PAGEPAGE1江蘇省揚(yáng)州市江都二中2015-2016學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考試題一、精心選一選（每題3分，共24分） 1．下列方程中，關(guān)于x的一元二次方程是（） A．x2+2x=x2﹣1 B． C．a(chǎn)x2+bx+c=0 D．3（x+1）2=2（x+1）2．用配方法解方程x2+10x+9=0，配方正確的是（） A．（x+5）2=16 B．（x+5）2=34 C．（x﹣5）2=16 D．（x+5）2=253．如圖，在△ABC中，DE∥BC，，則下列結(jié)論中正確的是（） A． B． C． D． 4．若（a2+b2）2﹣2（a2+b2）﹣3=0，則代數(shù)式a2+b2的值（） A．﹣1 B．3 C．﹣1或3 D．1或﹣35．如果關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）中a﹣b+c=0，那么方程必有一個(gè)根是（） A．1 B．﹣1 C．0 D．26．⊙O的半徑為10cm，兩平行弦AC，BD的長(zhǎng)分別為12cm，16cm，則兩弦間的距離是（） A．2cm B．14cm C．6cm或8cm D．2cm或14cm7．△ABC是⊙O內(nèi)接三角形，∠BOC=80°，那么∠A等于（） A．80° B．40° C．140° D．40°或140°8．如圖，已知⊙O的直徑AB=12，E、F為AB的三等分點(diǎn)，M、N為上兩點(diǎn)，且∠MEB=∠NFB=60°，則EM+FN=（） A． B． C．2 D．33 二、細(xì)心填一填（每題3分，共30分） 9．方程x2+x=0的解是． 10．以﹣3和6為根且二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程是． 11．如圖，AB是⊙O的弦，AB=4，點(diǎn)C是⊙O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且∠ACB=45°．若點(diǎn)M，N分別是AB，BC的中點(diǎn)，則MN長(zhǎng)的最大值是． 12．如圖，∠C=90°，⊙C與AB相交于點(diǎn)D，AC=5，CB=12，則AD=． 13．已知關(guān)于x的一元二次方程（k+1）x2+x+k2﹣1=0的一個(gè)根是0，則k=． 14．已知x1，x2是方程x2﹣2x﹣1=0的兩個(gè)根，則+等于． 15．關(guān)于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=﹣2，x2=1，（a，m，b均為常數(shù)，a≠0），則方程a（x+m+2）2+b=0的解是． 16．已知a，b是方程x2﹣x﹣3=0的兩個(gè)根，則代數(shù)式2a3+b2+3a2﹣11a﹣b+6的值為． 17．某校去年投資2萬(wàn)元購(gòu)買實(shí)驗(yàn)器材，預(yù)計(jì)今明2年的投資總額為8萬(wàn)元．若該校這兩年購(gòu)買的實(shí)驗(yàn)器材的投資年平均增長(zhǎng)率為x，則可列方程為． 18．如圖，已知△ABC的三邊長(zhǎng)為a=3，b=4，c=5，若平行于三角形一邊的直線l將△ABC的周長(zhǎng)分成相等的兩部分，設(shè)圖中的小三角形①、②、③的面積分別為s1、s2、s3，則s1、s2、s3的大小關(guān)系是（用“＞”號(hào)連接） 三、用心做一做（本大題共10小題，共96分） 19．解一元二次方程． （1）（x﹣3）2﹣9=0 （2）x2﹣2x﹣5=0 （3）3x（x﹣2）=2（x﹣2） （4）x2+17=8x． 20．關(guān)于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m+1=0． （1）求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根； （2）m為何整數(shù)時(shí)，此方程的兩個(gè)根都為正整數(shù)． 21．如圖所示，AB是圓O的直徑，以O(shè)A為直徑的圓C與圓O的弦AD相交于點(diǎn)E． 求證：點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)． 22．某商場(chǎng)銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件贏利40元，為了擴(kuò)大銷售，增加利潤(rùn)，盡量減少庫(kù)存，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價(jià)1元，商場(chǎng)平均每天可多售出2件； （1）若商場(chǎng)平均每天要贏利1200元，每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元？ （2）每件襯衫降價(jià)多少元時(shí)，商場(chǎng)平均每天贏利最多？ 23．如圖：已知P是半徑為5cm的⊙O內(nèi)一點(diǎn)．解答下列問(wèn)題： （1）用尺規(guī)作圖找出圓心O的位置．（要求：保留所有的作圖痕跡，不寫作法） （2）用三角板分別畫出過(guò)點(diǎn)P的最長(zhǎng)弦AB和最短弦CD． （3）已知OP=3cm，過(guò)點(diǎn)P的弦中，長(zhǎng)度為整數(shù)的弦共有條． 24．