北京東城55中學(xué)2026屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．為了調(diào)查全國人口的壽命，抽查了11個(gè)?。ㄊ校┑?500名城鎮(zhèn)居民，這2500名城鎮(zhèn)居民的壽命的全體是（）A.總體 B.個(gè)體C.樣本 D.樣本容量2．兩圓x2+y2+4x-4y＝0和x2+y2+2x-12＝0的公共弦所在直線的方程為（）A.x+2y﹣6＝0 B.x﹣3y+5＝0C.x﹣2y+6＝0 D.x+3y﹣8＝03．已知雙曲線方程為，過點(diǎn)的直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則符合題意的直線的條數(shù)共有（）A.4條 B.3條C.2條 D.1條4．已知x＞0、y＞0，且1，若恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A.(1,9) B.(9,1)C.[9,1] D.(∞,1)∪(9,+∞)5．等軸雙曲線漸近線是（）A. B.C. D.6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過x軸上的點(diǎn)P分別向圓和圓引切線，記切線長分別為．則的最小值為（）A.2 B.3C.4 D.57．已知點(diǎn)，是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，是的左頂點(diǎn)，點(diǎn)在過且斜率為的直線上，為等腰三角形，且，則的離心率為（）A. B.C. D.8．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，則（）A. B.C.1025 D.20499．已知空間三點(diǎn)，，在一條直線上，則實(shí)數(shù)的值是（）A.2 B.4C.-4 D.-210．某公司有320名員工，將這些員工編號(hào)為1，2，3，…，320，從這些員工中使用系統(tǒng)抽樣的方法抽取20人進(jìn)行“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”的問卷調(diào)查，若54號(hào)被抽到，則下面被抽到的是（）A.72號(hào) B.150號(hào)C.256號(hào) D.300號(hào)11．如圖，兩個(gè)半徑為R的相交大圓，分別內(nèi)含一個(gè)半徑為r的同心小圓，且同心小圓均與另一個(gè)大圓外切.已知時(shí)，在兩相交大圓的區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自兩大圓公共部分的概率為（）A. B.C. D.12．若連續(xù)拋擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為m，n，則點(diǎn)P(m，n)在直線x＋y＝4上的概率是()A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．曲線圍成的圖形的面積為___________.14．在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量，則的值為__________.15．一個(gè)六棱錐的體積為，其底面是邊長為的正六邊形，側(cè)棱長都相等，則該六棱錐的側(cè)面積為.16．如圖，橢圓的左右焦點(diǎn)為，，以為圓心的圓過原點(diǎn)，且與橢圓在第一象限交于點(diǎn)，若過、的直線與圓相切，則直線的斜率______；橢圓的離心率______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）橢圓C：的左右焦點(diǎn)分別為，，P為橢圓C上一點(diǎn).（1）當(dāng)P為橢圓C的上頂點(diǎn)時(shí)，求的余弦值；（2）直線與橢圓C交于A，B，若，求k18．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)在其定義域上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（12分）已知函數(shù)在處的切線與直線平行（1）求值，并求此切線方程；（2）證明：20．（12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為滿足（1）求證：是等比數(shù)列，并求數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）若，數(shù)列的前項(xiàng)和為．求證：21．（12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)f(x)的最小正周期；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)f(x)的值域.22．（10分）已知橢圓C：，斜率為的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)且（1）求橢圓C的離心率；（2）求直線l方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】由樣本的概念即知.【詳解】由題意可知，這2500名城鎮(zhèn)居民的壽命的全體是樣本.2、C【解析】兩圓方程相減得出公共弦所在直線的方程.