專題05數(shù)列（選填題）目錄第一部分題型解碼微觀解剖，精細教學(xué)典例剖析目錄第一部分題型解碼微觀解剖，精細教學(xué)典例剖析方法提煉變式題型01數(shù)列求通項問題題型02數(shù)列求和問題題型03數(shù)列不等式問題題型04奇偶和插項數(shù)列問題題型05新定義問題第二部分強化實訓(xùn)整合應(yīng)用，模擬實戰(zhàn)題型01抽象函數(shù)問題【例1-1】（2025·四川綿陽·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，，則等于（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由題設(shè)，即，且，所以，由滿足上式，故.故選：B【例1-2】（2025·江蘇·模擬預(yù)測）已知正項等差數(shù)列滿足，則（

）A．670 B．675 C．2025 D．4050【答案】B【詳解】因為數(shù)列為正項等差數(shù)列，則，即，可得，，，，累乘可得.故選：B.1.累加法、累乘法①累加法：適用于，求具體過程：兩邊分別相加得；②累乘法：適用于，求具體過程：，兩邊分別相乘得.2.同除法及取倒數(shù)法①形如整式，兩邊同時除以②形如,則有.所以是以為首項,為公差的等差數(shù)列,即.3.已知或①用消的3個步驟：①先利用求出;②用替換中的得到一個新的關(guān)系，利用便可求出當時的表達式;③注意檢驗時的表達式是否可以與的表達式合并.②若等式中為與或與，則替換題目中的4.構(gòu)造法①形如且，化為的形式，令,即得為等比數(shù)列,從而求得數(shù)列的通項公式.①形如且化為的形式，令,即得為等比數(shù)列,從而求得數(shù)列的通項公式.【變式1-1】（2025·山東濟南·二模）已知數(shù)列的前項和為，且滿足，則【答案】【詳解】由題設(shè)，數(shù)列是首項、公差均為1的等差數(shù)列，則，所以，當，則，顯然滿足上式，所以.故答案為：【變式1-2】（2025·江蘇蘇州·三模）已知數(shù)列滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】對于A，由，得，，則，A錯誤；對于B，由，得，當時，，B錯誤；對于CD，由，得，則，即，則當時，，，因此，，，，而，C正確，D錯誤.故選：C【變式1-3】（2025·河北張家口·一模）已知數(shù)列滿足，且，則.【答案】【詳解】由題得，當時，符合題意，所以，故答案為：.題型02數(shù)列求和問題【例2-1】（2025·浙江臺州·一模）已知等比數(shù)列滿足：.設(shè)，記數(shù)列的前項和為，則（

）A．149 B．153 C．155 D．157【答案】B【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，則，可得，所以，則，所以.故選：B.【例2-2】（2025·江西·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足：，，令，數(shù)列的前項和，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因為數(shù)列滿足：，，當時，，當時，由可得，兩個等式作差得，所以，可得，當時，，滿足，故當時，，所以，因此，.故選：B.1.公式法：對于等差、等比數(shù)列，直接利用前項和公式．等差：.等比：.2.分組求和法：數(shù)列的通項公式為的形式，其中和滿足不同的求和公式．常見于為等差數(shù)列，為等比數(shù)列或者與分別是數(shù)列的奇數(shù)項和偶數(shù)項，并滿足不同的規(guī)律．3.并項求和法若在一個數(shù)列的前項和中，可兩兩結(jié)合求和，則稱之為并項求和.4.錯位相減法：數(shù)列的通項公式為或的形式，其中為等差數(shù)列，為等比數(shù)列．5.裂項相消法：將數(shù)列恒等變形為連續(xù)兩項或相隔若干項之差的形式，進行消項．常用的裂項公式：=1\*GB3①；②；③；④.6.倒序相加法：如果一個數(shù)列的前項中與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前項和可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前項和公式就是用此法推導(dǎo)的.【變式2-1】（2025·江蘇淮安·模擬預(yù)測）已知遞增等比數(shù)列前項和為，且，則數(shù)列的前項和為．【答案】【詳解】由于，則，解得或，因為等比數(shù)列為遞增數(shù)列，，所以所以，故.因為，所以.故答案為：【變式2-2】（2025·青?！つM預(yù)測）（多選題）設(shè)數(shù)列的前項和為，已知，，記數(shù)列的前項和為，則（

