壓軸題型07立體幾何解答題罕見壓軸難題命題猜測空間向量是將空間幾何問題坐標(biāo)化的工具，是?？嫉闹攸c，立體幾何解答題的基本模式是論證推理與計算相結(jié)合，以某個空間幾何體為依托，分步設(shè)問，逐層加深．解決這類題目的原則是建系求點、坐標(biāo)運算、幾何結(jié)論．作為求解空間角的有力工具，通常在解答題中進行考查，屬于中等難度．高頻考法（1）格外規(guī)空間幾何體為載體（2）立體幾何探究性問題（3）立體幾何折疊問題（4）利用傳統(tǒng)方法找?guī)缀侮P(guān)系建系01格外規(guī)空間幾何體為載體找清楚幾何關(guān)系再用空間向量法解決.【典例1-1】（2025·高三·江蘇淮安·期中）如圖，是半球的直徑，是底面半圓弧上的兩個三等分點，是半球面上一點，且．

(1)證明：平面：(2)若點在底面圓內(nèi)的射影恰在上，求直線與平面所成角的正弦值．【典例1-2】（2025·四川瀘州·一模）如圖，四棱錐的底面是正方形，且平面平面．，分別是，的中點，經(jīng)過，，三點的平面與棱交于點，平面平面，直線與直線交于點．

(1)求的值；(2)若，求多面體的體積．【變式1-1】（2025·高三·全國·專題練習(xí)）很多次借著你的光，看到未曾見過的世界：國慶七十周年?建黨百年天安門廣場三千人合唱的磅礴震撼，“930烈士紀(jì)念日”向人民英雄敬獻花籃儀式的凝重莊重金帆合唱團，這絕不是一個抽象的名字，而是艱辛與光耀的延展，當(dāng)你想起他，應(yīng)是四季人間，應(yīng)是繁星燦爛！這是開學(xué)典禮中，我校金帆合唱團的頒獎詞，聽后讓人熱血沸騰，讓人心憧憬之.圖1就是金帆排練廳，大家都親切的稱之為“六角樓”，其造型別致，可以理解為一個正六棱柱（圖2）由上底面各棱向內(nèi)切割為正六棱臺（圖3），正六棱柱的側(cè)棱交的延長線于點，經(jīng)測量，且(1)寫出三條正六棱臺的結(jié)構(gòu)特征.(2)“六角樓”一樓為辦公區(qū)域，二樓為金帆排練廳，假設(shè)排練廳地板恰好為六棱柱中截面，忽視墻壁厚度，估算金帆排練廳對應(yīng)幾何體體積.（棱臺體積公式：）(3)“小模糊”站在“六角樓”下，沉醉在歌聲里.“大聰慧”走過來說：“數(shù)學(xué)是理性的音樂，音樂是感性的數(shù)學(xué).學(xué)好數(shù)學(xué)方能更好的觀賞音樂，比如咱們剛剛聽到的一個復(fù)合音就可以表示為函數(shù)，你看這多奇特!”“小模糊”：“.....”友愛的同學(xué)們，快來幫“小模糊”求一下的最大值吧.02立體幾何探究性問題（1）解決探究性問題的基本方法是假設(shè)結(jié)論成立或?qū)ο蟠嬖?，然后在這個前提下進行規(guī)律推理，若能推導(dǎo)出與條件吻合的數(shù)據(jù)或事實，則說明假設(shè)成立，即存在，并可進一步證明；否則不成立，即不存在．（2）在棱上探尋一點滿足各種條件時，要明確思路，設(shè)點坐標(biāo)，應(yīng)用共線向量定理，利用向量相等，所求點坐標(biāo)用表示，再依據(jù)條件代入，留意的范圍．（3）利用空間向量的坐標(biāo)運算，可將空間中的探究性問題轉(zhuǎn)化為方程是否有解的問題進行處理．【典例2-1】（2025·高三·山東·階段練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，，側(cè)面是正方形，且平面平面．

