yù)訂情況，每日預(yù)訂量分別為：三日游不超過(guò)50人，五日游不超過(guò)30人。游客選擇套餐時(shí)，可以連續(xù)選擇，但不能跳過(guò)。問(wèn)：公司如何安排套餐分配，才能使每日利潤(rùn)最大？2.題目某電信運(yùn)營(yíng)商在華中地區(qū)推出流量套餐，套餐分為月套餐和季套餐。月套餐每月費(fèi)用50元，包含流量2GB；季套餐每季費(fèi)用120元，包含流量6GB。根據(jù)用戶行為分析，每月新增用戶不超過(guò)1000人，且每月至少有80%的用戶選擇套餐。問(wèn)：運(yùn)營(yíng)商如何安排套餐推廣，才能在滿足用戶需求的前提下，使每月收入最大？四、圖論與網(wǎng)絡(luò)流問(wèn)題（2題，每題25分）1.題目某城市（華東地區(qū)）規(guī)劃新的交通網(wǎng)絡(luò)，需要修建若干條道路連接四個(gè)區(qū)域（A、B、C、D）。道路建設(shè)成本（萬(wàn)元/千米）及區(qū)域間距離（千米）如下表所示：|區(qū)域→區(qū)域|A|B|C|D|可用資金（萬(wàn)元）||--|--|--|--|--|-||A|-|5|7|8|||B|5|-|6|9|||C|7|6|-|4|||D|8|9|4|-||要求：在滿足所有區(qū)域間連通的前提下，如何安排道路建設(shè)方案，才能使總建設(shè)成本最低？2.題目某電力公司（華北地區(qū)）需要將電力從發(fā)電站（S）輸送到三個(gè)工業(yè)區(qū)（A、B、C）。發(fā)電站每日發(fā)電量100萬(wàn)千瓦，各工業(yè)區(qū)需求量分別為：A50萬(wàn)千瓦，B40萬(wàn)千瓦，C60萬(wàn)千瓦。輸電線路容量（萬(wàn)千瓦/千米）及發(fā)電站到各工業(yè)區(qū)的距離（千米）如下表所示：|發(fā)電站→工業(yè)區(qū)|A|B|C|輸電線路容量（萬(wàn)千瓦/千米）||-|--|--|--|-||S|10|15|20|||A|-|5|8|||B|5|-|6|||C|8|6|-||要求：如何安排輸電線路建設(shè)方案，才能在滿足各工業(yè)區(qū)需求的前提下，使總建設(shè)成本最低？五、機(jī)器學(xué)習(xí)與數(shù)據(jù)挖掘問(wèn)題（2題，每題25分）1.題目某銀行（華東地區(qū)）收集了1000名客戶的信用數(shù)據(jù)，包括年齡、收入、負(fù)債率等特征，以及是否違約（1表示違約，0表示未違約）。數(shù)據(jù)如下表所示（部分?jǐn)?shù)據(jù)已隱藏）：|年齡|收入（萬(wàn)元）|負(fù)債率|是否違約|||-|--|-||25|5|0.3|0||35|8|0.5|1||...|...|...|...|要求：（1）建立邏輯回歸模型預(yù)測(cè)客戶違約概率；（2）使用隨機(jī)森林模型分析各特征對(duì)違約的影響程度。2.題目某電商平臺(tái)（華南地區(qū)）收集了用戶瀏覽、購(gòu)買(mǎi)等行為數(shù)據(jù)，如下表所示（部分?jǐn)?shù)據(jù)已隱藏）：|用戶ID|商品ID|瀏覽時(shí)長(zhǎng)（分鐘）|購(gòu)買(mǎi)時(shí)長(zhǎng)（分鐘）|是否購(gòu)買(mǎi)||--|--|--|--|-||1|101|5|2|1||2|102|10|5|0||...|...|...|...|...|要求：（1）建立梯度提升樹(shù)模型預(yù)測(cè)用戶購(gòu)買(mǎi)概率；（2）分析哪些行為特征對(duì)購(gòu)買(mǎi)決策影響最大。答案與解析一、線性規(guī)劃問(wèn)題1.答案設(shè)每日生產(chǎn)A型麥片x1袋，B型麥片x2袋，利潤(rùn)為z元。約束條件：1.面粉約束：0.5x1+0.7x2≤1002.蛋白質(zhì)粉約束：0.2x1+0.3x2≤503.需求約束：x1≤80，x2≤604.非負(fù)約束：x1,x2≥0目標(biāo)函數(shù)：z=3x1+4x2使用單純形法或線性規(guī)劃軟件求解，最優(yōu)解為：x1=80，x2=40，z=280。解析：通過(guò)求解線性規(guī)劃模型，確定在資源限制下，生產(chǎn)80袋A型和40袋B型麥片可使利潤(rùn)最大。2.答案設(shè)從W1、W2、W3分別向S1、S2、S3、S4配送的貨物量分別為x11,x12,x13,x14,x21,x22,x23,x24,x31,x32,x33,x34噸。約束條件：1.需求約束：x11+x12+x13+x14=80，x21+x22+x23+x24=100，x31+x32+x33+x34=120，x11+x21+x31=80，x12+x22+x32=100，x13+x23+x33=120，x14+x24+x34=902.庫(kù)存約束：x11+x12+x13+x14≤200，x21+x22+x23+x24≤150，x31+x32+x33+x34≤1803.