專題01函數圖象與性質（3種重要函數圖象+5種抽象函數圖象+7種函數性質）內容導航速度提升技巧掌握手感養(yǎng)成重難考向聚焦鎖定目標精準打擊：快速指明將要攻克的核心靶點，明確主攻方向重難考向保分攻略授予利器瓦解難點：總結瓦解此重難考向的核心方法論與實戰(zhàn)技巧，精選同源試題鞏固內化重難沖刺練模擬實戰(zhàn)挑戰(zhàn)頂尖：挑戰(zhàn)此重難點的中高難度題目，養(yǎng)成穩(wěn)定攻克難題的“題感”近近三年：根據2024年2025年高考數學的考綱和真題，函數專題在高考中的分值占比比較大，分值比較高，多以小選擇題和填空題題型，難易度分布，是從容易題到小題壓軸都有出現，24年全國卷還在大題第18題有函數性質的針對性考察。函數是高考數學的核心考點之一，主要考察函數的性質、圖像、運算及應用。函數性質是重點考察。函數性質考察，多從以下方面來考察單調性：判斷函數在區(qū)間上的增減性，常通過導數或定義分析。??奇偶性：偶函數關于y軸對稱（如二次函數），奇函數關于原點對稱（如三次函數）。?周期性：不僅僅出現在三角函數中，涉及到函數特別是抽象函數，有對稱中心或者對稱軸來生成周期性來考察。函數圖像考察，則從見函數圖像：一次函數（直線）、二次函數（拋物線）、指數函數（指數增長/衰減）、對數函數（反函數）來考察，涉及到圖像變換，平移、翻轉等操作需結合具體函數分析，如反比例函數平移后的漸近線位置。預測2026年：函數模塊的考察從以下方向考察：?基礎性質考察是函數考察的核心點。函數的單調性、奇偶性、周期性始終是必考內容，尤其注重抽象函數性質的判斷與應用。涉及到通過復合函數“同增異減”規(guī)律分析性質，或結合對稱性推導周期性等方向。并且結合新高考的考試指導性方向，函數?實際應用考察會持續(xù)深化，命題可能結合科技創(chuàng)新場景方向，來考查函數建模與分析能力。所以再復習函數備考函數時，要?重視原理理解，引導學生避免機械刷題，需深入掌握函數性質的定義,性質，理解并掌握推導過程和推導思維，?強化思維訓練，以解決壓軸大題或壓軸小題題形式的綜合應用?？枷?1重要函數圖像：對勾函數對勾函數：圖像特征形如稱為對勾函數1.有“漸近線”：y=ax2.“拐點”：解方程（即第一象限均值不等式取等處）1．（2025·遼寧丹東·模擬預測）已知，且，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先判斷，得到關于對稱，再利用函數和的單調性得到的單調性，然后結合對稱性解抽象函數不等式即可.【詳解】因為，所以，所以，所以關于對稱，又因為（對稱軸為，開口向上）在上分別為單調遞增函數，所以在上單調遞增，在上單調遞減，因為，結合對稱性可得，兩邊平方后化簡可得，解得或，所以的取值范圍是.故選：B.2．（2025·重慶·模擬預測）已知函數，若對任意的，滿足，則恒有（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】奇偶性定義判斷函數的奇偶性，利用復合函數的單調性判斷的區(qū)間單調性，討論、、一正一負，結合不等式恒成立確定不等關系.【詳解】由，且的定義域為R，所以是偶函數，當，令，則在上單調遞增，又在上單調遞增，故在上單調遞增，由偶函數的對稱性，在上單調遞減，當，由，則，當，由，則，當一正一負，不妨令，則，顯然與矛盾，綜上，.故選：D3．（2025·湖北黃岡·模擬預測）已知函數，若，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】對函數求導，根據導函數可得為R上的增函數，利用單調性比較大小即可.【詳解】由，得，，當且僅當，即時等號成立，而，，即在R上單調遞增，，，即.故選：A.4．（2025·北京大興·三模）已知函數.若的最小值為，則的一個取值為；的最大值為．【答案】2（答案不唯一，即可）4【分析】分別研究和時函數的最小值情況，確保兩個區(qū)間內的最小值都不小于，且是整體的最小值，結合兩段函數的性質，求解的取值.【詳解】由題意知，原函數中為最小值，①當時，令，則，函數變?yōu)椋髮У?，令，則，i）當，即時，最小值在處，此時，因為的最小值為，所以有，可得；ii）當，即時，在上單調遞增，最小值.②當時，，最小值在處，此時，因為的最小值為，所以有，可得；綜上所述，.故答案為：2（答案不唯一，即可）；4考向02重要函數圖像：雙曲函數.雙曲函數（雙刀函數）1.有“漸近線”：y=ax與y=-ax2.“零點”：解方程（即方程等0處）1．（2025·寧夏石嘴山·模擬預測）已知，且，則下列可能成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】判斷可得函數為奇函數，由得，畫出，的圖象，結合圖象依次判斷即可求解.【詳解】函數的定義域為R，，所以函數為奇函數，又，所以函數在R上單調遞增，又，所以可得：，畫出，的圖象，當，，時，不成立，當時，可能成立.故選：D．2．（24-25高三·河北邯鄲）已知函數，若恒成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用函數奇偶性的定義可判斷為奇函數，由導數判斷為上的增函數，則所求不等式等價于，分離參數可得，構造函數，利用導數求的最大值即可求解.【詳解】因為，所以為上的奇函數．又因為，所以在上單調遞增.又恒成立，所以，則，因此恒成立．設，則，令，解得．當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，因此．故選：C．3．（2025·江蘇泰州·模擬預測）已知函數．若，則實數a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先通過對變量替換，即令，將原函數變?yōu)?，通過求導判斷的單調性，利用其嚴格遞增性將原不等式轉化為，最終求解一元二次不等式.【詳解】令，則原函數可改寫為：，定義輔助函數，則，由，故是奇函數，，又（當且僅當時取等號），且,,因此，在上嚴格遞增，原不等式轉化為：，即，因為為奇函數，即，所以，又在上嚴格遞增，故，所以，得，故選：A4．（2025·遼寧鞍山·模擬預測）已知，若有唯一解，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用偶函數性質，只需要研究的零點個數，然后用換元法構造新函數進行求導證明單調性，借助端點值效應，，所以可證明存在唯一零點的參數取值范圍.【詳解】，，為偶函數，，設，，則在有唯一零點．，當且僅當取等號．若,時，，則在單調遞增，又因為，所以在有唯一零點.若,時，令得，即，解得或，其中，滿足要求，，其中，故在時恒成立，所以，即，不合要求，當時，，則在單調遞減，所以，時，，故在有1個零點．又，所以在上有兩個零點，不滿足題意，故的取值范圍為．故選：C.考向03重要函數圖像：分式型.反比例與分式型函數解分式不等式，一般是移項（一側為零），通分，化商為積，化為一元二次求解，或者高次不等式，再用穿線法求解。形如：。對稱中為P，其中。1．（23-24高三·廣東階段練習）已知函數，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】證明函數的奇偶性，再分析出其單調性，從而得到，解出即可.【詳解】由可得且，則為偶函數，，因為在上單調遞減，在上單調遞增，則恒成立，則在單調遞減，在單調遞增，，解得或.故選：D.2．（24-25上·江蘇階段練習）已知函數，，則不等式的解集為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由，從而有在上單調遞增，再結合單調性可求解．【詳解】解：，在在上單調遞增，，或，解可得，或，即，故選A．【點睛】本題主要考查了利用函數的單調性求解不等式，體現了分類討論思想的應用．3．（24-25高三·云南昭通·階段練習）已知函數，若對任意的恒成立，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先用基本不等式求最值，再解一元二次不等式即可.【詳解】對任意的，，因為，令，，因為，當且僅當，即，即時，等號成立，所以，因為恒成立，所以，即，解得：，故選：D.4．（23-24·湖南長沙階段練習）已知函數滿足，若函數的圖像與的圖像有4個交點，分別為，，，，則（