）A． B．C． D．【答案】AB【詳解】因為，，所以，即的偶數(shù)項均為-2，B正確．因為，所以．又因為，所以的奇數(shù)項均為2，A正確．，C，D錯誤．故選：AB【變式2-3】（2025·遼寧·模擬預(yù)測）若，數(shù)列滿足，則的值是（

）A．2024 B．4048 C．3036 D．2025【答案】B【詳解】，，則.因為令，得；；；…………又.故故選：B題型03數(shù)列不等式問題【例3-1】（2025·遼寧·模擬預(yù)測）記是公差不為0的等差數(shù)列的前項和，若，，則使成立的的最大值是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，又，所以，由，所以，所以，所以，即①，又因為，所以②，由①②解得，所以，所以，由有，即，解得，所以使成立的的最大值是，故選：C.【例3-2】（2025·吉林·模擬預(yù)測）已知遞減的等比數(shù)列前項和為，且滿足，，若恒成立，則的最小值為（

）A． B． C．2 D．【答案】D【詳解】由題可設(shè)等比數(shù)列的公比為，因為，，所以或，所以，，所以為單調(diào)遞增數(shù)列，為單調(diào)遞減數(shù)列，所以單調(diào)遞增，故，故若恒成立，則的最小值為.故選：D數(shù)列與不等式的綜合問題及求解策略1.判斷數(shù)列問題的一些不等關(guān)系，可以利用數(shù)列的單調(diào)性比較大小或借助數(shù)列對應(yīng)的函數(shù)的單調(diào)性比較大?。?.以數(shù)列為載體，考查不等式恒成立的問題，此類問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值．3.考查與數(shù)列有關(guān)的不等式證明問題，此類問題一般采用放縮法進行證明，有時也可通過構(gòu)造函數(shù)進行證明．【變式3-1】（2025·海南·模擬預(yù)測）數(shù)列滿足，對于任意的恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意令，所以，對比，可得，所以數(shù)列是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以，所以，對于任意的恒成立，即對于任意的恒成立，即對于任意的恒成立，顯然當增大時，減小，此時增大，所以.故選：A.【變式3-2】（2025·河南·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，，若對，，則實數(shù)t的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為，所以，即，所以當時，，所以，也滿足，所以，，所以恒成立，即，因為，當且僅當時，等號成立，所以，即，所以實數(shù)t的取值范圍是，故選：A【變式3-3】（2025·上?！じ呖颊骖}）已知數(shù)列、、的通項公式分別為，、，.若對任意的，、、的值均能構(gòu)成三角形，則滿足條件的正整數(shù)有（

）A．4個 B．3個 C．1個 D．無數(shù)個【答案】B【詳解】由題意，不妨設(shè)，三點均在第一象限內(nèi)，由可知，，故點恒在線段上，則有.即對任意的，恒成立，令，構(gòu)造函數(shù)，則，由單調(diào)遞增，又，存在，使，即當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增；故至多個零點，又由，可知存在個零點，不妨設(shè)，且.①若，即時，此時或.則，可知成立，要使、、的值均能構(gòu)成三角形，所以恒成立，故，所以有，解得；②若，即時，此時.則，可知成立，要使、、的值均能構(gòu)成三角形，所以恒成立，故，所以有，解得或；綜上可知，正整數(shù)的個數(shù)有個.故選：B.題型04奇偶和插項數(shù)列問題【例4-1】（25-26高三上·重慶·月考）已知數(shù)列的前項和為，且滿足，則.【答案】350或357【詳解】當為奇數(shù)時，，則，數(shù)列的項依次為，數(shù)列是周期為3的數(shù)列，所以；當為偶數(shù)時，，則，數(shù)列的項依次為，數(shù)列是首項為8，從第2項起周期為3的數(shù)列，所以.故答案為：350或357【例4-2】（25-26高三上·河南南陽·期中）已知數(shù)列的通項公式，在每相鄰兩項之間插入個，使它們和原數(shù)列的項構(gòu)成一個新的數(shù)列，記數(shù)列的前n項和為，則成立的n的最小值為（