【詳解】兩圓方程相減得，即x﹣2y+6＝0則公共弦所在直線的方程為x﹣2y+6＝0故選：C3、A【解析】利用雙曲線漸近線的性質(zhì)，結(jié)合一元二次方程根的判別式進(jìn)行求解即可.【詳解】解：雙曲線的漸近線方程為，右頂點(diǎn)為.①直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)；②過點(diǎn)平行于漸近線時(shí)，直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)；③設(shè)過的切線方程為與雙曲線聯(lián)立，可得，由，即，解得，直線的條數(shù)為1.綜上可得，直線的條數(shù)為4.故選：A,.4、B【解析】應(yīng)用基本不等式“1”的代換求的最小值，注意等號(hào)成立條件，再根據(jù)題設(shè)不等式恒成立有，解一元二次不等式求解集即可.【詳解】由題設(shè)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∴要使恒成立，只需，故，∴.故選：B.5、A【解析】對(duì)等軸雙曲線的焦點(diǎn)的位置進(jìn)行分類討論，可得出等軸雙曲線的漸近線方程.【詳解】因?yàn)?，若雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，則等軸雙曲線的漸近線方程為；若雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，則等軸雙曲線的漸近線方程為.綜上所述，等軸雙曲線的漸近線方程為.故選：A.6、D【解析】利用兩點(diǎn)間的距離公式，將切線長的和轉(zhuǎn)化為到兩圓心的距離和，利用三點(diǎn)共線距離最小即可求解.詳解】，圓心，半徑，圓心，半徑設(shè)點(diǎn)P，則，即到與兩點(diǎn)距離之和的最小值，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，的和最小，即的和最小值為.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】設(shè)，先求出點(diǎn)，得，化簡即得解【詳解】由題意可知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，如圖所示，設(shè)，則，∵為等腰三角形，且，∴.過作垂直軸于點(diǎn)，則，∴，，即點(diǎn).∵點(diǎn)在過點(diǎn)且斜率為的直線上，∴，解得，∴.故選：D【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求橢圓的離心率常用的方法有：（1）公式法（求出橢圓的代入離心率的公式即得解）；（2）方程法（通過已知找到關(guān)于離心率的方程解方程即得解）.8、B【解析】根據(jù)題意得，進(jìn)而根據(jù)得數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項(xiàng)為，再根據(jù)等比數(shù)列求和公式求解即可.【詳解】解：因?yàn)閿?shù)列的前n項(xiàng)和為滿足，所以當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，即所以，解得或，因?yàn)椋?所以，，所以當(dāng)時(shí)，，所以，即所以數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項(xiàng)為，所以故選：B9、C【解析】根據(jù)三點(diǎn)在一條直線上，利用向量共線原理，解出實(shí)數(shù)的值.【詳解】解：因?yàn)榭臻g三點(diǎn)，，在一條直線上，所以,故.所以.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查向量共線原理，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣分成20個(gè)小組，每組16人中抽一人，故抽到的序號(hào)相差16的整數(shù)倍，即可求解.【詳解】∵用系統(tǒng)抽樣的方法從320名員工中抽取一個(gè)容量為20的樣本∴，即每隔16人抽取一人∵54號(hào)被抽到∴下面被抽到的是54+16×6=150號(hào)，而其他選項(xiàng)中的數(shù)字不滿足與54相差16的整數(shù)倍，故答案為：B故選：B11、C【解析】設(shè)D為線段AB的中點(diǎn)，求得,在中，可得.進(jìn)而求得兩大圓公共部分的面積為：,利用幾何概型計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】如圖，設(shè)D為線段AB的中點(diǎn)，,在中，.兩大圓公共部分的面積為：,則該點(diǎn)取自兩大圓公共部分的概率為.故選：C.12、D【解析】利用分布計(jì)數(shù)原理求出所有的基本事件個(gè)數(shù)，在求出點(diǎn)落在直線x+y=4上包含的基本事件個(gè)數(shù)，利用古典概型的概率個(gè)數(shù)求出.