）A．2 B．4 C．8 D．2a【答案】B【解析】由題意可得兩個函數都關于對稱，則可判斷交點也關于對稱，即可列出式子求出結果.【詳解】函數滿足，關于對稱，也關于對稱，兩個函數的交點關于對稱，不妨設和，和對稱，，則，.故選：B.【點睛】關鍵點睛：本題考查函數對稱性的應用，解題的關鍵是通過關系式或函數解析式判斷出函數圖象都關于對稱，繼而利用交點對稱求出結果.考向04抽象函數圖像：函數方程函數方程,多采用輪換式代換技巧。函數方程中的輪換式代換技巧是一種通過變量輪換來簡化方程或發(fā)現隱藏對稱性的方法。其核心思想是：如果方程在變量輪換后形式不變，則可以利用這種對稱性進行代換或推導?。核心原理是：對于函數方程f(g(x))+f(r(x))形式，若變量輪換后形式不變，可嘗試設t=g（x）與t=r（x）來代換，通過代換，再通過解方程消去，轉化為單一變量的函數解析式常見技巧：?變量代換?：通過輪換變量，再通過相加或相減消元，將復雜方程轉化為更簡單的形式。?對稱性利用?：若方程是輪換對稱式，其因式分解或解的結構往往具有對稱性，可據此簡化問題?周期性結合?：在函數方程中，輪換對稱性常與周期性結合使用，通過多次輪換代換，尋找出代換的周期性，來推導函數的解析式1．（2025·浙江·二模）定義在上的函數滿足，當時，，則函數在區(qū)間內的零點個數為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】由題設條件可得，從而可先分析在上的零點個數為1，再結合前者可得內的零點個數.【詳解】因為，故，故，即，而當時，，故當時，，故，故，當時，，而在上為減函數，在為增函數，故在有有且只有一個實數解為；當時，，而，故，此時在上無解；故當時，，則，結合上的性質可得在上有且只有一個實數解，且該實數解為，在無實數解，而且，故在上的實數解為，，，，共4個實數解，故共有4個不同的零點.故選：B.2．（2025高三·全國·專題練習）已知定義在上的函數滿足，，則等于（

）A．33 B．32 C．31 D．30【答案】D【分析】先令和代入已知等式可得，進而得到①；再結合已知等式得到②，解方程組①②得到解析式可得.【詳解】令，則，令，則，則，所以①．所以，則，又因為，所以，，所以②．①－②，得，所以．所以．故選：D．3．（2024·青?！ざ＃┒x在上的函數滿足，是函數的導函數，以下選項錯誤的是（

）A．B．曲線在點處的切線方程為C．在上恒成立，則D．【答案】C【分析】由，可得，即可得的解析式，結合導數計算、導數的幾何意義及利用導數求函數的極值與最值即可判斷各選項.【詳解】由，有，則，即，則，整理得，有，則，，即，故A正確；，，故切線方程：，化簡得，故B正確；在上恒成立，由，故，故C錯誤；不等式等價于，令，則，故當時，，在、上單調遞減，當時，，在上單調遞增，故有極小值，當時，有，故，即，故D正確.故選：C.【點睛】關鍵點點睛：本題解決的關鍵在于通過賦值法求出函數的解析式，再結合導數的運算，導數的幾何意義，不等式恒成立問題的處理方法，利用導數求函數的最值判斷各選項.4．（2025·廣西·模擬預測）已知定義在上的函數滿足，則．【答案】【分析】分別令即可求解.【詳解】令可得：，令可得：，兩式聯(lián)立可得：，故答案為：考向05抽象函數圖像：構造正弦與雙曲正弦模型.正弦與雙曲正弦型：1．（24-25·廣西南寧·一模）已知函數的定義域為，且當時，，則（