如圖，在半徑為5的扇形AOB中，∠AOB=90°，點(diǎn)C是弧AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分別為D、E． （1）當(dāng)BC=6時(shí)，求線段OD的長(zhǎng)； （2）在△DOE中是否存在長(zhǎng)度保持不變的邊？如果存在，請(qǐng)指出并求其長(zhǎng)度；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 25．如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A沿邊AB向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B沿邊BC向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)，有一點(diǎn)到終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)即停止．問(wèn)： （1）幾秒鐘后△PBQ的面積等于8cm2？ （2）幾秒鐘后PQ⊥DQ？ （3）是否存在這樣的時(shí)刻，使S△PDQ=8cm2，試說(shuō)明理由． 26．如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)D，使DC=CB，延長(zhǎng)DA與⊙O的另一個(gè)交點(diǎn)為E，連接AC，CE． （1）求證：∠B=∠D； （2）若AB=4，BC﹣AC=2，求CE的長(zhǎng)． 27．如圖，I是△ABC的內(nèi)心，∠BAC的平分線與△ABC的外接圓相交于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E． （1）求證：BD=ID； （2）求證：ID2=DEDA． 28．如圖，直徑為10的⊙O經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，并且與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，線段OA、OB（OA＞OB）的長(zhǎng)分別是方程x2+kx+48=0的兩根． （1）求線段OA、OB的長(zhǎng)； （2）已知點(diǎn)C在劣弧OA上，連結(jié)BC交OA于D，當(dāng)OC2=CDCB時(shí)，求C點(diǎn)的坐標(biāo)； （3）在⊙O上是否存在點(diǎn)P，使S△POD=S△ABD？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 2015-2016學(xué)年江蘇省揚(yáng)州市江都二中九年級(jí)（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷 參考答案與試題解析 一、精心選一選（每題3分，共24分） 1．下列方程中，關(guān)于x的一元二次方程是（） A．x2+2x=x2﹣1 B． C．a(chǎn)x2+bx+c=0 D．3（x+1）2=2（x+1）【考點(diǎn)】一元二次方程的定義． 【分析】本題根據(jù)一元二次方程的定義解答． 一元二次方程必須滿足四個(gè)條件： （1）未知數(shù)的最高次數(shù)是2； （2）二次項(xiàng)系數(shù)不為0； （3）是整式方程； （4）含有一個(gè)未知數(shù)．由這四個(gè)條件對(duì)四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證，滿足這四個(gè)條件者為正確答案． 【解答】解：A、原方程可化為：2x+1=0，是一元一次方程，錯(cuò)誤； B、是分式方程，錯(cuò)誤； C、方程二次項(xiàng)系數(shù)可能為0，錯(cuò)誤； D、原方程可化為：3x2+4x+1=0，符合一元二次方程定義，正確． 故選D． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的概念，解答時(shí)要先觀察方程特點(diǎn)，再依據(jù)以上四個(gè)方面的要求進(jìn)行有針對(duì)性的判斷． 2．用配方法解方程x2+10x+9=0，配方正確的是（） A．（x+5）2=16 B．（x+5）2=34 C．（x﹣5）2=16 D．（x+5）2=25【考點(diǎn)】解一元二次方程-配方法． 【分析】移項(xiàng)，配方（方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方），即可得出答案． 【解答】解：x2+10x+9=0， x2+10x=﹣9， x2+10x+52=﹣9+52， （x+5）2=16． 故選A． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了用配方法解一元二次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是能正確配方． 3．如圖，在△ABC中，DE∥BC，，則下列結(jié)論中正確的是（） A． B． C． D． 【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】由，得到=，根據(jù)平行線分線段成比例得到=，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論． 