解：連續(xù)拋擲兩次骰子出現(xiàn)的結(jié)果共有6×6=36，其中每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的機(jī)會(huì)都是等可能的，點(diǎn)P（m，n）在直線x+y=4上包含的結(jié)果有（1，3），（2，2），（3，1）共三個(gè)，所以點(diǎn)P（m，n）在直線x+y=4上的概率是3:36=1:12,故選D考點(diǎn)：古典概型點(diǎn)評(píng):本題考查先判斷出各個(gè)結(jié)果是等可能事件，再利用古典概型的概率公式求概率，屬于基礎(chǔ)題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】曲線圍成圖形關(guān)于軸，軸對(duì)稱，故只需要求出第一象限的面積即可.【詳解】將或代入方程，方程不發(fā)生改變，故曲線關(guān)于軸，軸對(duì)稱，因此只需求出第一象限的面積即可.當(dāng)，時(shí)，曲線可化為：，表示的圖形為一個(gè)半圓，圍成的面積為，故曲線圍成的圖形的面積為.故答案：.14、【解析】由題知，進(jìn)而根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算的坐標(biāo)表示求解即可.【詳解】解：因?yàn)橄蛄浚裕怨蚀鸢笧椋?5、【解析】判斷棱錐是正六棱錐，利用體積求出棱錐的高，然后求出斜高，即可求解側(cè)面積∵一個(gè)六棱錐的體積為，其底面是邊長為2的正六邊形，側(cè)棱長都相等，∴棱錐是正六棱錐，設(shè)棱錐的高為h，則棱錐斜高為該六棱錐的側(cè)面積為考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積16、①.②.【解析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求得，由此求得，結(jié)合橢圓的定義求得離心率.【詳解】連接，由于是圓的切線，所以.在中，，所以，所以，所以直線的斜率.，根據(jù)橢圓的定義可知.故答案為：；【點(diǎn)睛】本小題主要考查橢圓的定義、橢圓的離心率，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）利用余弦定理可求頂角的余弦值.（2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消元后利用韋達(dá)定理結(jié)合弦長公式可求的值.【小問1詳解】當(dāng)為橢圓的上頂點(diǎn)時(shí)，，在中，由余弦定理知.【小問2詳解】設(shè)，，將直線與橢圓:聯(lián)立得：，因?yàn)橹本€過焦點(diǎn)，故恒成立，又，由弦長公式得，化簡整理得：，解得.18、（1）在、上遞增，在上遞減；（2）.【解析】【小問1詳解】由題設(shè)，且定義域?yàn)?，則，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在、上遞增，在上遞減.【小問2詳解】由題設(shè)，在上恒成立，所以在上恒成立，當(dāng)時(shí)，滿足題設(shè)；當(dāng)時(shí)，，可得.綜上，.19、（1）；；（2）證明見解析.【解析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義可知，解方程求得，進(jìn)而得到切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，由，知不等式成立；當(dāng)時(shí)，令，利用導(dǎo)數(shù)可求得在上單調(diào)遞增，從而得到，由此可得結(jié)論.【小問1詳解】，，在處的切線與直線平行，即切線斜率為，，解得：，，，所求切線方程為：，即；【小問2詳解】要證，即證；①當(dāng)時(shí)，，，，即，；②當(dāng)時(shí)，令，，，當(dāng)時(shí)，，，，，即，在上單調(diào)遞增，，在上單調(diào)遞增，，即在上恒成立；綜上所述：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題第二問考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的問題，解題的基本思路是將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值的求解問題；通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的方法可確定恒成立，從而得到所證結(jié)論.20、（1）證明見解析，（2）證明見解析【解析】（1）令可求得的值，令，由可得，兩式作差可得，利用等比數(shù)列的定義可證得結(jié)論成立，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公比，可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求得，利用錯(cuò)位相減法可求得，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性可證得結(jié)論成立.【小問1詳解】證明：當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，由可得，上述兩個(gè)等式作差得，所以，，則，因?yàn)椋瑒t，可得，，，以此類推，可知對(duì)任意的，，所以，，因此，數(shù)列是等比數(shù)列，且首項(xiàng)為，公比為，所以，，解得.【小問2詳解】證明：，則，其中，所以，數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，則，，，上式下式，得，所以，，因此，.