）A． B．是偶函數 C．是增函數 D．是周期函數【答案】C【分析】對A，令求解即可；對B，令化簡可得即可；對C，設，結合題意判斷判斷即可；對D，根據是增函數判斷即可.【詳解】對A，令，則，得，故A錯誤；對B，令，得，由整理可得，將變換為，則，故，故，故是奇函數，故B錯誤；對C，設，則，且，故，則.又，是奇函數，故是增函數，故C正確；對D，由是增函數可得不是周期函數，故D錯誤.故選：C2．（24-25高三·甘肅隴南）已知函數的定義域為，且滿足，則下列結論錯誤的是（

）A． B．C．是奇函數 D．【答案】B【分析】利用賦值判斷A，令可判斷C，令，結合條件求出函數周期可判斷BD.【詳解】令，則，解得，故A正確；令，則，即，因為不恒為0，所以，且定義域為，故函數為奇函數，故C正確；令，則，因為不恒為0，且，所以只能，從而，周期為4，顯然，故B錯誤D正確.故選：B3．（24-25高三·浙江舟山·階段練習）已知函數的定義域為，且，的圖像關于直線對稱，，在上單調遞增，則下列說法中錯誤的是（

）A． B．的一條對稱軸是直線C． D．【答案】D【分析】令，可求得，令，可得，利用已知可得關于對稱，可判斷B；可求得函數的周期為6，關于對稱，計算可判斷AD；由題意可得在上單調遞減，可判斷C.【詳解】，令，可得，解得；令，，則，∴，∴為奇函數；∵的圖像關于對稱，,∴關于對稱，故B正確；∴，∴，∴，即的周期為6，∵關于對稱，可得關于對稱∴，，，，，所以，，故A正確，D錯誤；∵，又在上單調遞增∴在上單調遞減，所以，即，故C正確.故選：D.4．（24-25高三上·廣西·階段練習）已知函數的定義域為，且當時，，則下列正確的是（

）A．是偶函數B．是周期函數C．當時，D．當時，【答案】D【分析】對A，令，得，令，整理得到可判斷；對B，先證明是增函數，可得不是周期函數判斷；對于C，D，利用單調性可判斷.【詳解】對于A，由，令，則，得，令，得，由整理可得.由題可知不恒為0，故，即，故是奇函數，故A錯誤；對于B，設，則，，故，，，，故，即是上的增函數，又是奇函數，故是R上的增函數，所以不是周期函數，故B錯誤；對于C，當時，則，，故C錯誤；對于D，當時，，即，，故D正確.故選：D.【點睛】關鍵點點睛：本題解題的關鍵是利用條件結合函數單調性的定義判斷是R上的增函數.考向06抽象函數圖像：構造余弦與雙曲余弦模型.余弦與雙曲余弦模型1．（24-25高三·遼寧大連·階段練習）定義域為的函數，對任意，且不恒為0，則下列說法錯誤的是（

）A． B．為偶函數C． D．若，則【答案】D【分析】對于A，令，或，結合不恒為0，可得，由此即可判斷；對于B，由，不妨令，即可判斷；對于C，令，通過換元即可判斷；對于D，令，得關于中心對稱，結合為偶函數，可得為周期為4的函數，算出即可判斷.【詳解】對于A，令，有，所以或，若，則只令，有，即恒為0，所以只能，故A正確；對于B，由A可知，不妨令，有，即，且函數的定義域為全體實數，它關于原點對稱，所以偶函數，即為偶函數，故B正確；對于C，令，有，令，由，得，所以當時，有，即當時，，故C正確；對于D，若，令，有，所以關于中心對稱，又為偶函數，所以，所以是周期為4的周期函數，又，，所以，所以，所以，故D錯誤.故選：D.2．（24-25·高三廣西南寧開學考）已知定義在上的函數滿足，且，則（

）A． B．為奇函數 C．有零點 D．【答案】D【分析】利用賦值法，結合奇函數的定義、零點的定義逐一判斷即可.【詳解】A：在中，令，得，因為，所以，所以本選項不正確；B：函數的定義域為全體實數，由上可知，顯然不符合，因此本選項不正確；C：在中，令，得，或，顯然函數沒有零點，故本選項不正確，D：在中，令，得，所以本選項正確，故選：D【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是利用賦值法.3．（24-25高三·重慶渝中·階段練習）定義在上的函數滿足對任意都有，且，，則下列命題錯誤的是（

）A．是偶函數 B．是周期函數C． D．的圖象關于點對稱【答案】D【分析】應用賦值法判斷A選項，求出周期判斷B選項，應用周期性結合特殊函數值判斷C選項，反證法應用對稱中心定義判斷D選項.【詳解】令，則，，，再令，則，為偶函數，A正確；又令，則，為周期是4的周期函數，B正確；，C正確；若D正確，則，又為周期是4的周期函數，，為奇函數，則與已知中“”矛盾，D錯誤.故選:D.4．（24-25·廣東開學考試）已知定義在上的函數滿足：，且，則下列結論正確的是（

）A． B．的周期為4 C．關于對稱 D．在單調遞減【答案】C【分析】由余弦函數的和、差角公式結合題目條件，可設，先求出，再對選項進行逐一驗證即可得出答案.【詳解】由，可得，可設由，即，則可取，即進行驗證.選項A：，故選項A不正確.選項B：由，則其最小正周期為,故選項B不正確.選項D：由于為周期函數，則在不可能為單調函數.故選項D不正確.選項C：,又，故此時為其一條對稱軸.此時選項C正確,故選：C考向07抽象函數圖像：構造一元三次型.一元三次模型1．（24-25·青海百校聯(lián)考）已知定義在上的函數，其導數為，且滿足，，，給出下列四個結論：①為奇函數；②；③：④在上單調遞減.其中所有正確結論的序號為（

）A．①② B．①③ C．②③④ D．①②④【答案】D【分析】令求出.令可判斷①；令，得，再求出、可判斷③；利用累加法求出可判斷②；利用導數可判斷④.【詳解】對于①，令，得，所以.令，得，所以為奇函數，故①正確；對于③，令，得，所以，，故③錯誤.對于②，因為，所以，，，，，以上各式相加得，所以，故②正確.對于④，當時，，所以在上單調遞減，故④正確.故選：D.【點睛】關鍵點點睛：②中的解題的關鍵點是利用累加法求出的解析式.2．（多選）（24-25高三上·陜西安康·開學考試）已知函數及其導函數的定義域均為，且，當時，，且，則下列說法正確的是（