【解答】解：∵， ∴=， ∵DE∥BC， ∴=， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴==，==，=（）2=． 故選A． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 4．若（a2+b2）2﹣2（a2+b2）﹣3=0，則代數(shù)式a2+b2的值（） A．﹣1 B．3 C．﹣1或3 D．1或﹣3【考點(diǎn)】換元法解一元二次方程． 【分析】設(shè)a2+b2=x，將原方程變形，解一元二次方程即可． 【解答】解：設(shè)a2+b2=x， 原方程變形為，x2﹣2x﹣3=0， 解得x=3或﹣1， ∵a2+b2≥0， ∴a2+b2=3， 故選B． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了用換元法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是找出要變形的整體． 5．如果關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）中a﹣b+c=0，那么方程必有一個(gè)根是（） A．1 B．﹣1 C．0 D．2【考點(diǎn)】一元二次方程的解． 【分析】根據(jù)題意知，當(dāng)x=﹣1時(shí)，a﹣b+c=0，由此可以判定x=﹣1是原方程的一個(gè)根． 【解答】解：∵a﹣b+c=0，且當(dāng)x=﹣1時(shí)，a﹣b+c=0， ∴x=﹣1是原方程的一個(gè)根． 故選B． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是一元二次方程的根即方程的解的定義．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．即用這個(gè)數(shù)代替未知數(shù)所得式子仍然成立． 6．⊙O的半徑為10cm，兩平行弦AC，BD的長(zhǎng)分別為12cm，16cm，則兩弦間的距離是（） A．2cm B．14cm C．6cm或8cm D．2cm或14cm【考點(diǎn)】垂徑定理． 【分析】解答有關(guān)垂徑定理的題，作輔助線一般是連接半徑或作垂直于弦的直徑．分兩種情況解答：①弦AC、BD在⊙O的同側(cè)；②弦AC、BD在⊙O的兩側(cè)． 【解答】解：如圖① 作OE⊥AC垂足為E，交BD于點(diǎn)F， ∵OE⊥ACAC∥BD， ∴OF⊥BD， ∴AE=AC=6cmBF=BD=8cm， 在Rt△AOE中 OE===8cm 同理可得： OF=6cm ∴EF=OE﹣OF=8﹣6=2cm； 如圖② 同理可得：EF=OE+OF=8+6=14cm 綜上所述兩弦之間的距離為2cm或14cm． 故選D． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要利用垂徑定理，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形，運(yùn)用勾股定理來(lái)解決，還得注意分情況討論． 7．△ABC是⊙O內(nèi)接三角形，∠BOC=80°，那么∠A等于（） A．80° B．40° C．140° D．40°或140°【考點(diǎn)】圓周角定理． 【專題】分類討論． 【分析】因?yàn)辄c(diǎn)A可能在優(yōu)弧BC上，也可能在劣弧BC上，則根據(jù)圓周角定理，得∠BAC=40°或140°． 【解答】解：應(yīng)分為兩種情況： 點(diǎn)A在優(yōu)弧BC上時(shí)，∠BAC=40°； 點(diǎn)A在劣弧BC上時(shí)，∠BAC=140°； 所以∠BAC的大小為40°或140°． 故選D． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓周角定理．能夠注意到此題的兩種情況是解題的關(guān)鍵． 8．如圖，已知⊙O的直徑AB=12，E、F為AB的三等分點(diǎn)，M、N為上兩點(diǎn)，且∠MEB=∠NFB=60°，則EM+FN=（） A． B． C．2 D．33【考點(diǎn)】垂徑定理；含30度角的直角三角形；勾股定理． 【分析】延長(zhǎng)ME，交⊙O于點(diǎn)G，連接MO，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥MG于點(diǎn)H．由AE=EF=FB，EG∥NF可知EG=NF，由⊙O的直徑AB=12可以得知OE=2，在Rt△EHO中由特殊角的三角函數(shù)值可求出OH的長(zhǎng)度，再由垂徑定理可知MH=MG，在Rt△MHO中由勾股定理得出MH的值，從而得出MG的值，由MG=ME+EG=EM+FN可得知結(jié)論． 【解答】解：延長(zhǎng)ME，交⊙O于點(diǎn)G，連接MO，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥MG于點(diǎn)H，如圖所示． ∵AE=FE=FB，EG∥NF， ∴EG=NF，MG=ME+NF． ∵⊙O的直徑AB=12，E、F為AB的三等分點(diǎn)， ∴AE=EF=FB=4，AO=OB=OM=6， ∴OE=2． 又∵∠∠MEB=∠NFB=60°， ∴OH=OEsin∠HEO=． ∵OM=6， ∴MH==， ∴MG=2MH=2． 即EM+FN=2． 故選C． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值、勾股定理以及垂徑定理，解題的關(guān)鍵是找出MG=EM+FN，由勾股定理求出MG的長(zhǎng)度．本題屬于中檔題，有點(diǎn)難度，很多學(xué)生不知道如何去著手，再解決該類題型時(shí)，可以利用圓的對(duì)稱性尋找相等的量，以達(dá)到整體替換的效果． 二、細(xì)心填一填（每題3分，共30分） 9．方程x2+x=0的解是x1=0，x2=﹣1． 【考點(diǎn)】解一元二次方程-因式分解法． 【專題】計(jì)算題． 【分析】利用因式分解法解方程． 【解答】解：x（x+1）=0， x=0或x+1=0， 所以x1=0，x2=﹣1． 故答案為x1=0，x2=﹣1． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程右邊變形為0，然后把方程左邊進(jìn)行因式分解，這樣把一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解． 10．以﹣3和6為根且二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程是x2﹣3x﹣18=0． 【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系． 【分析】先計(jì)算出﹣3+6=3，﹣3×6=﹣18，然后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系寫出滿足條件的方程． 【解答】解：∵﹣3+6=3，﹣3×6=﹣18， ∴﹣3和6為根且二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程為x2﹣3x﹣18=0． 故答案為：x2﹣3x﹣18=0． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程兩個(gè)為x1，x2，則x1+x2=﹣，x1x2=． 11．如圖，AB是⊙O的弦，AB=4，點(diǎn)C是⊙O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且∠ACB=45°．若點(diǎn)M，N分別是AB，BC的中點(diǎn)，則MN長(zhǎng)的最大值是2． 【考點(diǎn)】三角形中位線定理；等腰直角三角形；圓周角定理． 【分析】根據(jù)中位線定理得到MN的最大時(shí)，AC最大，當(dāng)AC最大時(shí)是直徑，從而求得直徑后就可以求得最大值． 【解答】解：∵點(diǎn)M，N分別是AB，BC的中點(diǎn)， ∴MN=AC， ∴當(dāng)AC取得最大值時(shí)，MN就取得最大值， 當(dāng)AC時(shí)直徑時(shí)，最大， 如圖， ∵∠ACB=∠D=45°，AB=4， ∴AD=4， ∴MN=AD=2， 故答案為：2． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的中位線定理、等腰直角三角形的性質(zhì)及圓周角定理，解題的關(guān)鍵是了解當(dāng)什么時(shí)候MN的值最大，難度不大． 12．如圖，∠C=90°，⊙C與AB相交于點(diǎn)D，AC=5，CB=12，則AD=． 【考點(diǎn)】垂徑定理；勾股定理． 【分析】過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB，垂足為E，由勾股定理，先求出AB的長(zhǎng)，再由三角形的面積求出CE的長(zhǎng)，再利用勾股定理得出AE，最后由垂徑定理得出AD即可． 【解答】解：過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB，垂足為E， ∵∠C=90°，AC=5，CB=12， ∴由勾股定理，得AB=13， ∵5×12=13CE，∴CE=， ∴由勾股定理，得AE=， ∴由垂徑定理得AD=． 故答案為． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理和勾股定理，解此類題目要注意將圓的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成三角形的問(wèn)題再進(jìn)行計(jì)算． 13．已知關(guān)于x的一元二次方程（k+1）x2+x+k2﹣1=0的一個(gè)根是0，則k=1． 【考點(diǎn)】一元二次方程的解；一元二次方程的定義． 【專題】計(jì)算題． 【分析】先根據(jù)一元二次方程的解的意義把x=0代入方程求出k=1或﹣1，然后根據(jù)一元二次方程的定義確定k的值． 【解答】解：把x=0代入方程得k2﹣1=0，解得k=1或k=﹣1， 而k+1≠0， 所以k=1． 故答案為1． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．又因?yàn)橹缓幸粋€(gè)未知數(shù)的方程的解也叫做這個(gè)方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．也考查了一元二次方程的定義． 14．已知x1，x2是方程x2﹣2x﹣1=0的兩個(gè)根，則+等于﹣2． 【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系． 【專題】計(jì)算題． 