）A．35 B．36 C．37 D．38【答案】A【詳解】由題可知，數(shù)列各項依次為：，當時，，當時，，所以成立的的最小值為35.故選：A.1.奇偶數(shù)列求和：已知，其中的前項和為，的前項和為，的前項和為.(2)若為偶數(shù)，則(3)若為奇數(shù)，則2.常見奇偶數(shù)列模型，則直接按奇偶分開討論.3.數(shù)列插項問題=1\*GB3①在和之間插入個數(shù)，使這個數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，記這個等差數(shù)列的公差為，則，整理的.=2\*GB3②在和之間插入個數(shù)，使這個數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，記這個等比數(shù)列的公比為，則，整理的.【變式4-1】（25-26高三上·云南昭通·月考）已知數(shù)列滿足，則；其通項公式為．【答案】【詳解】由題意知：，，，；因，則有，又，故數(shù)列是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列，則，即，故有(為奇數(shù))；又，故有(為偶數(shù))，故.故答案為：13；.【變式4-2】（25-26高三上·遼寧大連·月考）設(shè)數(shù)列滿足（），，.在數(shù)列的任意與項之間，都插入（）個相同的數(shù)，組成數(shù)列，記數(shù)列的前項的和為，求.【答案】84【詳解】因為，所以，又，，所以數(shù)列為首項為1，公比為2的等比數(shù)列，所以，所以當時，，，，，所以，所以當時，，又也滿足該關(guān)系，所以數(shù)列的通項公式為；數(shù)列中在之前共有項，當時，，當時，，所以.故答案為：84【變式4-3】（2025·海南?？凇つM預(yù)測）已知數(shù)列的首項為1，是的前n項和，且，（），若存在，使得成立，則實數(shù)m的取值范圍為．【答案】【詳解】由，（）可得，即，因，當時符合題意，故.若存在，使得成立.當為奇數(shù)時，，，由，可得，此時，存在使得，故，即，也即；當為偶數(shù)時，，，由可得，此時，存在使得，故，即，也即.綜上，可得實數(shù)m的取值范圍為.故答案為：.題型05新定義問題【例5-1】（2025·湖北武漢·模擬預(yù)測）（多選題）如圖，曲線下有一系列正三角形，設(shè)第n個正三角形（為坐標原點）的邊長為，則（