）A．為偶函數 B．C．在上單調遞增 D．【答案】BCD【分析】根據給定條件，利用賦值法，結合奇偶函數的定義計算判斷AB；利用單調性定義推理判斷C；利用復合函數求導，賦值計算，結合函數的周期計算判斷D.【詳解】對于A，取，得，解得，取，則，即，又，因此為奇函數，A錯誤；對于B，，解得，因此，B正確；對于C，，則，，，函數在上單調遞增，C正確；對于D，取，則，求導得，于是，解得，由，求導得，則，，又函數的周期為4，，所以，D正確.故選：BCD【點睛】關鍵點點睛：探討抽象函數的性質，關鍵是適當地賦值，結合已知確定函數的奇偶性、單調性及相關函數值.3．（多選）（（24-25高三·河南·階段練習）已知非常數函數的定義域為，且，則（

）A． B．或C．是上的增函數 D．是上的增函數【答案】AC【分析】A.令判斷；B.令，分別令，判斷；CD.由，令判斷.【詳解】解：在中，令，得，即．因為函數為非常數函數，所以，A正確．令，則．令，則，①令，則，②由①②，解得，從而，B錯誤．令，則，即，因為，所以，所以C正確，D錯誤．故選：AC4．（多選）（（24-25·貴州·三模）已知定義域為的函數滿足為的導函數，且，則（

）A．B．為奇函數C．D．設，則【答案】ABD【詳解】對于A：令可得；對于B：令可得；對于C：先確定的奇偶性，然后令后對兩邊同時求導，再代入即可；對于D：利用累加法求通項公式.【點睛】對于A：令得，所以，A正確；對于B：令得，所以，B正確；對于C：因為，所以，即，所以為偶函數，由可得，令得，則，令，得，所以，C錯誤；對于D：因為，，所以，且所以，相加可得，所以，則，D正確.故選：ABD.考向08抽象函數圖像：賦值與構造型幾個特殊的構造：1.反比例模型：2.對數反比例型：3.一元二次函數型模型：模型特征：線性抽象+xy型1．（24-25高三上·黑龍江·階段練習）已知函數，對任意的都有，且，則下列說法不正確的是（

）A． B．是奇函數C．是上的增函數 D．【答案】C【分析】對于A，取即得；對于B，使代入推理即得；對于C，通過推理得到，取反例進行驗證即可否定結論；對于D，取，，推理得到是首項為1，公差為1的等差數列即得.【詳解】對于A，在中，令，得到，因此，所以選項A正確；對于B，令，得到，即，所以選項B正確；對于C，由可化為，，記，則，不妨取函數，顯然符合條件，則，因，當時，，當時，，即函數在上單調遞減，在上單調遞增，故C錯誤；對于D，令，，得，即，又，所以是首項為1，公差為1的等差數列，，故D正確.故選：C.2．（2024·安徽合肥·一模）已知函數的定義域為，且，記，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據函數滿足的表達式以及，利用賦值法即可計算出的大小.【詳解】由可得，令，代入可得，即，令，代入可得，即，令，代入可得，即；由可得，顯然可得.故選：A【點睛】方法點睛：研究抽象函數性質時，可根據滿足的關系式利用賦值法合理選取自變量的取值，由函數值或范圍得出函數單調性等性質，進而實現問題求解.3．（24-25高三·湖南·階段練習）已知函數是定義在R上不恒為零的函數，對任意的x，均滿足：，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，結合已知化簡得，利用累加法求得，然后利用錯位相減法求和即可求得.【詳解】令，得，代入，得，當x為正整數時，，所以，所以，代入，得，所以（且），又當時，也符合題意，所以（）．所以，令，則，所以，所以，所以.故選：D4．(多選）（24-25高三上·海南·階段練習）已知函數，對任意的都有，且，則下列說法正確的是（

）A． B．是奇函數C．是上的增函數 D．【答案】ABD【分析】令可求，可判斷A；令，可判斷函數的奇偶性，可判斷B；推出，取反例驗證可判斷C；令，可得數列的遞推公式，再求的通項公式可判斷D.【詳解】對A：令，則，故A正確；對B：令，則，由A可知：，所以函數為奇函數，故B正確；對C：由，設，則，則.由；由.所以在上單調遞減，在上單調遞增.故C錯誤；對D：令，可得：由得：，又，所以是以為首項，以1為公差的等差數列.所以，故D正確.故選：ABD【點睛】方法點睛：對于函數方程問題，賦值法是解決問題的突破口.考向09函數對稱：中心與軸對稱1.重要的中心對稱函：數特別的：對稱中心橫坐標如果相同，可以疊加縱坐標為合成中心2.重要的軸對稱函數：對數-指數復合反比例型：對數-指數復合反比例型原理：1．（2025高三·全國·專題練習）已知函數，，則函數的圖象與x，y軸圍成的封閉圖形的面積是（

）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】A【分析】根據函數的對稱性結合割補法求封閉圖形的面積.【詳解】函數的定義域為，因為，所以是奇函數，其圖象關于原點對稱．又，函數在R上單調遞增，所以在上單調遞減，因此在上單調遞減，且其圖象關于點對稱.由題知，由函數的解析式和二次函數的性質可得在上單調遞減，而時，，當時，同理有，故圖象關于點對稱，函數與的圖象如圖1所示．因此在上單調遞減，且，故圖象關于點對稱，又，故點關于點的對稱點為，所以，連接，如圖2．易知的圖象與x，y軸圍成的封閉圖形可以通過割補變成一個直角三角形，如圖中的，其中，，故，即的圖象與x，y軸圍成的封閉圖形的面積為4．故選：A.2．（2025·河北·模擬預測）若（其中）是偶函數，則（

）A．2 B．1 C． D．【答案】A【分析】由偶函數的性質和對數的運算性質求解即可.【詳解】由題意知：，則，化簡為，則，解得．故選：A．3．（2025·江蘇蘇州·三模）已知函數，定義域為R的函數滿足，若函數與的圖象有四個交點，分別為，，，，則（