【分析】根據(jù)一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2=2，x1x2=1，然后變形+得，再把x1+x2=2，x1x2=﹣1整體代入計(jì)算即可． 【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣2x﹣1=0的兩個(gè)根， ∴x1+x2=2，x1x2=﹣1， ∴+==﹣2． 故答案為﹣2． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程的兩根為x1，x2，則x1+x2=﹣，x1x2=．也考查了一元二次方程的根的判別式． 15．關(guān)于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=﹣2，x2=1，（a，m，b均為常數(shù)，a≠0），則方程a（x+m+2）2+b=0的解是x3=﹣4，x4=﹣1． 【考點(diǎn)】一元二次方程的解． 【專題】計(jì)算題；壓軸題． 【分析】把后面一個(gè)方程中的x+2看作整體，相當(dāng)于前面一個(gè)方程中的x求解． 【解答】解：∵關(guān)于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=﹣2，x2=1，（a，m，b均為常數(shù)，a≠0）， ∴方程a（x+m+2）2+b=0變形為a[（x+2）+m]2+b=0，即此方程中x+2=﹣2或x+2=1， 解得x=﹣4或x=﹣1． 故答案為：x3=﹣4，x4=﹣1． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了方程解的定義．注意由兩個(gè)方程的特點(diǎn)進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算． 16．已知a，b是方程x2﹣x﹣3=0的兩個(gè)根，則代數(shù)式2a3+b2+3a2﹣11a﹣b+6的值為24． 【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系；一元二次方程的解． 【分析】根據(jù)一元二次方程解的定義得到a2﹣a﹣3=0，b2﹣b﹣3=0，即a2=a+3，b2=b+3，則2a3+b2+3a2﹣11a﹣b+6=2a（a+3）+b+3+3（a+3）﹣11a﹣b+6，整理得2a2﹣2a+18，然后再把a(bǔ)2=a+3代入后合并即可． 【解答】解：∵a，b是方程x2﹣x﹣3=0的兩個(gè)根， ∴a2﹣a﹣3=0，b2﹣b﹣3=0，即a2=a+3，b2=b+3， ∴2a3+b2+3a2﹣11a﹣b+6=2a（a+3）+b+3+3（a+3）﹣11a﹣b+6 =2a2﹣2a+18 =2（a+3）﹣2a+18 =2a+6﹣2a+18 =24． 故答案為：24． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程的兩根為x1，x2，則x1+x2=﹣，x1x2=．也考查了一元二次方程解的定義． 17．某校去年投資2萬(wàn)元購(gòu)買實(shí)驗(yàn)器材，預(yù)計(jì)今明2年的投資總額為8萬(wàn)元．若該校這兩年購(gòu)買的實(shí)驗(yàn)器材的投資年平均增長(zhǎng)率為x，則可列方程為2（1+x）+2（1+x）2=8． 【考點(diǎn)】由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程． 【專題】增長(zhǎng)率問(wèn)題． 【分析】本題為增長(zhǎng)率問(wèn)題，一般用增長(zhǎng)后的量=增長(zhǎng)前的量×（1+增長(zhǎng)率），如果該校這兩年購(gòu)買的實(shí)驗(yàn)器材的投資年平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意可得出的方程． 【解答】解：設(shè)該校這兩年購(gòu)買的實(shí)驗(yàn)器材的投資年平均增長(zhǎng)率為x， 今年的投資金額為：2（1+x）； 明年的投資金額為：2（1+x）2； 所以根據(jù)題意可得出的方程：2（1+x）+2（1+x）2=8． 故答案為：2（1+x）+2（1+x）2=8． 【點(diǎn)評(píng)】增長(zhǎng)率問(wèn)題，一般形式為a（1+x）2=b，a為起始時(shí)間的有關(guān)數(shù)量，b為終止時(shí)間的有關(guān)數(shù)量． 18．如圖，已知△ABC的三邊長(zhǎng)為a=3，b=4，c=5，若平行于三角形一邊的直線l將△ABC的周長(zhǎng)分成相等的兩部分，設(shè)圖中的小三角形①、②、③的面積分別為s1、s2、s3，則s1、s2、s3的大小關(guān)系是s2＞s3＞s1（用“＞”號(hào)連接） 【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】設(shè)△ABC的面積為s，周長(zhǎng)為C，①若l∥BC，則有△ADE∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)及等比性質(zhì)可得====；②若l∥BC，同理可得=；③若l∥AC，同理可得=．由0＜a＜b＜c可得0＜a+b＜a+c＜b+c，即可得到＜＜． 【解答】解：設(shè)△ABC的面積為S，周長(zhǎng)為C． ①若l∥BC，則有△ADE∽△ABC， ∴====； ②若l∥BC， 同理可得：=； ③若l∥AC， 同理可得：=， ∵0＜a＜b＜c， ∴0＜a+b＜a+c＜b+c， ∴＜＜， ∴s2＞s3＞s1， 故答案為s2＞s3＞s1． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)、等比性質(zhì)等知識(shí)，把相似三角形的面積比等于相似比的平方轉(zhuǎn)化為相似三角形面積算術(shù)平方根比等于相似比，是解決本題的關(guān)鍵． 三、用心做一做（本大題共10小題，共96分） 19．解一元二次方程． （1）（x﹣3）2﹣9=0 （2）x2﹣2x﹣5=0 （3）3x（x﹣2）=2（x﹣2） （4）x2+17=8x． 【考點(diǎn)】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-直接開平方法；解一元二次方程-配方法． 【專題】計(jì)算題． 【分析】（1）先變形得到（x﹣3）2=9，然后利用直接開平方法求解； （2）利用配方法解方程； （3）先變形得到3x（x﹣2）﹣2（x﹣2）=0，然后利用因式分解法解方程； （4）先化為一般式得到x2﹣8x+17=0，再根據(jù)判別式的值，然后根據(jù)判別式的意義判斷方程無(wú)實(shí)數(shù)解． 【解答】解：（1）（x﹣3）2=9， x﹣3=±3， 所以x1=6，x2=0； （2）x2﹣2x+1=6， （x﹣1）2=6， x﹣1=±， 所以x1=1+，x2=1﹣； （3）3x（x﹣2）﹣2（x﹣2）=0， （x﹣2）（3x﹣2）=0， x﹣2=0或3x﹣2=0， 所以x1=2，x2=； （4）x2﹣8x+17=0， △=（﹣8）2﹣4×17═﹣4＜0 所以原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右邊化為0，再把左邊通過(guò)因式分解化為兩個(gè)一次因式的積的形式，那么這兩個(gè)因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個(gè)一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問(wèn)題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）．也考查了配方法解一元二次方程． 20．關(guān)于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m+1=0． （1）求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根； （2）m為何整數(shù)時(shí)，此方程的兩個(gè)根都為正整數(shù)． 【考點(diǎn)】根的判別式；一元二次方程的定義． 【分析】（1）表示出根的判別式，得到根的判別式大于0，進(jìn)而確定出方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根； （2）由（1）得到方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，利用求根公式表示出方程的兩根：x1=，x2=1，要使原方程的根是整數(shù)，必須使得x1==1+為正整數(shù)，則m﹣1=1或2，進(jìn)而得出符合條件的m的值． 【解答】解：（1）∵△=b2﹣4ac=（﹣2m）2﹣4（m﹣1）（m+1）=4＞0， ∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根； （2）由求根公式，得x=， ∴x1==，x2==1； ∵m為整數(shù)，且方程的兩個(gè)根均為正整數(shù)， ∴x1==1+，必為正整數(shù)， ∴m﹣1=1或2， ∴m=2或m=3． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了根的判別式，以及求根公式，根的判別式的值大于0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；根的判別式的值等于0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；根的判別式的值小于0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根． 21．如圖所示，AB是圓O的直徑，以O(shè)A為直徑的圓C與圓O的弦AD相交于點(diǎn)E． 求證：點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)． 【考點(diǎn)】圓周角定理；垂徑定理． 【專題】證明題． 【分析】連接OE，由于OA為⊙C的直徑，得到∠AEO=90°，即OE⊥AD，在⊙0中，根據(jù)垂徑定理可得EA=EB． 【解答】證明：∵AO是⊙C的直徑， ∴∠AEO=90°，即OE⊥AD于E， 又∵OE經(jīng)過(guò)圓心O， ∴AE=DE， 即：點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理的推論：直徑所對(duì)的圓周角為直角；也考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的?。? 22．