）

A．，B．記為的前n項和，則為C．記為數(shù)列的前n項和，則D．數(shù)列的前n項和為【答案】AB【詳解】A.由題意可知為等邊三角形，如圖，，則，因為點在曲線上，可得，解得或（舍），又由題意可知為邊長為的等邊三角形，則，則，可得，解得或（舍），故A正確；B.由為邊長為的等邊三角形，可得，故B正確；C.由點在曲線上，則，整理得，由，可知，故C錯誤；D.當時，可得，所以，可化為，因為，則，所以，又因為，符合上式，故，則數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以數(shù)列的通項公式為，所以，故D錯誤.故選：AB【例5-2】（2025·江蘇南通·三模）（多選題）已知數(shù)列，設(shè)，若數(shù)列滿足：存在常數(shù)，使得對于任意兩兩不相等的正整數(shù)，，，都有，則稱數(shù)列具有性質(zhì)，下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則數(shù)列具有性質(zhì)B．若數(shù)列的前項和，則數(shù)列具有性質(zhì)C．若數(shù)列具有性質(zhì)，則常數(shù)D．若數(shù)列具有性質(zhì)，則為等差數(shù)列【答案】ACD【詳解】對于C，若具有性質(zhì)，則①，交換i，j的位置②，①+②，，C正確．對于A，若，，對兩兩不等的正整數(shù)i，j，k符合條件，具有性質(zhì)，A正確．對于B，，取，，，，不具有性質(zhì)，B錯．對于D，令，，記為數(shù)列的前n項和，具有性質(zhì)，，①，時，②，①-②，（且），而時，上式也成立對恒成立，為等差數(shù)列，D正確.故選：ACD．解答新定義型創(chuàng)新題的基本思路是：（1）正確理解新定義；（2）根據(jù)新定義建立關(guān)系式；（3）結(jié)合所學(xué)的知識、經(jīng)驗將問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題；（4）運用所學(xué)的公式、定理、性質(zhì)等合理進行推理、運算，求得結(jié)果．【變式5-1】（2025·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測）（多選題）在科技競逐的舞臺上，降本增效是突破創(chuàng)新的關(guān)鍵．在量子計算領(lǐng)域，九章量子計算機在2020年便以不到谷歌的資金實現(xiàn)了量子計算優(yōu)越性，展現(xiàn)了中國科技界的卓越實力．2025年九章量子計算機在態(tài)疊加編碼中提出一種分形數(shù)列模型，該模型中將量子態(tài)能量分解為連續(xù)奇數(shù)組，規(guī)律如下：．．．記表示第個等式中第個量子態(tài)能量值（如），研究人員發(fā)現(xiàn)滿足：第行恰含有個連續(xù)奇數(shù)，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【詳解】選項A：，累加可得，所以，故A正確；選項B：，故B正確；選項C：，故C錯誤；選項D：由B知．當時，，故，從而有，故D正確．故選：ABD.【變式5-2】（2025·山東·模擬預(yù)測）（多選題）若數(shù)列滿足：存在，使得對任意成立，則稱是“受限數(shù)列”，的最小值稱為的“受限上界”.記的前項和為，則下列說法正確的是（

）A．若，則是受限數(shù)列B．若等差數(shù)列滿足，，則是受限數(shù)列C．若，則是受限數(shù)列，其受限上界為3D．若，都是受限數(shù)列，則也是受限數(shù)列【答案】BD【詳解】對于A，若，則，不存在，不是受限數(shù)列，故A錯誤；對于B，依題意，，則，而，故，，易知，所以，于是，故B正確；對于C，因為，故當時，，解得，當時，，，兩式相減并整理，得，故，故，故，受限上界不是3，故C錯誤；對于D，若，都是受限數(shù)列，則存在正數(shù)，，滿足，，注意到，同理，，記，，則，所以，故D正確.故選：BD.【變式5-3】（2025·北京海淀·三模）設(shè)數(shù)列的前n項的和為，若對任意的，都有，則稱數(shù)列為“超神數(shù)列”，下列命題中，正確的有．①存在遞增數(shù)列，使得它是“超神數(shù)列”；②存在周期數(shù)列，使得它是“超神數(shù)列”；③存在等差數(shù)列，使得它是“超神數(shù)列”；④若為等比數(shù)列，對于任意，存在，使得為超神數(shù)列．【答案】①②④【詳解】對于①，當時，，，，即，故①正確；對于②，當周期數(shù)列為，周期為2，對任意的，都有，故②正確；對于③設(shè)等差數(shù)列首項為，公差為，則，，，對任意的恒成立，當，是開口向上的二次函數(shù)，當，故不符合題意；當時，，不符合題意；當時，，也不符合題意；綜上，不存在等差數(shù)列，使得它是“超神數(shù)列”，故③錯誤；對于④，設(shè)等比數(shù)列首項為，公差為，，，當為奇數(shù)時，，則，要使，所以就符合題意；當為偶數(shù)時，，，又，，所以，即，綜上，當，對于任意，存在，使得為超神數(shù)列，故④正確.故答案為：①②④1.（2025·江西·模擬預(yù)測）設(shè)數(shù)列的前項和為，已知，則（