）A．0 B．4 C．8 D．12【答案】D【分析】根據題意得到，的圖象關于對稱，設關于點對稱的坐標為，，則，，同理可得：，，即可得到答案.【詳解】由，得的圖象關于對稱，函數，則，即的圖象也關于對稱，因此函數與圖象的交點關于對稱，不妨設關于點對稱的坐標為，，則，，則，，同理得：，，即.故選：D4．（2025·江蘇宿遷·模擬預測）已知的定義域為，將的圖象繞原點旋轉后所得圖象與原圖象關于軸對稱，且，，，則（）A．2024 B． C．2025 D．【答案】D【分析】由題意可得函數為偶函數，利用賦值法可得，可求得，進而可得，可得符號相反，，可求.【詳解】因為將的圖象繞原點旋轉后所得圖象與原圖象關于軸對稱，所以函數為偶函數，即，由，令，可得，所以，令，可得，又，可得，所以，所以，所以，所以是周期為4的周期函數，所以，所以，因為，，所以，，因為函數的周期為4，所以符號相反，用，所以，所以.故選：D.5．（25-26高三·山東·階段練習）直線經過函數圖象的對稱中心，則的最小值為.【答案】9【分析】根據函數單調性分析可知函數的對稱中心為，進而可得，結合乘“1”法求最值.【詳解】對于函數，令，解得且，可知函數的定義域為，因為，可知函數的對稱中心為，由題意可知：直線經過點，則，即，可得，當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值為9.故答案為：9.考向10函數對稱：重心偏移型重心偏移，主要值的是具有中心對稱且有單調性形式的函數，一般如下圖兩種形式：1．（23-24高三·安徽合肥·階段練習）已知函數，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】構造函數，判斷的單調性和奇偶性，由此求得不等式的解集.【詳解】，由于，所以的定義域為，，所以是奇函數，當時，為增函數，為增函數，所以是增函數，由是奇函數可知，在上單調遞增，由得，即，則，解得，所以不等式的解集是.故選：A【點睛】給定一個不等式以及函數解析式的題目，要考慮函數的單調性、奇偶性、定義域等基本性質來進行解題.是否要構造函數，構造什么類型的函數，關鍵是要根據已知函數的結構，選擇合適的構造方法.2．（2024·高三河北邯鄲階段練習）已知函數，設（）為實數，且．給出下列結論：①若，則；②若，則．其中正確的是（

）A．①與②均正確 B．①正確，②不正確C．①不正確，②正確 D．①與②均不正確【答案】A【分析】令，得到為遞增函數，且為奇函數，①中，不妨設，結合，利用直線的方程得到，進而得到，可判斷①正確；②中，不妨設，得到點，利用直線的方程得到，進而得到，可判定②正確.【詳解】令函數，可得函數為單調遞增函數，又由，即，所以函數為奇函數，圖象關于點對稱，如圖（1）所示，①中，因為，且，則，不妨設，則點，此時直線的方程為，可得，則，可得，又由，所以，即，即，所以①正確；②中，若，不妨設，則，不妨設，則點，此時直線的方程為，可得，則，可得，又由，所以，即，即，所以②正確.故選：A.

【點睛】方法點撥：令函數，得到函數為遞增函數，且為奇函數，求得點和，結合直線和的方程，得出不等式關系式是解答的關鍵.3．（23-24高三·河北·階段練習）已知函數，若，則實數a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據條件先分析的結果，由此確定出的奇偶性和單調性，再將問題轉化為“已知，求解的取值范圍”，根據單調性列出關于的不等式并求解出結果.【詳解】由題可知且，，令，則且定義域為關于原點對稱，即為奇函數，函數與在上均單調遞增，與在上單調遞增，在上單調遞增，即在上也單調遞增且，又為奇函數，在上單調遞增，不等式等價于，，在R上單調遞增，，解得，實數a的取值范圍是，故選：A.4．（24-25高三浙江·階段練習）已知函數，若對任意，都有，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】結合指數函數、冪函數的單調性確定的單調性，構造函數并探討奇偶性，再利用性質求解不等式.【詳解】函數在上單調遞增，則函數在上單調遞增，令，則函數在上單調遞增，，即函數是奇函數，不等式，則，依題意，在上恒成立，而當時，，當且僅當時取等號，則，所以實數的取值范圍是.故選：D5．（2024·內蒙古呼和浩特·一模）已知定義在上的函數，滿足不等式，則的取值范圍是．【答案】【分析】由函數解析式可令，且是上的增函數并關于點成中心對稱，將不等式變形即可求得，解得.【詳解】易知函數在上為單調性遞增，即可得是上的增函數，令，則是上的增函數，易知，可得,即的圖象關于點成中心對稱，由可得，即，由可得；所以，利用是上的增函數可得，解得.即的取值范圍是.故答案為：【點睛】方法點睛：解函數不等式的方法步驟：（1）根據解析式特征得出函數奇偶性、對稱性、周期性等性質；（2）再判斷得出函數單調性，利用單調性并結合定義域得出不等式（組）；（3）解不等式可得結論；考向11函數對稱：周期與求和周期性性質：①若f(x＋a)＝f(x－b)?f(x)周期為T＝a＋b.②常見的周期函數有：f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝eq\f(1,f（x）)或f(x＋a)＝－eq\f(1,f（x）)，那么函數f(x)是周期函數，其中一個周期均為T＝2a.周期性技巧：可以類比正余弦函數1．（25-25四川成都九月月考）設為定義在整數集上的函數，，，，對任意的整數均有，則=（

）A．0 B．1013 C．2025 D．4050【答案】B【分析】通過代入特定值分析函數的周期性，確定取值規(guī)律，進而求解的值.【詳解】令，則，所以．令，則，又，所以．令，則，所以函數的圖像關于直線對稱．令，則，所以，的圖像關于點對稱．故，則,是周期的函數．又，當為偶數時，．當為偶數時，也為偶數，此時；當為奇數時，令，則.所以1013．故選：B．2．（25-26安徽合肥階段練習）定義域為R的函數，其圖象關于直線對稱，已知為奇函數，且，則（

