第2講整式與因式分解【構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】知識(shí)點(diǎn)1代數(shù)式代數(shù)式用運(yùn)算符號(hào)把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子叫代數(shù)式，單獨(dú)的一個(gè)數(shù)字或字母也是代數(shù)式，如2，a，π列代數(shù)式把數(shù)和數(shù)量關(guān)系用字母表示出來代數(shù)式的值用具體數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，按照代數(shù)式里指明的運(yùn)算順序計(jì)算出來的結(jié)果【滿分技能】整體代入法1．先觀察已知代數(shù)式與所求代數(shù)式的關(guān)系．2．將所求代數(shù)式變形，令其用已知代數(shù)式表示出來；常用提取公因式法、平方差公式或完全平方公式．3．把已知代數(shù)式看成一個(gè)整體代入求值．知識(shí)點(diǎn)2整式的相關(guān)概念單項(xiàng)式由數(shù)字與字母的乘積表示的式子，叫做單項(xiàng)式．單獨(dú)的一個(gè)數(shù)字或字母也是單項(xiàng)式多項(xiàng)式定義幾個(gè)單項(xiàng)式的和項(xiàng)多項(xiàng)式中的每一個(gè)單項(xiàng)式次數(shù)多項(xiàng)式中次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)常數(shù)項(xiàng)不含字母的項(xiàng)整式單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱整式同類項(xiàng)定義所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng)，所有的常數(shù)項(xiàng)都是同類項(xiàng)合并同類項(xiàng)把同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)叫做合并同類項(xiàng)知識(shí)點(diǎn)3整式的運(yùn)算1．整式加減運(yùn)算加減運(yùn)算實(shí)質(zhì)合并同類項(xiàng)去括號(hào)法則1.括號(hào)前是“＋”號(hào)，括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)不變號(hào)2．括號(hào)前是“－”號(hào)，括號(hào)內(nèi)每一項(xiàng)都變號(hào)2.冪的運(yùn)算同底數(shù)冪的乘法同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加．即am·an＝am＋n(m，n為整數(shù))同底數(shù)冪的除法同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減．即am÷an＝am－n(a≠0，m，n為整數(shù))冪的乘方冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘．即(am)n＝amn(m，n為整數(shù))積的乘方積的乘方，等于把積的每一個(gè)因式乘方，再把所得的冪相乘．即(ab)n＝an·bn(n為整數(shù))零指數(shù)冪a0＝1(a≠0)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪a－p＝(a≠0，p為正整數(shù))3.整式乘法單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，將系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，其余字母連同它的指數(shù)不變，作為積的因式單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加．即m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加．即(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb乘法公式平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b24.整式除法單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式單項(xiàng)式相除，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除，作為商的因式；對(duì)于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)一起作為商的一個(gè)因式多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別除以單項(xiàng)式，再把所得的商相加5．整式混合運(yùn)算整式混合運(yùn)算1.整式混合運(yùn)算的順序，先算乘方，再算乘除，最后算加減，如果有括號(hào)，先算括號(hào)里面的2．如果有同類項(xiàng)，就合并同類項(xiàng)，最后的結(jié)果必須是最簡(jiǎn)形式知識(shí)點(diǎn)4因式分解定義把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式方法1.提公因式法：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)2.公式法：a2－b2＝(a＋b)(a－b)；a2±2ab＋b2＝(a±b)23.十字相乘法：x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)4.分組分解法一般步驟一提：當(dāng)多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式時(shí)，通常先提公因式；二套：再考慮應(yīng)用公式法；三檢查：因式分解的結(jié)果要徹底，每個(gè)因式要分解到不能再分解為止【滿分技能】1.因式分解和整式乘法互為逆過程．2．判斷整式變形是否為因式分解，關(guān)鍵看分解的對(duì)象是不是多項(xiàng)式，分解的結(jié)果是否為整式的乘積的形式．3．如果多項(xiàng)式的第一項(xiàng)的系數(shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，通常先提出“－”號(hào)，使括號(hào)內(nèi)第一項(xiàng)的系數(shù)成為正數(shù)．在提出“－”號(hào)時(shí)，多項(xiàng)式的各項(xiàng)都要變號(hào)．4．由于因式分解與整式乘法是互逆過程，所以可以用整式乘法檢驗(yàn)因式分解的正誤．考點(diǎn)2代數(shù)式(5年6地3考)1．[呼和浩特中考]某商品先按批發(fā)價(jià)a元提高10%零售，后又按零售價(jià)降低10%出售，則最后的單價(jià)是()A．a(chǎn)元B．0.99a元C．1.21a元D．0.81a元2．[2025·內(nèi)蒙古]冰糖葫蘆是我國(guó)傳統(tǒng)小吃，若大串冰糖葫蘆每根穿5個(gè)山楂，小串冰糖葫蘆每根穿3個(gè)山楂，則穿m根大串和n根小串冰糖葫蘆需要的山楂總個(gè)數(shù)用代數(shù)式表示為_______．5m＋3n考點(diǎn)3代數(shù)式的值(5年6地7考)1．[2022·包頭]若a，b互為相反數(shù)，c的倒數(shù)是4，則3a＋3b－4c的值為()A．－8B．－5C．－1D．162．[2023·赤峰]已知2a2－a－3＝0，則(2a＋3)(2a－3)＋(2a－1)2的值是()A．6B．－5C．－3D．4考點(diǎn)4冪的運(yùn)算(5年6地16考)1．[2023·包頭]下列各式計(jì)算結(jié)果為a5的是()A．(a3)2B．a(chǎn)10÷a2C．a(chǎn)4·aD．(－1)－1a52．[2022·包頭]若24×22＝2m，則m的值為()A．8B．6C．5D．2考點(diǎn)5整式的運(yùn)算(5年6地15考)1．[2024·呼和浩特]下列運(yùn)算正確的是()A．(3x)3＝9x3B．(x－2)2＝x2－4C．(－2ab2)2＝4a2b4D．3a＋4b＝7ab2．[2024·赤峰]下列計(jì)算正確的是()A．a(chǎn)2＋a3＝a5