(1)求證：；(2)當(dāng)AC與平面所成的角為，在線段上是否存在點E，使平面ABE與平面BCE的夾角為?說明理由．【典例2-2】（2025·高三·北京海淀·階段練習(xí)）已知點是邊長為2的菱形所在平面外一點，且點在底面上的射影是與的交點，已知，是等邊三角形.(1)求證：；(2)求點到平面的距離；(3)若點是線段上的動點，問：點在何處時，直線與平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，并求出取得最大值時線段的長.【變式2-1】（2025·高三·安徽六安·階段練習(xí)）如圖，在三棱柱中，四邊形為正方形，四邊形為菱形，且，平面平面，點為棱的中點.(1)求證：；(2)棱（除兩端點外）上是否存在點，使得二面角的余弦值為，若存在，懇求出的值；若不存在，請說明理由.03立體幾何折疊問題立體幾何中的折疊問題是歷年高考命題的一大熱點與難點，主要包括兩個方面：一是平面圖形的折疊問題，多涉及到空間中的線面關(guān)系、體積的求解以及空間角、距離的求解等問題；二是幾何體的表面開放問題，主要涉及到幾何體的表面積以及幾何體表面上的最短距離等.【典例3-1】（2025·山東濰坊·模擬猜測）如圖，三棱錐的平面開放圖中，，，，，為的中點．(1)在三棱錐中，證明：；(2)求平面與平面夾角的余弦值．【典例3-2】（2025·高三·上海·階段練習(xí)）如圖，正方形中，邊長為4，為中點，是邊上的動點．將沿翻折到，沿翻折到，(1)求證：平面平面；(2)設(shè)面面，求證：；(3)若，連接，設(shè)直線與平面所成角為，求的最大值．【變式3-1】（2025·湖北·模擬猜測）如圖，在梯形中，，，.將沿對角線折到的位置，點P在平面內(nèi)的射影H恰好落在直線上.(1)求二面角的正切值；(2)點F為棱上一點，滿足，在棱上是否存在一點Q，使得直線與平面所成的角為?若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.04利用傳統(tǒng)方法找?guī)缀侮P(guān)系建系用綜合法求空間角的基本數(shù)學(xué)思想主要是轉(zhuǎn)化與化歸，即把空間角轉(zhuǎn)化為平面角，進而轉(zhuǎn)化為三角形的內(nèi)角，然后通過解三角形求得．求解的一般步驟為：（1）作圖：作出空間角的平面角．（2）證明：證明所給圖形是符合題設(shè)要求的．（3）計算：在證明的基礎(chǔ)上計算得出結(jié)果．簡稱：一作、二證、三算．【典例4-1】（2025·高三·廣東·期末）如圖，在棱長為的正方體中，點是正方體的中心，將四棱錐繞直線逆時針旋轉(zhuǎn)后，得到四棱錐.(1)若，求證：平面平面；(2)是否存在，使得直線平面，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【典例4-2】（2025·高三·云南大理·期末）如圖，已知在四棱錐中，底面是菱形，且底面分別是棱的中點．(1)求平面與平面所成二面角的余弦值；(2)求平面截四棱錐所得的截面與交于點，求的值．【變式4-1】（2025·高三·上?！て谀┌训酌鏋闄E圓且母線與底面垂直的柱體稱為“橢圓柱”．如圖，橢圓柱中底面長軸，短軸長為下底面橢圓的左右焦點，為上底面橢圓的右焦點，為上的動點，為上的動點，為過點的下底面的一條動弦（不與重合）．(1)求證：當(dāng)為的中點時，平面(2)若點是下底面橢圓上的動點，是點在上底面的投影，且與下底面所成的角分別為，試求出的取值范圍．(3)求三棱錐的體積的最大值．1．如圖，四周體中，．

(1)求證：平面平面；(2)若，①若直線與平面所成角為30°，求的值；②若平面為垂足，直線與平面的交點為．當(dāng)三棱錐體積最大時，求的值．2．如圖，四棱錐中，二面角的大小為，，，是的中點.

(1)求證：平面平面；(2)若直線與底面所成的角為，求二面角的余弦值.3．如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面與底面所成的角為，為的中點．(1)求證：平面；(2)若為的內(nèi)心，求直線與平面所成角的正弦值．4．如圖1，已知在正方形中，，，，分別是邊，，的中點，現(xiàn)將矩形沿翻折至矩形的位置，使平面平面，如圖2所示．(1)證明：平面平面；(2)設(shè)是線段上一點，且二面角的余弦值為，求的值．5．如圖，已知四棱臺的上、下底面分別是邊長為2和4的正方形，平面⊥平面ABCD，，點P是棱的中點，點Q在棱BC上．

(1)若，證明：平面；(2)若二面角的正弦值為，求BQ的長．6．已知橢圓的左、右焦點分別為，離心率為，過點的動直線交于A，B兩點，點在軸上方，且不與軸垂直，的周長為，直線與交于另一點，直線與交于另一點，點為橢圓的下頂點，如圖①.(1)當(dāng)點為橢圓的上頂點時，將平面xOy沿軸折疊如圖②，使平面平面，求異面直線與所成角的余弦值；(2)若過作，垂足為.（i）證明:直線過定點；（ii）求的最大值.7．如圖，已知四邊形是矩形，平面，且，M?N是線段?上的點，滿足.(1)若，求證：直線平面；(2)是否存在實數(shù)，使直線同時垂直于直線，直線？假如有懇求出的值，否則請說明理由；(3)若，求直線與直線所成最大角的余弦值.8．如圖，是半球的直徑，，是底面半圓弧上的兩個三等分點，是半球面上一點，且.