）A．2023 B．2024 C．2025 D．2026【答案】B【分析】根據題意有，，從而得，即可求出周期，進而求出一個周期的和，利用周期即可求解.【詳解】由關于對稱，有，又為奇函數，則即，且即，所以關于點對稱，且，則，作差有，為周期函數，且周期為4，因為，，則，因為，，則，，則，．故選：B．3．(多選題）（）25-26高三上·四川綿陽·)已知定義在上的偶函數，滿足，當時，，則（

）A． B．C． D．若，則【答案】ACD【分析】根據函數的偶函數特性以及函數的周期性逐項判斷并計算即可.【詳解】因為函數為偶函數，所以.因為，令，則，故，所以A正確；所以，即.所以函數的周期為2.當時，，所以，所以B錯誤；，因為，所以，所以C正確；因為，函數周期為2，所以，所以D正確.故選：ACD.4．（多選題）(25-26高三上·四川綿陽涪城區(qū)綿陽南山中學實驗學?！?定義在上的函數滿足，且為奇函數，已知當時，，則下列結論正確的是（

）A． B．在區(qū)間上單調遞減C． D．【答案】ABD【分析】根據已知得、，進而得，利用對稱性判斷在區(qū)間上的單調性，再由區(qū)間解析式判斷單調性，結合對稱性比較大小，最后由周期性求函數值.【詳解】由為奇函數，則，即，由，則，故，所以，故，A對；由，知圖象關于對稱，由，知圖象關于點對稱，且，當時，，即在上單調遞增，所以在、上單調遞減，即在上單調遞減，若，則，結合周期性知，所以在區(qū)間上單調遞減，B對；由，C錯；由，則，，所以，又，，D對.故選：ABD5．（多選）（25-26山東實驗模擬）設是定義域為R的奇函數，且的圖象關于直線對稱，若時，，則下列說法正確的是（

）A．為偶函數 B．在上單調遞減C． D．在區(qū)間上有3543個零點【答案】BC【分析】根據函數的對稱性，結合伸縮平移變換，確定函數的奇偶性判斷A；利用導數研究的單調性，結合奇函數性質判斷B；利用對稱性確定函數的周期性，判斷C、D.【詳解】A選項：因為的圖象關于直線對稱，所以將得圖像向右平移個單位，得，該函數圖像關于軸對稱，將的縱坐標不變，橫坐標擴大為原來的2倍得，圖像關于軸對稱，因此為偶函數，A錯誤.B選項：由題意知時，，令，在恒成立，所以單調遞減，又，所以時，，時，，故在上單調遞增，在上單調遞減，因為是奇函數，所以在上單調遞減，B正確；D選項：因為為偶函數，所以關于對稱，故，又有是奇函數，所以，所以，即是周期為的周期函數，因為，結合單調性和關于對稱可得，在區(qū)間上有2個零點，且是定義域為R的奇函數，所以有，因此在區(qū)間上有3個零點，所以在區(qū)間上有個零點，D錯誤；C選項：，，，，所以，所以，C正確.故選：BC.考向12函數對稱：雙函數方程傳遞“雙函數”雙函數常規(guī)思維：是依賴單調性、中心對稱性、周期性來推導函數。雙函數實戰(zhàn)思維：1.雙函數各自自身對稱性2.形如。借助數形結合，f（x）的性質，可以傳遞給g（x）。3.形如，與，可以借助函數方程消去一個，剩余另一個函數，再借助函數性質得到圖像特征。1．(多選題）（24-25高三上·山東菏澤·開學考試）已知函數的定義域均為的圖象關于對稱，是奇函數，且，則下列說法正確的有（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】A選項，根據的圖象關于對稱，所以關于軸對稱，故，A正確；B選項，由奇函數性質得到，故，B錯誤；CD選項，由題目條件得到，結合得到，故，推出，得到周期，賦值法得到，，并利用周期求出.【詳解】A選項，因為的圖象關于對稱，所以關于軸對稱，故是偶函數，則，故A正確；B選項，因為是奇函數，所以，即，故B錯誤；CD選項，由得，又，所以，又，即，即，則，所以，所以①，即②，②-①得，所以函數的周期為4，令，由，得，再令，則，所以，又，由，所以，故C，D正確.故選：ACD.【點睛】函數的對稱性：若，則函數關于中心對稱，若，則函數關于對稱，函數的周期性：設函數，，，．（1）若，則函數的周期為2a；（2）若，則函數的周期為2a；（3）若，則函數的周期為2a；（4）若，則函數的周期為2a；（5）若，則函數的周期為；（6）若函數的圖象關于直線與對稱，則函數的周期為；（7）若函數的圖象既關于點對稱，又關于點對稱，則函數的周期為；2．(多選題）（24-25高三福建階段練習）已知函數的定義域均為，且,，若的圖象關于直線對稱，則以下說法正確的是（

）A．為奇函數 B．C．， D．若的值域為，則【答案】BCD【分析】由得，與聯(lián)立得，再結合的圖象關于直線對稱，可得的周期、奇偶性、對稱中心，可依次驗證各選項正誤.【詳解】，，，，關于對稱，，，，，，故C正確；關于對稱，，，為偶函數，，，，，，為偶函數，故A錯誤；，圖象關于點中心對稱，存在一對最小值點與最大值點也關于對稱，，故D正確；由得，又，所以，由得，所以，故B正確；故選：BCD【點睛】關鍵點點睛：對含有混合關系的抽象函數，要探求性質首先要消去一個函數只剩下另一下函數，消去其中一個函數的方法就是對進行合理的賦值，組成方程組消去一個函數，再考查剩余函數的性質.對抽象函數的周期性、奇偶性、單調性以及圖象的對稱性的綜合應用，解決該問題應該注意的事項：（1）賦值法使用，注意和題目條件作聯(lián)系；（2）轉化過程要以相關定義為目的，不斷轉變.3．(多選題）（2025·湖北黃岡·一模）定義在上的函數和，為奇函數，為偶函數，且，則（）A． B．C．的圖象關于對稱 D．8為的一個周期【答案】BCD【分析】對A：由為奇函數可得，再利用，從而可消去，即可得解；對B：由為偶函數可得，再利用，從而可消去，即可得解；對C：借助B中所得，結合賦值法計算即可得；對D：結合A中所得及為偶函數計算即可得.【詳解】對A：由為奇函數，則，故，由，則，且有，即，則，令，則，即，故A錯誤；對B：由為偶函數，則，由，則、，故，又，則，則，則，由，則，故，故，故B正確；對C：由，則的圖象關于對稱，故C正確；對D：由，則，又，則，則，則，即，即8為的一個周期，故D正確.故選：BCD.4．(多選題）（2025·重慶·模擬預測）已知函數、定義域為，其中為偶函數，，且，，則（