某商場(chǎng)銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件贏利40元，為了擴(kuò)大銷售，增加利潤(rùn)，盡量減少庫(kù)存，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價(jià)1元，商場(chǎng)平均每天可多售出2件； （1）若商場(chǎng)平均每天要贏利1200元，每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元？ （2）每件襯衫降價(jià)多少元時(shí)，商場(chǎng)平均每天贏利最多？ 【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用． 【專題】銷售問(wèn)題． 【分析】此題屬于經(jīng)營(yíng)問(wèn)題，若設(shè)每件襯衫應(yīng)降價(jià)x元，則每件所得利潤(rùn)為（40﹣x）元，但每天多售出2x件即售出件數(shù)為（20+2x）件，因此每天贏利為（40﹣x）（20+2x）元，進(jìn)而可根據(jù)題意列出方程求解． 【解答】解：（1）設(shè)每件襯衫應(yīng)降價(jià)x元， 根據(jù)題意得（40﹣x）（20+2x）=1200， 整理得2x2﹣60x+400=0 解得x1=20，x2=10． 因?yàn)橐M量減少庫(kù)存，在獲利相同的條件下，降價(jià)越多，銷售越快， 故每件襯衫應(yīng)降20元． 答：每件襯衫應(yīng)降價(jià)20元． （2）設(shè)商場(chǎng)平均每天贏利y元，則 y=（20+2x）（40﹣x） =﹣2x2+60x+800 =﹣2（x2﹣30x﹣400）=﹣2[（x﹣15）2﹣625] =﹣2（x﹣15）2+1250． ∴當(dāng)x=15時(shí)，y取最大值，最大值為1250． 答：每件襯衫降價(jià)15元時(shí)，商場(chǎng)平均每天贏利最多，最大利潤(rùn)為1250元． 【點(diǎn)評(píng)】（1）當(dāng)降價(jià)20元和10元時(shí)，每天都贏利1200元，但降價(jià)10元不滿足“盡量減少庫(kù)存”，所以做題時(shí)應(yīng)認(rèn)真審題，不能漏掉任何一個(gè)條件； （2）要用配方法將代數(shù)式變形，轉(zhuǎn)化為一個(gè)完全平方式與一個(gè)常數(shù)和或差的形式． 23．如圖：已知P是半徑為5cm的⊙O內(nèi)一點(diǎn)．解答下列問(wèn)題： （1）用尺規(guī)作圖找出圓心O的位置．（要求：保留所有的作圖痕跡，不寫作法） （2）用三角板分別畫出過(guò)點(diǎn)P的最長(zhǎng)弦AB和最短弦CD． （3）已知OP=3cm，過(guò)點(diǎn)P的弦中，長(zhǎng)度為整數(shù)的弦共有4條． 【考點(diǎn)】作圖—復(fù)雜作圖；勾股定理；垂徑定理． 【分析】（1）利用過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)可以確定一個(gè)圓，進(jìn)而求出即可； （2）利用最長(zhǎng)弦AB即為直徑和最短弦CD，即為與AB垂直的弦，進(jìn)而得出答案； （3）求出CD的長(zhǎng)，進(jìn)而得出長(zhǎng)度為整數(shù)的弦，注意長(zhǎng)度為9cm，的有兩條． 【解答】解：（1）如圖所示：點(diǎn)O即為所求； （2）如圖所示：AB，CD即為所求； （3）如圖：連接DO， ∵OP=3cm，DO=5cm， ∴在Rt△OPD中，DP==4（cm）， ∴CD=8cm， ∴過(guò)點(diǎn)P的弦中，長(zhǎng)度為整數(shù)的弦共有：4條． 故答案為：4． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了復(fù)雜作圖以及勾股定理和垂徑定理，注意長(zhǎng)度為整數(shù)的弦不要漏解． 24．如圖，在半徑為5的扇形AOB中，∠AOB=90°，點(diǎn)C是弧AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分別為D、E． （1）當(dāng)BC=6時(shí)，求線段OD的長(zhǎng)； （2）在△DOE中是否存在長(zhǎng)度保持不變的邊？如果存在，請(qǐng)指出并求其長(zhǎng)度；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【考點(diǎn)】垂徑定理；三角形中位線定理． 【分析】（1）如圖（1），根據(jù)垂徑定理可得BD=BC，然后只需運(yùn)用勾股定理即可求出線段OD的長(zhǎng)； （2）連接AB，如圖（2），用勾股定理可求出AB的長(zhǎng)，根據(jù)垂徑定理可得D和E分別是線段BC和AC的中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線定理就可得到DE=AB，DE保持不變； 【解答】解：（1）如圖（1）， ∵OD⊥BC， ∴BD=BC=×6=3， ∵∠BDO=90°，OB=5，BD=3， ∴OD==4， 即線段OD的長(zhǎng)為4． （2）存在，DE保持不變． 理由：連接AB，如圖（2）， ∵∠AOB=90°，OA=OB=5， ∴AB==5， ∵OD⊥BC，OE⊥AC， ∴D和E分別是線段BC和AC的中點(diǎn)， ∴DE=AB=， ∴DE保持不變． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理、三角形中位線定理、等腰三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)、勾股定理等知識(shí)，運(yùn)用垂徑定理及三角形中位線定理是解決第（2）小題的關(guān)鍵． 25．如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A沿邊AB向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B沿邊BC向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)，有一點(diǎn)到終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)即停止．問(wèn)： （1）幾秒鐘后△PBQ的面積等于8cm2？ （2）幾秒鐘后PQ⊥DQ？ （3）是否存在這樣的時(shí)刻，使S△PDQ=8cm2，試說(shuō)明理由． 【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；勾股定理． 【專題】動(dòng)點(diǎn)型． 【分析】（1）表示出PB，QB的長(zhǎng)，利用△PBQ的面積等于8cm2列式求值即可； （2）如果PQ⊥DQ，則∠DQP為直角，得出△BPQ∽△CQD，即可得出=，再設(shè)AP=x，QB=2x，得出=，求出x即可； （3）設(shè)出發(fā)秒x時(shí)△DPQ的面積等于8平方厘米，根據(jù)三角形的面積公式列出方程，再根據(jù)根的判別式判斷方程是否有解即可． 【解答】解： （1）設(shè)x秒后△PBQ的面積等于8cm2． 則AP=x，QB=2x． ∴PB=6﹣x． ∴×（6﹣x）2x=8， 解得x1=2，x2=4， 答：2秒或4秒后△PBQ的面積等于8cm2； （2）設(shè)x秒后PQ⊥DQ時(shí)，則∠DQP為直角， ∴△BPQ∽△CQD， ∴=， 設(shè)AP=x，QB=2x． ∴=， ∴2x2﹣15x+18=0， 解得：x=或6， 答：秒或6秒鐘后PQ⊥DQ； （3）設(shè)出發(fā)秒x時(shí)△DPQ的面積等于8cm2． ∵S矩形ABCD﹣S△APD﹣S△BPQ﹣S△CDQ=S△DPQ ∴12×6﹣×12x﹣×2x（6﹣x）﹣×6×（12﹣2x）=8， 化簡(jiǎn)整理得x2﹣6x+28=0， ∵△=36﹣4×28=﹣76＜0， ∴原方程無(wú)解， ∴不存在這樣的時(shí)刻，使S△PDQ=8cm2． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了矩形的性質(zhì)、一元二次方程的應(yīng)用、相似三角形的性質(zhì)；解題的關(guān)鍵是根據(jù)三角形相似的性質(zhì)列出方程． 26．如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)D，使DC=CB，延長(zhǎng)DA與⊙O的另一個(gè)交點(diǎn)為E，連接AC，CE． （1）求證：∠B=∠D； （2）若AB=4，BC﹣AC=2，求CE的長(zhǎng)． 【考點(diǎn)】圓周角定理；等腰三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理． 【分析】（1）由AB為⊙O的直徑，易證得AC⊥BD，又由DC=CB，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可證得AD=AB，即可得：∠B=∠D； （2）首先設(shè)BC=x，則AC=x﹣2，由在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，可得方程：（x﹣2）2+x2=42，解此方程即可求得CB的長(zhǎng)，繼而求得CE的長(zhǎng)． 【解答】（1）證明：∵AB為⊙O的直徑， ∴∠ACB=90°， ∴AC⊥BC， 又∵DC=CB， ∴AD=AB， ∴∠B=∠D； （2）解：設(shè)BC=x，則AC=x﹣2， 在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2， ∴（x﹣2）2+x2=42， 解得：x1=1+，x2=1﹣（舍去）， ∵∠B=∠E，∠B=∠D， ∴∠D=∠E， ∴CD=CE， ∵CD=CB， ∴CE=CB=1+． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了圓周角定理、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)．此題難度適中，注意掌握方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 27．如圖，I是△ABC的內(nèi)心，∠BAC的平分線與△ABC的外接圓相交于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E． （1）求證：BD=ID； （2）求證：ID2=DEDA． 【考點(diǎn)】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；圓周角定理；相似三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】（1）連接BI，CI，CD，求證△BCD為等腰三角形，再利用BI為∠ABC平分線，求證△DBI為等腰三角形，利用等量代換即可證明； （2）證△DBE∽△DAB