B．(a＋b)2＝a2＋b2C．a(chǎn)6÷a3＝a2

D．(a3)2＝a63．[2024·赤峰]已知a2－a－3＝0，求代數(shù)式(a－2)2＋(a－1)(a＋3)的值．解：∵a2－a－3＝0，∴a2－a＝3，∴(a－2)2＋(a－1)(a＋3)＝a2－4a＋4＋a2＋2a－3＝2a2－2a＋1＝2(a2－a)＋1＝2×3＋1＝7.考點(diǎn)7因式分解(5年6地13考)1．[2024·通遼]因式分解3ax2－6axy＋3ay2＝_________．2．[2024·呼倫貝爾]分解因式：a＋2ab＋ab2＝________．3．[2023·赤峰]分解因式：x3－9x＝______________．3a(x－y)2a(1＋b)2x(x＋3)(x－3)考點(diǎn)8規(guī)律探究(5年6地5考)1．[2022·呼倫貝爾]觀察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807……根據(jù)其中的規(guī)律可得70＋71＋…＋72022的結(jié)果的個(gè)位數(shù)字是()A．0B．1C．7D．82．[2021·鄂爾多斯]將一些相同的“”按如圖所示的規(guī)律依次擺放，觀察每個(gè)“龜圖”的“”的個(gè)數(shù)，則第30個(gè)“龜圖”中有____個(gè)“”．8751．[2025·綏化]下列計(jì)算中，結(jié)果正確的是()A．a(chǎn)3·a4＝a12

B．(－2m3)2＝4m6

D．(x＋3)(x－3)＝x2－32．[2025·南充]下列計(jì)算正確的是()A．2a＋a＝3B．2a－a＝2C．2a·a＝2a2

D．2a÷a＝2a3．[2025·上海]用代數(shù)式表示a與b差的平方，正確的是()A．a(chǎn)2－b2

B．(a－b)2C．a(chǎn)2－bD．a(chǎn)－b24．[2025·山西]近年來，我省依托鄉(xiāng)村e(cuò)鎮(zhèn)建設(shè)，打造農(nóng)村電商新產(chǎn)業(yè)，提高了農(nóng)民收入．某農(nóng)戶通過網(wǎng)上銷售傳統(tǒng)手工藝品布老虎，利潤(rùn)由原來的每個(gè)20元增加到80元．該農(nóng)戶通過網(wǎng)上售出a個(gè)布老虎，則他的利潤(rùn)增加了____元(用含a的代數(shù)式表示)．5．[2025·北京]分解因式：7m2－28＝______________．60a7(m＋2)(m－2)6．[2025·齊齊哈爾]若代數(shù)式＋(x－2025)0有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是______________．7．[2025·自貢]若2a＋b＝－1，則4a2＋2ab－b的值為__．8．[2025·綏化]分解因式：2mx2－4mxy＋2my2＝_________．x>3且x≠202512m(x－y)29．[2025·浙江]【文化欣賞】我國(guó)南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家楊輝于1261年寫下《詳解九章算法》，書中記載的二項(xiàng)和的乘方(a＋b)n展開式的系數(shù)規(guī)律如圖所示，其中“三乘”對(duì)應(yīng)的展開式：(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4.【應(yīng)用體驗(yàn)】已知(x＋2)4＝x4＋mx3＋24x2＋32x＋16，則m的值為__．810．[2025·綏化]觀察下圖，圖1有2個(gè)三角形，記作a1＝2；圖2有3個(gè)三角形，記作a2＝