(1)求四邊形的面積；(2)證明：平面；(3)若點在底面圓內(nèi)的射影恰在上，求直線與平面所成角的正弦值.9．如圖，在幾何體中，平面平面，四邊形為正方形，四邊形為平行四邊形，四邊形為菱形，為棱的中點，點在棱上，平面.

(1)證明平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值.10．如圖1，在梯形中，，是線段上的一點，，，將沿翻折到的位置.(1)如圖2，若二面角為直二面角，，分別是，的中點，若直線與平面所成角為，，求平面與平面所成銳二面角的余弦值的取值范圍；(2)我們把和兩條異面直線都垂直相交的直線叫做兩條異面直線的公垂線，點為線段的中點，，分別在線段，上（不包含端點），且為，的公垂線，如圖3所示，記四周體的內(nèi)切球半徑為，證明：.11．如圖，已知直角的直角邊，，點是從左到右的四等分點（非中點）.已知橢圓所在的平面垂直平面，且其左右頂點為，左右焦點為，點在上.

(1)求三棱錐體積的最大值；(2)證明：二面角的大小小于.12．如圖所示，已知在四棱柱中，全部的棱長均為2，側(cè)面底面為的中點，為棱上的動點（含端點），過三點的截面記為平面.

(1)是否存在點使得底面？請說明理由；(2)當(dāng)平面與平面所成二面角的余弦值為時，試求平面截得四棱柱兩部分幾何體的體積之比（體積小的部分作比值的分子）.13．如圖，四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，，已知為棱的中點，在底面的投影為線段的中點，是棱上一點.

(1)若，求證：平面；(2)若，確定點的位置，并求二面角的余弦值.14．如圖，四周體中，，，，為的中點．

(1)證明：平面平面；(2)設(shè)，，點在上；①點為中點，求與所成角的余弦值；②當(dāng)?shù)拿娣e最小時，求與平面所成的角的正弦值．15．如圖，在三棱柱中，平面平面，點為的中點，點在線段上，且.(1)求平面與平面的夾角的余弦值；(2)點在上，若直線在平面內(nèi)，求線段的長.16．如圖，正方體的棱長為2，在正方形的內(nèi)切圓上任取一點，在正方形的內(nèi)切圓上任取一點，在正方形的內(nèi)切圓上任取一點．(1)若分別是棱的中點，，求棱和平面所成角的余弦值；(2)求的最小值與最大值．17．如圖，在三棱臺中，在邊上，平面平面，，，，，．(1)證明：；(2)若且的面積為，求與平面所成角的正弦值．18．在如圖所示的幾何體中，平面平面，記為中點，平面與平面的交線為．(1)求證：平面；(2)若三棱錐的體積與幾何體的體積滿足關(guān)系為上一點，求當(dāng)最大時，直線與平面所成角的正弦值的最大值．19．如圖，四邊形為矩形，≌，且二面角為直二面角．(1)求證：平面平面；(2)設(shè)是的中點，，二面角的平面角的大小為，當(dāng)時，求的取值范圍．20．如圖，在四棱錐中，為的中點，且滿足平面，

(1)證明：；(2)若平面，點在四棱錐的底面內(nèi)，且在以為焦點，并滿足的橢圓弧上.若二面角的余弦值為，求直線與平面所成角的正切值.21．如圖，在直三棱柱中，，，垂直于平面．點，，分別為邊，，上的動點（不包括頂點），且滿足．(1)求三棱錐的體積的最大值；(2)記平面與平面所成的銳二面角為，當(dāng)最小時，求的值，并說明點所處的位置．22．如圖所示，四邊形為正方形，四邊形，為兩個全等的等腰梯形，，，，．

(1)當(dāng)點為線段的中點時，求證：；(2)當(dāng)點在線段上時（包含端點），求平面和平面的夾角的余弦值的取值范圍．23．如圖，在四棱錐中，平面，，底面為直角梯形，，，，是的中點，點，分別在線段與上，且，．(1)當(dāng)時，求平面與平面的夾角大?。?2)若平面，求的最小值．24．如圖，四棱錐中，平面，四邊形是直角梯形，其中，．．(1)求異面直線與所成角的大?。?2)若平面