）A．2024 B．2025 C． D．【答案】B【詳解】由可得，即，因此；因此，可得，所以.故選：B2.（2025·湖北·模擬預(yù)測）已知數(shù)列前項和為，，，，則的最大值為（

）A．4 B．9 C．10 D．12【答案】B【詳解】因為中，，當時，；當時，，用代替得：，兩式相減得：.又，所以數(shù)列是以1為首項，以2為公比的等比數(shù)列，所以.所以，由或.所以數(shù)列中，有：，即數(shù)列中，最大，且.故選：B3.（2025·重慶·三模）數(shù)列滿足，則的前100項和．【答案】【詳解】，①當為偶數(shù)時，，，，，，…，.②當為奇數(shù)時，，，，，，…，，，故答案為：4.（2025·湖南益陽·三模）已知數(shù)列滿足，給出定義：使數(shù)列的前k項和為正整數(shù)的k（）叫做好數(shù)，則在內(nèi)的所有“好數(shù)”的和為．【答案】2026【詳解】由題，．所以，．因為為正整數(shù)，所以，即．令，則．因為，所以．因為為增函數(shù)，且，所以．所以所有“好數(shù)”的和為．故答案為：2026．5.（2025·云南·模擬預(yù)測）數(shù)列滿足：，且，則.【答案】1220【詳解】由，所以，且，兩式相減得：，又由及，故是遞增數(shù)列，，所以，當時，，解得，又，即，所以數(shù)列是等差數(shù)列，首項為，公差為，所以，故.故答案為：.6.（2025·浙江·模擬預(yù)測）已知數(shù)列和通項公式分別為，，將數(shù)列和的公共項按照從小到大的順序排成一個新數(shù)列，則數(shù)列的通項公式；【答案】【詳解】令數(shù)列的第項與數(shù)列的第項相等，即，則，由，顯然是3的正整數(shù)倍，由，得是3的倍數(shù)，則，因此為正奇數(shù)，即，于是，所以數(shù)列的通項公式.故答案為：7.（2025·河南·模擬預(yù)測）（多選題）已知數(shù)列滿足，則（

）A．B．C．若，則的最大值為1214D．的前36項和為1226【答案】AC【詳解】對于A，，數(shù)列是首項，公差為5的等差數(shù)列，，A正確；對于B，由選項A得，數(shù)列均為遞增數(shù)列，數(shù)列中除外，其它項均不為1，B錯誤；對于C，由選項B得，當時，因此的最大值為1214，C正確；對于D，由選項B得，因此數(shù)列的前36項和為，D錯誤.故選：AC8.（25-26高三上·湖北·期中）（多選題）數(shù)列滿足，且，數(shù)列的前項和為，從的前項中任取兩項，它們的和為奇數(shù)的概率為，數(shù)列的前項積為，則（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】對于A，當時，，又，，又，，，的奇數(shù)項所成的數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，偶數(shù)項所成的數(shù)列是首項為4，公差為2的等差數(shù)列，，故A正確；對于B，，故B錯誤；對于C，，故C正確；對于D，當，時，，又，，故D正確.故選：ACD.9.（25-26高三上·山西·月考）（多選題）在數(shù)列的任意相鄰兩項之間插入這兩項的和，稱為對數(shù)列進行一次“和生長”，插入這兩項的積，稱為對數(shù)列進行一次“積生長”.例如，對數(shù)列1，4分別進行兩種操作：進行一次“和生長”得到數(shù)列，兩次“和生長”得到數(shù)列；進行一次“積生長”得到數(shù)列，兩次“積生長”得到數(shù)列.設(shè)對數(shù)列1，4進行次“和生長”后得到的數(shù)列為，進行次“積生長”后得到的數(shù)