專題05數(shù)列（選填題）目錄第一部分題型解碼微觀解剖，精細(xì)教學(xué)典例剖析目錄第一部分題型解碼微觀解剖，精細(xì)教學(xué)典例剖析方法提煉變式題型01數(shù)列求通項(xiàng)問(wèn)題題型02數(shù)列求和問(wèn)題題型03數(shù)列不等式問(wèn)題題型04奇偶和插項(xiàng)數(shù)列問(wèn)題題型05新定義問(wèn)題第二部分強(qiáng)化實(shí)訓(xùn)整合應(yīng)用，模擬實(shí)戰(zhàn)題型01抽象函數(shù)問(wèn)題【例1-1】（2025·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，，則等于（

）A． B．C． D．【例1-2】（2025·江蘇·模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)等差數(shù)列滿足，則（

）A．670 B．675 C．2025 D．40501.累加法、累乘法①累加法：適用于，求具體過(guò)程：兩邊分別相加得；②累乘法：適用于，求具體過(guò)程：，兩邊分別相乘得.2.同除法及取倒數(shù)法①形如整式，兩邊同時(shí)除以②形如,則有.所以是以為首項(xiàng),為公差的等差數(shù)列,即.3.已知或①用消的3個(gè)步驟：①先利用求出;②用替換中的得到一個(gè)新的關(guān)系，利用便可求出當(dāng)時(shí)的表達(dá)式;③注意檢驗(yàn)時(shí)的表達(dá)式是否可以與的表達(dá)式合并.②若等式中為與或與，則替換題目中的4.構(gòu)造法①形如且，化為的形式，令,即得為等比數(shù)列,從而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.①形如且化為的形式，令,即得為等比數(shù)列,從而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.【變式1-1】（2025·山東濟(jì)南·二模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，則【變式1-2】（2025·江蘇蘇州·三模）已知數(shù)列滿足，則（

）A． B．C． D．【變式1-3】（2025·河北張家口·一模）已知數(shù)列滿足，且，則.題型02數(shù)列求和問(wèn)題【例2-1】（2025·浙江臺(tái)州·一模）已知等比數(shù)列滿足：.設(shè)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（

）A．149 B．153 C．155 D．157【例2-2】（2025·江西·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足：，，令，數(shù)列的前項(xiàng)和，則（

）A． B． C． D．1.公式法：對(duì)于等差、等比數(shù)列，直接利用前項(xiàng)和公式．等差：.等比：.2.分組求和法：數(shù)列的通項(xiàng)公式為的形式，其中和滿足不同的求和公式．常見于為等差數(shù)列，為等比數(shù)列或者與分別是數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)，并滿足不同的規(guī)律．3.并項(xiàng)求和法若在一個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求和，則稱之為并項(xiàng)求和.4.錯(cuò)位相減法：數(shù)列的通項(xiàng)公式為或的形式，其中為等差數(shù)列，為等比數(shù)列．5.裂項(xiàng)相消法：將數(shù)列恒等變形為連續(xù)兩項(xiàng)或相隔若干項(xiàng)之差的形式，進(jìn)行消項(xiàng)．常用的裂項(xiàng)公式：=1\*GB3①；②；③；④.6.倒序相加法：如果一個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)中與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式就是用此法推導(dǎo)的.【變式2-1】（2025·江蘇淮安·模擬預(yù)測(cè)）已知遞增等比數(shù)列前項(xiàng)和為，且，則數(shù)列的前項(xiàng)和為．【變式2-2】（2025·青海·模擬預(yù)測(cè)）（多選題）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（

）A． B．C． D．【變式2-3】（2025·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）若，數(shù)列滿足，則的值是（

）A．2024 B．4048 C．3036 D．2025題型03數(shù)列不等式問(wèn)題【例3-1】（2025·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）記是公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則使成立的的最大值是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【例3-2】（2025·吉林·模擬預(yù)測(cè)）已知遞減的等比數(shù)列前項(xiàng)和為，且滿足，，若恒成立，則的最小值為（

