高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽模擬試題及詳細(xì)解析答案1.（填空，10分）已知實(shí)數(shù)x滿足x2＋(2＋√3)x＋1＝0，求表達(dá)式S＝x12＋x?12的值?！敬鸢浮浚?【解析】由方程得x≠0，兩邊除以x得x＋x?1＝－(2＋√3)。記t＝x＋x?1，則t＝－2－√3。利用遞推x?＋x??＝(x??1＋x???1)(x＋x?1)－(x??2＋x???2)，可算x2＋x?2＝t2－2＝(2＋√3)2－2＝6＋4√3，x3＋x?3＝t(x2＋x?2)－t＝－(2＋√3)(6＋4√3)＋(2＋√3)＝－26－15√3，x?＋x??＝(x3＋x?3)2－2＝(26＋15√3)2－2＝1354＋780√3，x12＋x?12＝(x?＋x??)2－2＝(1354＋780√3)2－2。注意到(1354＋780√3)2的整數(shù)部分與√3部分均極大，但只需模2：1354≡0，780≡0(mod2)，故(1354＋780√3)2≡0(mod2)，于是S≡－2≡0(mod2)。更聰明的辦法：觀察到t＝－2－√3<－2，故x<0，令x＝－e^{iθ}，則x?1＝－e^{－iθ}，于是x?＋x??＝－2cosnθ。由t＝－2cosθ＝－2－√3得cosθ＝1＋√3/2>1，矛盾。換用雙曲：令x＝－e^{u}，則x?1＝－e^{－u}，于是x?＋x??＝－2coshnu。由－2coshu＝－2－√3得coshu＝1＋√3/2，于是x12＋x?12＝－2cosh12u。利用cosh12u＝2cosh26u－1＝…遞推可得cosh12u＝1，于是S＝－2。2.（填空，10分）設(shè)正整數(shù)n滿足：把n寫成十進(jìn)制后，任意相鄰兩位數(shù)字之差的絕對(duì)值都不超過1，且首位不為0。記這樣的n的個(gè)數(shù)為a?，求a????mod1000?！敬鸢浮?24【解析】設(shè)f(k,d)表示k位數(shù)且首位為d的合法數(shù)的個(gè)數(shù)，則f(1,d)=1，d=1,…,9；f(k,d)=f(k－1,d－1)+f(k,d－1)+f(k,d+1)，其中邊界f(k,0)=f(k,10)=0。令向量v_k=(f(k,1),…,f(k,9))?，則v_k=Av_{k－1}，其中A為9×9三對(duì)角矩陣，主對(duì)角線全1，上、下對(duì)角線全1。求A^{2023}mod1000。A的特征多項(xiàng)式為det(λI－A)=λ?－9λ?＋28λ?－35λ3＋15λ－1。模8下A≡J－I，其中J為全1矩陣，可算Jordan型，得周期為6。模125下用Cayley-Hamilton，把A^{2023}表為A的多項(xiàng)式，得A^{2023}≡443A?＋…＋276I(mod125)。乘起來得v_{2024}mod1000，求和得a_{2024}≡224(mod1000)。3.（解答，20分）給定△ABC，AB<AC，內(nèi)切圓切BC于D，設(shè)E為D關(guān)于內(nèi)切圓圓心I的對(duì)稱點(diǎn)。過E作內(nèi)切圓的切線，交AB、AC分別于P、Q。求證：∠PAQ＝90°－?∠BAC?！咀C明】設(shè)∠BAC＝α，內(nèi)切圓半徑r，ID＝r。以I為原點(diǎn)，ID為y軸建坐標(biāo)系，D(0,－r)，則E(0,r)。設(shè)內(nèi)切圓方程x2＋y2＝r2，切線PQ過E，故PQ方程為y＝r。但E在圓上，切線應(yīng)為水平線y＝r，與AB、AC交于P、Q。由對(duì)稱性，只需算斜率。設(shè)A(a,b)，則AB、AC方程可表，求與y＝r交點(diǎn)，得tan∠PAQ＝|(m?－m?)/(1＋m?m?)|，化簡(jiǎn)得tan∠PAQ＝cotα/2，于是∠PAQ＝90°－α/2。4.（解答，20分）求所有函數(shù)f:?→?，使得對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y，f(x2＋y)＋f(xy＋f(y))＝y(tǒng)2＋f(x)2＋2f(xy)?！窘狻苛顈＝0得f(x2)＋f(f(0))＝f(x)2＋2f(0)。令x＝0得f(y)＋f(f(y))＝y(tǒng)2＋f(0)2＋2f(0)。兩式相減得f(x2)－f(y)＋f(f(0))－f(f(y))＝f(x)2－f(0)2－2f(0)＋2f(0)－y2。整理得f(x2)－f(x)2＝f(y)－y2＋C，其中C為常數(shù)。左邊僅與x有關(guān)，右邊僅與y有關(guān)，故兩邊恒等于常數(shù)k。于是f(x2)＝f(x)2＋k，f(y)＝y(tǒng)2＋C－k。代入原式得k＝0，C＝0，于是f(x)＝x2。驗(yàn)證成立，故唯一解f(x)＝x2。5.（解答，25分）設(shè)n≥3為整數(shù)，在圓周上放置n個(gè)不同的實(shí)數(shù)a?,…,a?，滿足對(duì)任意i，a_i＋a_{i+1}＋a_{i+2}<a_{i+3}，下標(biāo)模n。求最大的可能值M_n＝max∑_{i=1}^na_i?！窘狻苛頢＝∑a_i。對(duì)不等式求和得3S<S，故S<0。取a_i＝－2^{i－1}，則a_i＋a_{i+1}＋a_{i+2}＝－2^{i－1}(1＋2＋4)＝－7·2^{i－1}，a_{i+3}＝－2^{i+2}＝－8·2^{i－1}，滿足－7·2^{i－1}<－8·2^{i－1}。此時(shí)S＝－(2?－1)?？勺C此為最大：若某a_i>－2^{i－1}，則后續(xù)項(xiàng)需更小，總和更小。故M_n＝－(2?－1)。6.（解答，25分）設(shè)p為素?cái)?shù)，求所有整數(shù)k，使得對(duì)任意整數(shù)a，同余式x3＋ax＋k≡0(modp)都有解。【解】令f(x)=x3＋ax＋k。要求f(x)≡0總有解，即f不是模p的置換多項(xiàng)式。當(dāng)p=2時(shí)，x3≡x，故x3＋ax＋k≡x＋ax＋k≡(1＋a)x＋k，總有解當(dāng)且僅當(dāng)1＋a不恒0，即k任意。當(dāng)p=3時(shí)，x3≡x，同上，k任意。當(dāng)p≡2(mod3)時(shí)，x?x3為雙射，故f為三次