4.3.4數(shù)列求通項的方法注：①有的數(shù)列沒有通項公式，如：

3，π，e，6；

②有的數(shù)列有多個通項公式，如：

﹣1，1，﹣1，1，...我們來一起研究一下數(shù)列通項公式的常用求法：

如果數(shù)列{an}的第n項an與n之間的關(guān)系可以用一個公式來表示，這個公式就叫做這個數(shù)列的通項公式．即an=f(n)

數(shù)列的通項公式求數(shù)列通項公式的常用方法：1.觀察法4.累乘法3.累加法5.構(gòu)造數(shù)列法2.已知Sn求an一、觀察法（猜想法，不完全歸納法）

觀察數(shù)列中各項與其序號間的關(guān)系，分解各項中的變化部分與不變部分，再探索各項中變化部分與序號間的關(guān)系，從而歸納出構(gòu)成規(guī)律寫出通項公式.

解：變形為：101－1,102―1,103―1,104―1,…∴通項公式為：例1

求數(shù)列9，99，999，9999，…的通項.

練1

求數(shù)列3，5，9，17，33，…的通項.

解：變形為：21+1，22+1，23+1，24+1，

25+1，……

聯(lián)想與轉(zhuǎn)化是由已知認(rèn)識未知的兩種有效的思維方法.∴通項公式為：二、已知Sn求an

注意：要先分n=1和n>1兩種情況分別進(jìn)行運(yùn)算，然后驗證能否統(tǒng)一.

例2

已知數(shù)列{an}的前n項和Sn的公式為

，求{an}的通項公式.

類型一：已知Sn表達(dá)式求an

例3

已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若

，求{an}的通項公式.

類型二：已知Sn和an關(guān)系式求an

練2

已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若

，求an.

類型二：已知Sn和an關(guān)系式求an

例4

在數(shù)列{an}中,a1+a2+...+an=2n-1.(1)求an

;(2)求a12+a22+...+an2.

類型三：已知a1+a2+...+an=f(n)求an

解：(2)記bn=an2=(2n-1)2=4n-1，b1=40=1

∴{bn}是以1為首項，以4為公比的等比數(shù)列.

記{bn}的前n項和為Tn，

∴.例4

在數(shù)列{an}中,a1+a2+...+an=2n-1.(1)求an

;(2)求a12+a22+...+an2.

類型三：已知a1+a2+...+an=f(n)求an練3

數(shù)列{an}滿足a1+2a2+3a3+...+nan=2n，求an

.

類型三：已知a1+a2+...+an=f(n)求an

三、累加法

當(dāng)所給數(shù)列每相鄰兩項之差為關(guān)于n的式子時，就可用累加進(jìn)行消元.

例5

數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1﹣an=2n+1，求an

.

解：

∴兩邊相加得：

∴

∴

an+1﹣an=f(n)當(dāng)n=1時，a1=1滿足上式.練4

數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1﹣an=2n，求an

.

解：

∴兩邊相加得：

∴

當(dāng)n=1時，a1=1滿足上式.∴

解：

提示：累加后用裂項相消求和.

四、累乘法

當(dāng)一個數(shù)列每相鄰兩項之比為關(guān)于n的式子時，就可用累乘法進(jìn)行消元.

例6已知數(shù)列{an}中，，，求通項公式an.

解：由已知，，得：把1，2，…，n分別代入上式得：

，，…，把上面n-1個式子左右兩邊同時相乘得：

例6已知數(shù)列{an}中，，，求通項公式an.

解：把上面n-1個式子左右兩邊同時相乘得：當(dāng)n=1時，a1=2滿足上式.∴練6已知數(shù)列{an}中，，

，求通項公式an.

解：

五、構(gòu)造數(shù)列法已知遞推關(guān)系式an+1=kan+p(k≠0,1)時，主要通過構(gòu)造數(shù)列an+1+m=k(an+m)，轉(zhuǎn)化成等比數(shù)列的形式.

∴數(shù)列{bn}是公比q=2，首項b1=a1+1=2的等比數(shù)列，即∴例7

已知數(shù)列{an}的遞推關(guān)系為，且求通項公式an.

解：∵∴∴令∴

練7

已知數(shù)列{an}的遞推關(guān)系為，且，求通項公式an.

解：六、因式分解法已知an+1與an的二次遞推式，通常要對二次式因式分解.例8