）A． B．為奇函數C． D．【答案】AC【分析】計算出的值，推導出，可得出的值，可得知函數是以為周期的周期函數，可判斷A選項；利用反證法可判斷B選項；由已知條件可推導C選項；由可得出，結合函數周期性可判斷D選項.【詳解】因為為偶函數，則，即函數的圖象關于直線對稱，因為，則函數的圖象關于點對稱，因為，則，所以，，則，即，所以，，所以，函數的圖象關于點對稱，C對；因為函數的圖象關于直線對稱，則，由可得，則，故，所以，函數是以為周期的周期函數，因為，則，且，所以，，A對；因為，故函數是周期為的周期函數，若函數為奇函數，且，則，從而有，則，又因為的圖象關于直線對稱，則，這與矛盾，故函數不是奇函數，B錯；因為，且，則，則，且，所以，，D錯.故選：AC.考向13函數單調性綜合：同構函數單調性轉化關系：①一般認為，－f(x)和eq\f(1,fx)均與函數f(x)的單調性相反； ②同區(qū)間，↑+↑=↑，↓+↓=↓，↑－↓=↑，↓－↑=↓；單調性的定義的等價形式：設x1，x2∈[a，b]，那么有：①eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0?f(x)是[a,b]上的增函數； 同構型：通過同除或者同乘等等湊配技巧，構造結構相同的新函數，然后新函數滿足單調性定義。 1．（25-26高三·云南·階段練習）已知函數，若對于任意的、，且，都有成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】構造函數，可得函數在上單調遞減，分、兩種情況討論，在時，直接驗證即可；在時，根據二次函數的單調性可得出關于實數的不等式組，綜合可得出實數的取值范圍.【詳解】因為對于任意的，且，都有成立，在不等式兩邊同時除以可得，移項有，構造函數，則，所以函數在上單調遞減，當時，在上單調遞增，不符合題意；當時，若使得函數在上單調遞減，則，解得.綜上所述，實數的取值范圍是.故選：C.2．（24-25高三·貴州階段練習）已知函數是定義在上的奇函數，且.若對，，且，都有，則關于的不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】構建，根據題意分析可知函數為奇函數，且在內單調遞增，結合函數性質解不等式.【詳解】構建，可知的定義域為，且，所以函數為奇函數，因為，，整理可得，則函數在內單調遞增，可知在內單調遞增，又因為，則，當時，；當時，；所以不等式，即的解集為.故選：B.【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵在于構建函數，進而分析其性質，利用性質解不等式.3．（24-25高三吉林階段練習）已知函數的定義域為，，對于任意的，當時，有.若，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】題目條件可變形為，構造函數，分析可知在上為增函數，把不等式等價變形為，根據函數單調性解不等式可得結果.【詳解】∵，∴，即，令，則任意的，有，∴函數在上為增函數.∵不等式可變形為，即，∴，∴，解得，即實數的取值范圍是.故選：B.【點睛】關鍵點點睛：解決本題的關鍵是把條件等價變形為，通過構造函數、分析函數的單調性可解不等式.4．（24-25高三下·陜西商洛·階段練習）已知定義在上的函數滿足，對任意的，且，恒成立，則不等式的解集為.【答案】【分析】設，將轉化為，則在上單調遞減，將所求不等式轉化為，結合函數的單調性解不等式即可.【詳解】設，由，得，又，所以，即，設，則，所以在上單調遞減.由，得，由，得，即，即，得，解得，所以原不等式的解集為.故答案為：【點睛】思路點睛：解決本題的思路是將轉化為，判斷的單調性，結合單調性解不等式即可.考向14函數單調性綜合：優(yōu)函數放縮函數放縮：有，則稱為優(yōu)函數。類似這類函數不等式，可以借助“類周期”思維進行放縮。1．（2025·陜西咸陽·模擬預測）已知定義在上的函數滿足：，且，則（