）A． B． C．2 D．?dāng)?shù)列與不等式的綜合問(wèn)題及求解策略1.判斷數(shù)列問(wèn)題的一些不等關(guān)系，可以利用數(shù)列的單調(diào)性比較大小或借助數(shù)列對(duì)應(yīng)的函數(shù)的單調(diào)性比較大小．2.以數(shù)列為載體，考查不等式恒成立的問(wèn)題，此類問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值．3.考查與數(shù)列有關(guān)的不等式證明問(wèn)題，此類問(wèn)題一般采用放縮法進(jìn)行證明，有時(shí)也可通過(guò)構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行證明．【變式3-1】（2025·海南·模擬預(yù)測(cè)）數(shù)列滿足，對(duì)于任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式3-2】（2025·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，，若對(duì)，，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式3-3】（2025·上海·高考真題）已知數(shù)列、、的通項(xiàng)公式分別為，、，.若對(duì)任意的，、、的值均能構(gòu)成三角形，則滿足條件的正整數(shù)有（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．1個(gè) D．無(wú)數(shù)個(gè)題型04奇偶和插項(xiàng)數(shù)列問(wèn)題【例4-1】（25-26高三上·重慶·月考）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，則.【例4-2】（25-26高三上·河南南陽(yáng)·期中）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，在每相鄰兩項(xiàng)之間插入個(gè)，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則成立的n的最小值為（

）A．35 B．36 C．37 D．381.奇偶數(shù)列求和：已知，其中的前項(xiàng)和為，的前項(xiàng)和為，的前項(xiàng)和為.(2)若為偶數(shù)，則(3)若為奇數(shù)，則2.常見奇偶數(shù)列模型，則直接按奇偶分開討論.3.數(shù)列插項(xiàng)問(wèn)題=1\*GB3①在和之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，記這個(gè)等差數(shù)列的公差為，則，整理的.=2\*GB3②在和之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，記這個(gè)等比數(shù)列的公比為，則，整理的.【變式4-1】（25-26高三上·云南昭通·月考）已知數(shù)列滿足，則；其通項(xiàng)公式為．【變式4-2】（25-26高三上·遼寧大連·月考）設(shè)數(shù)列滿足（），，.在數(shù)列的任意與項(xiàng)之間，都插入（）個(gè)相同的數(shù)，組成數(shù)列，記數(shù)列的前項(xiàng)的和為，求.【變式4-3】（2025·海南?？凇つM預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的首項(xiàng)為1，是的前n項(xiàng)和，且，（），若存在，使得成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為．題型05新定義問(wèn)題【例5-1】（2025·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）（多選題）如圖，曲線下有一系列正三角形，設(shè)第n個(gè)正三角形（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的邊長(zhǎng)為，則（