非負(fù)約束：xij≥0目標(biāo)函數(shù)：z=10x11+15x12+20x13+25x14+12x21+18x22+22x23+30x24+14x31+16x32+24x33+28x34使用線性規(guī)劃軟件求解，最優(yōu)解為（部分）：x11=80,x12=0,x13=20,x14=0,x21=0,x22=100,x23=50,x24=0,x31=0,x32=0,x33=50,x34=40，z=7100。解析：通過(guò)求解運(yùn)輸問(wèn)題模型，確定最優(yōu)配送方案可使總運(yùn)輸成本最低。3.答案設(shè)每日生產(chǎn)甲產(chǎn)品y1噸，乙產(chǎn)品y2噸，利潤(rùn)為z萬(wàn)元。約束條件：1.原料A約束：2y1+y2≤1002.原料B約束：y1≤803.原料C約束：2y2≤1204.污染約束：5y1≤2005.非負(fù)約束：y1,y2≥0目標(biāo)函數(shù)：z=10y1+8y2-y1=9y1+8y2使用單純形法或線性規(guī)劃軟件求解，最優(yōu)解為：y1=40，y2=30，z=540。解析：通過(guò)求解線性規(guī)劃模型，確定在資源限制下，生產(chǎn)40噸甲產(chǎn)品和30噸乙產(chǎn)品可使利潤(rùn)最大。二、整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題1.答案設(shè)采購(gòu)?fù)诰驒C(jī)x1臺(tái)，裝載機(jī)x2臺(tái)，成本為z萬(wàn)元。約束條件：1.工程量約束：10x1+8x2≥8002.每日工程量約束：10x1+8x2≥603.數(shù)量約束：x1≤8，x2≤104.非負(fù)約束：x1,x2≥0且為整數(shù)目標(biāo)函數(shù)：z=50x1+30x2使用分支定界法或整數(shù)規(guī)劃軟件求解，最優(yōu)解為：x1=8，x2=5，z=540。解析：通過(guò)求解整數(shù)規(guī)劃模型，確定在滿足工程需求的前提下，采購(gòu)8臺(tái)挖掘機(jī)和5臺(tái)裝載機(jī)可使成本最低。2.答案設(shè)促銷(xiāo)手機(jī)x1臺(tái)，電腦x2臺(tái)，平板x3臺(tái)，利潤(rùn)為z元。約束條件：1.數(shù)量約束：x1=10a，x2=10b，x3=10c（a,b,c為整數(shù)）2.需求約束：x1≤100，x2≤80，x3≤1203.利潤(rùn)約束：500x1+800x2+300x3≥500004.非負(fù)約束：x1,x2,x3≥0目標(biāo)函數(shù)：z=500x1+800x2+300x3使用整數(shù)規(guī)劃軟件求解，最優(yōu)解為：x1=100，x2=50，x3=100，z=90000。解析：通過(guò)求解整數(shù)規(guī)劃模型，確定在滿足促銷(xiāo)金額要求的前提下，促銷(xiāo)100臺(tái)手機(jī)、50臺(tái)電腦和100臺(tái)平板可使利潤(rùn)最大。三、動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題1.答案設(shè)每日選擇三日游和五日游的天數(shù)分別為y1和y2，利潤(rùn)為z元。狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：z(y1,y2)=max{600z(y1-1,y2)+600,1000z(y1,y2-1)+1000}（y1,y2≥1）初始條件：z(0,y2)=0,z(y1,0)=0使用動(dòng)態(tài)規(guī)劃軟件求解，最優(yōu)解為：y1=4，y2=2，z=5600。解析：通過(guò)動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型，確定在每日預(yù)訂量限制下，選擇4天三日游和2天五日游可使利潤(rùn)最大。2.答案設(shè)每月選擇月套餐和季套餐的用戶數(shù)分別為y1和y2，收入為z元。狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：z(y1,y2)=max{50y1+120y2,50z(y1-1,y2)+120}（y1,y2≥1）初始條件：z(0,y2)=0,z(y1,0)=0使用動(dòng)態(tài)規(guī)劃軟件求解，最優(yōu)解為：y1=800，y2=200，z=70000。解析：通過(guò)動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型，確定在用戶需求限制下，推廣800個(gè)月套餐和200季套餐可使收入最大。四、圖論與網(wǎng)絡(luò)流問(wèn)題1.答案將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最小生成樹(shù)問(wèn)題，使用克魯斯卡爾算法求解。最優(yōu)方案為：連接A-B（5），A-C（7），B-D（9），總成本為30萬(wàn)元。解析：通過(guò)最小生成樹(shù)模型，確定在滿足連通性前提下，最小成本