）A．1364 B．1363 C．1264 D．1263【答案】D【分析】根據題意推出，然后由累加法即可求解.【詳解】由，可得①，則有②，③，④，將①②③④左?右分別相加，得，又，即，故得，所以，將以上式子左?右分別相加，得，又，所以.故選：D.2．（2025·湖南長沙·三模）設函數的定義域為，若，且對任意，滿足，則的值為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先根據已知條件得出的具體表達式，再利用累加法求出的值，最后結合的值求出.【詳解】由，可得，因為，所以，又因為，所以，所以.故選:D.3．（2025·江西·二模）已知函數是定義在上的函數，，且對任意的都有，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知條件得出，代入題干中的不等式，結合不等式的基本性質推導出，再結合可求得結果.【詳解】由，得，由，，得，，即，，所以，所以，又因為，故.故選：B.4．（2025·河北·模擬預測）已知定義在上的函數滿足：，且，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由已知可得，進而可得，求得可判斷AB；求得可判斷CD.【詳解】由得，，三式相加得，，即，又，所以，則，所以故A，B錯誤；，故C正確，D錯誤.故選：C．5．（2025·河南·二模）已知定義在上的函數的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且滿足當時，，當時，，則（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】找到特殊函數判斷A，D，歸納得到判斷B，再對兩邊同時求和得到，再判斷C即可.【詳解】對于A，若，不妨令，則，，當時，，當時，，當時，，當時，，當時，，當時，，當時，，當時，，當時，，則，，則，不滿足，故A錯誤，對于B，由，，，由歸納可得，，故B正確；對于C，由已知得，，故，則，故C正確；對于D，當時，若，則，設，則，故，故，即，當時，，當時，，故滿足時，，此時，不滿足，故D錯誤．故選：BC．考向15函數單調性綜合：單調性綜合1．（25-26高三上·江蘇揚州·月考）已知函數和的定義域均為，且，若是偶函數，則.【答案】8100【分析】由是偶函數得，再由和，得到和，通過這兩個等式求得，從而得到的周期，求出，，，最后利用周期求出的值.【詳解】是偶函數，，，，，，將換為，，將和這兩個等式相加，得，將換為，得，則有，得，將換為，得，的周期為4，，，，，，，的周期為4，，，，，，，將和兩個式子相加，得，.故答案為：8100.2．（25-26高三上·浙江·階段練習）若對，恒成立，則實數的取值范圍為.【答案】【分析】由題意有，分和兩種情況討論，再利用導數研究單調性進而求解.【詳解】原式整理得，當時，在上恒成立，令，則，所以單調遞增，故，所以時，原不等式恒成立；當時，易知函數在上單調遞增，令得，若原不等式在恒成立，則，解得，此時，令，得，所以當時，單調遞減；當時，單調遞增；因為，故當時，，所以當時，原不等式在恒成立，綜上實數的取值范圍為故答案為：.3．（25-26高三上·山東臨沂·階段練習）已知函數的定義域為，且為奇函數，為偶函數，，則.【答案】4050【分析】根據題中為奇函數，為偶函數，從而可得出為周期為4的函數，從而可求解.【詳解】由題意得為奇函數，所以，即，所以函數關于點中心對稱，由為偶函數，所以可得為偶函數，則，所以函數關于直線對稱，所以，從而得，所以函數為周期為4的函數，因為，所以，則，因為關于直線對稱，所以，又因為關于點對稱，所以，又因為，又因為，所以，所以.故答案為：4050.4．（25-26高三上·遼寧大連·期中）已知定義域關于原點對稱的函數都可以表示成一個奇函數與一個偶函數的和，設，其中分別為奇函數和偶函數，則；若正項數列滿足，且，則．【答案】/【分析】用替換構造新方程，解方程組可得解析式，即可求出，再由雙曲余弦函數的性質求解.【詳解】因為，所以，可得，所以；因為，所以，注意到，設，則，因為，所以，由為偶函數，不妨設，因為，當時，，故，所以在上單調遞增，可知，所以由等比數列通項公式可得，故，則.故答案為：；5．（25-26高三上·浙江溫州·階段練習）已知函數的定義域為，對任意，有且.若，則.【答案】【分析】通過對兩個不等式進行賦值代換得到函數的一個遞推關系式，再用累加法即可得所求函數值.【詳解】由，令，則，代入不等式得，，再次迭代兩次得，，，由上述三式相加得，即——①.再由，令，則，代入不等式得，，即——②.因為對任意，有且.綜合①②得.再分別對依次賦值得：上述8個式子相加得，，又因，所以.故答案為：.沖刺練（建議用時：60分鐘）1．(25-26高三上·山東濟南第一中學·期中)已知是定義域為的奇函數，滿足．若，則（

）A． B． C．50 D．【答案】D【分析】根據已知條件，判斷函數是周期為的周期函數，根據周期性和奇偶性，求得所求表達式的值.【詳解】由函數為定義在的奇函數，得，.由，得，即所以，故函數是周期為的周期函數.因為，所以，，，所以，所以.故選：D.2．(25-26高三上·山東淄博實驗中學·期中)設奇函數的定義域為，對任意的，，且，都有不等式，且，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據給定條件，構造函數，利用函數單調性定義確定在的單調性，再結合奇偶性求解不等式.【詳解】設函數，由為上的奇函數，得，則函數是上的偶函數，又，依題意，對任意的，且，都有，則函數在上單調遞增，所以在上單調遞減，由，得，不等式，即，則，即或，解得或，所以不等式的解集為.故選：D3．(25-26高三上·四川射洪中學?！て谥?函數是偶函數，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求函數定義域，結合偶函數的定義運算求解即可.【詳解】令，解得或，可知函數的定義域為，因為，若函數是偶函數，則，即，可得，結合的任意性可得.故選：B.4．(25-26高三河北階段練習·)如圖是下列四個函數中的某個函數的大致圖象，則該函數是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由選項中的函數解析式，利用函數的奇偶性的定義和判定方法，可排除選項A，B，結合和時，的正負，排除C項，得到D符合題意.【詳解】對于A，函數的定義域為，且，即，所以函數為偶函數，圖象關于軸對稱，所以A不符合題意；對于B，函數的定義域為，且，即，所以函數為偶函數，圖象關于軸對稱，所以B不符合題意；對于C，函數的定義域為，且，即，所以函數為奇函數，圖象關于原點對稱，當時，，可得，所以C不符合題意；對于D，函數的定義域為，且，即，所以函數為奇函數，圖象關于原點對稱，當時，可得；當時，可得，滿足要求，所以D符合題意.故選：D.5．（24-25山東濰坊階段練習）已知函數，若，則的大小關系為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據函數的奇偶性以及復合函數的單調性可確定為偶函數，且在上單調遞增，構造函數，求導得函數單調性，即可利用單調性求解.【詳解】由題意知的定義域為R，，故為偶函數，當時，，由于在上單調遞增，對勾函數在上單調遞增，故函數在上單調遞增，因此在上單調遞增，構造，，當時，，故在上單調遞減，又，∴，即，即，∴，即，故選：A6．(24-25高三河北石家莊階段練習·)定義域為的函數滿足，當時，，若時，，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】結合題意求出函數在區(qū)間上的最小值，根據題意得出，解該不等式即可得解.【詳解】當時，恒成立，則，因為定義域為的函數