）

A．，B．記為的前n項(xiàng)和，則為C．記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則D．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為【例5-2】（2025·江蘇南通·三模）（多選題）已知數(shù)列，設(shè)，若數(shù)列滿足：存在常數(shù)，使得對(duì)于任意兩兩不相等的正整數(shù)，，，都有，則稱數(shù)列具有性質(zhì)，下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則數(shù)列具有性質(zhì)B．若數(shù)列的前項(xiàng)和，則數(shù)列具有性質(zhì)C．若數(shù)列具有性質(zhì)，則常數(shù)D．若數(shù)列具有性質(zhì)，則為等差數(shù)列解答新定義型創(chuàng)新題的基本思路是：（1）正確理解新定義；（2）根據(jù)新定義建立關(guān)系式；（3）結(jié)合所學(xué)的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題；（4）運(yùn)用所學(xué)的公式、定理、性質(zhì)等合理進(jìn)行推理、運(yùn)算，求得結(jié)果．【變式5-1】（2025·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測(cè)）（多選題）在科技競(jìng)逐的舞臺(tái)上，降本增效是突破創(chuàng)新的關(guān)鍵．在量子計(jì)算領(lǐng)域，九章量子計(jì)算機(jī)在2020年便以不到谷歌的資金實(shí)現(xiàn)了量子計(jì)算優(yōu)越性，展現(xiàn)了中國(guó)科技界的卓越實(shí)力．2025年九章量子計(jì)算機(jī)在態(tài)疊加編碼中提出一種分形數(shù)列模型，該模型中將量子態(tài)能量分解為連續(xù)奇數(shù)組，規(guī)律如下：．．．記表示第個(gè)等式中第個(gè)量子態(tài)能量值（如），研究人員發(fā)現(xiàn)滿足：第行恰含有個(gè)連續(xù)奇數(shù)，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【變式5-2】（2025·山東·模擬預(yù)測(cè)）（多選題）若數(shù)列滿足：存在，使得對(duì)任意成立，則稱是“受限數(shù)列”，的最小值稱為的“受限上界”.記的前項(xiàng)和為，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則是受限數(shù)列B．若等差數(shù)列滿足，，則是受限數(shù)列C．若，則是受限數(shù)列，其受限上界為3D．若，都是受限數(shù)列，則也是受限數(shù)列【變式5-3】（2025·北京海淀·三模）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)的和為，若對(duì)任意的，都有，則稱數(shù)列為“超神數(shù)列”，下列命題中，正確的有．①存在遞增數(shù)列，使得它是“超神數(shù)列”；②存在周期數(shù)列，使得它是“超神數(shù)列”；③存在等差數(shù)列，使得它是“超神數(shù)列”；④若為等比數(shù)列，對(duì)于任意，存在，使得為超神數(shù)列．1.（2025·江西·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，則（

）A．2024 B．2025 C． D．2.（2025·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列前項(xiàng)和為，，，，則的最大值為（

）A．4 B．9 C．10 D．123.（2025·重慶·三模）數(shù)列滿足，則的前100項(xiàng)和．4.（2025·湖南益陽(yáng)·三模）已知數(shù)列滿足，給出定義：使數(shù)列的前k項(xiàng)和為正整數(shù)的k（）叫做好數(shù)，則在內(nèi)的所有“好數(shù)”的和為．5.（2025·云南·模擬預(yù)測(cè)）數(shù)列滿足：，且，則.6.（2025·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列和通項(xiàng)公式分別為，，將數(shù)列和的公共項(xiàng)按照從小到大的順序排成一個(gè)新數(shù)列，則數(shù)列的通項(xiàng)公式；7.（2025·河南·模擬預(yù)測(cè)）（多選題）已知數(shù)列滿足，則（

）A．B．C．若，則的最大值為1214D．的前36項(xiàng)和為12268.（25-26高三上·湖北·期中）（多選題）數(shù)列滿足，且，數(shù)列的前項(xiàng)和為，從的前項(xiàng)中任取兩項(xiàng)，它們的和為奇數(shù)的概率為，數(shù)列的前項(xiàng)積為，則（

）A． B． C． D．9.（25-26高三上·山西·月考）（多選題）在數(shù)列的任意相鄰兩項(xiàng)之間插入這兩項(xiàng)的和，稱為對(duì)數(shù)列進(jìn)行一次“和生長(zhǎng)”，插入這兩項(xiàng)的積，稱為對(duì)數(shù)列進(jìn)行一次“積生長(zhǎng)”.例如，對(duì)數(shù)列1，4分別進(jìn)行兩種操作：進(jìn)行一次“和生長(zhǎng)”得到數(shù)列，兩次“和生長(zhǎng)”得到數(shù)列；進(jìn)行一次“積生長(zhǎng)”得到數(shù)列，兩次“積生長(zhǎng)”得到數(shù)列.設(shè)對(duì)數(shù)列1，4進(jìn)行次“和生長(zhǎng)”后得到的數(shù)列為，進(jìn)行次“積生長(zhǎng)”后得