2025-2026學年度高二年級第一學期期末考試數(shù)學本試卷共4頁，19小題，滿分150分，考試時長120分鐘．注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.在數(shù)列中，，則（）A. B. C. D.2.已知直線的方程為，則的傾斜角為（）A. B.60° C.120° D.150°3.三棱錐的所有棱長都為分別是的中點，則（）A.-1 B.1 C.-2 D.24.橢圓的左、右焦點分別為，經(jīng)過的直線交橢圓于兩點，若的周長為，則該橢圓的離心率為（）A. B. C. D.5.在正方體中，為棱中點，，則（）A. B. C. D.6.已知圓經(jīng)過、兩點，圓心在直線上，則圓方程為（）A. B.C. D.7.過圓：上的動點作圓的兩條切線，切點分別為，則四邊形周長的最大值為（）A.8 B.16 C. D.8.經(jīng)過拋物線焦點直線與拋物線交于兩點，若，則（）A.3 B.4 C.5 D.6二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知等差數(shù)列的公差為，前項和為，則（）A. B. C. D.10.已知點，動點滿足，設動點的軌跡為，下列說法正確的是（）A.的方程為B.上存在點在直線上C.上存在點到點的距離為8D.與圓的公共弦所在的直線方程為11.在正三棱柱中，，則（）A.直線與所成角的正切值為B.直線與平面所成角的余弦值為C.若為直線上一動點，則的最小值為D.三棱錐的外接球的表面積為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知是平面的一個法向量，直線的一個方向向量為，且，則___________．13.已知斜率為1的直線與拋物線交于兩點，為坐標原點，，則線段的中點坐標為___________．14.已知雙曲線的右焦點為，實軸長為4，漸近線方程為，動點在雙曲線左支上，為圓上一點，則的最小值為___________．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知等差數(shù)列的首項，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前項和．16.已知圓，直線．（1）求的圓心坐標與半徑；（2）求直線被圓截得的弦的長度；（3）過點作圓的切線，求切線所在直線的方程．17.記數(shù)列的前項和為，已知，數(shù)列滿足：．（1）求的通項公式；（2）求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求的通項公式．18.如圖，和所在平面垂直，且．（1）當時，求的值；（2）當時，求點到平面距離；（3）求平面和平面夾角的余弦值．19.已知橢圓經(jīng)過點，離心率為，直線的方程為．（1）求的方程；（2）過的左焦點的直線與交于兩點．（i）求（為坐標原點）面積的最大值；（ii）為上的動點，記直線的斜率之和為，求．2025-2026學年度高二年級第一學期期末考試數(shù)學本試卷共4頁，19小題，滿分150分，考試時長120分鐘．注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.在數(shù)列中，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列遞推公式，先由首項求出，再由求出.【詳解】已知，根據(jù)遞推公式（），當時，；當時，.故選：C.2.已知直線的方程為，則的傾斜角為（）A. B.60° C.120° D.150°【答案】D【解析】【分析】先由方程求出直線的斜率，再求出直線傾斜角即可.【詳解】直線的方程為，，故直線的斜率為，設直線的傾斜角為，則，又，即.故選：D.3.三棱錐的所有棱長都為分別是的中點，則（）A.-1 B.1 C.-2 D.2【答案】A【解析】【分析】三棱錐中，由題意可得任意兩條棱的夾角為60°，又分別是的中點，再根據(jù)數(shù)量積的定義求解．【詳解】分別是的中點，且，即，又三棱錐的所有棱長都為，任意兩條棱的夾角為60°，，故選：A.4.橢圓的左、右焦點分別為，經(jīng)過的直線交橢圓于兩點，若的周長為，則該橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)橢圓的定義求出，即可求出，從而求出離心率.【詳解】由題意及橢圓的定義可知，即，又，，則離心率為.故選：D.5.在正方體中，為棱的中點，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】用、、表示向量、、，利用空間向量基本定理可得出關于、、的方程組，解出這三個未知數(shù)的值，即可得出的值.【詳解】如下圖所示：因為為的中點，所以，又因為，，且，即，顯然、、不共面，所以，解得，故.故選：C.6.已知圓經(jīng)過、兩點，圓心在直線上，則圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】設圓心，根據(jù)結合平面內兩點間的距離公式可得出關于的等式，解出的值，可得出圓心的坐標，進而可求出圓的半徑，即可得出圓的方程.【詳解】根據(jù)題意設圓心，因為圓經(jīng)過、兩點，則，所以，解得，故圓心為，圓的半徑為，故圓的方程為.故選：C.7.過圓：上的動點作圓的兩條切線，切點分別為，則四邊形周長的最大值為（）A.8 B.16 C. D.【答案】B【解析】【分析】由勾股定理表示出切線長以及所求周長，根據(jù)幾何關系可得當共線且按此順序排列時取得最大值，計算求解即可.【詳解】由題意，，四邊形周長為，當共線且按此順序排列時，，則四邊形周長最大值為16，故選：B.8.經(jīng)過拋物線焦點的直線與拋物線交于兩點，若，則（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】【分析】首先根據(jù)焦半徑公式并結合條件，得到點的橫坐標，即可求得弦長.【詳解】由題意得，拋物線的焦點坐標為，準線方程為，設，，，根據(jù)拋物線的定義可知①，又，，即②，由①②可得，.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知等差數(shù)列的公差為，前項和為，則（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)條件列方程組求出首項和公差，再結合等差數(shù)列的通項公式和求和公式逐一求解.【詳解】由可得，，故A正確；，故B錯誤；，故C正確；因為，所以，故D正確.故選：ACD10.已知點，動點滿足，設動點軌跡為，下列說法正確的是（）A.的方程為B.上存在點在直線上C.上存在點到點的距離為8D.與圓的公共弦所在的直線方程為【答案】AD【解析】【分析】對A，設，由坐標化化簡得解；對B，求出圓心到直線的距離與半徑比較得解；對C，求出圓心到點的距離分析判斷；對D，將兩圓方程相減得解.【詳解】對于A，設，由，則，化簡得，所以點的軌跡的方程為，故A正確；對于B，由的方程為，圓心到直線的距離，所以直線和圓相離，即上不存在點在直線上，故B錯誤；對于C，設圓的圓心為，半徑，則圓心到點的距離為，所以圓上點到點的距離滿足，即，故上不存在點到點的距離為8，故C錯誤；對于D，由，得，所以與圓的公共弦所在的直線方程為，故D正確.故選：AD.11.在正三棱柱中，，則（）A.直線與所成角的正切值為B.直線與平面所成角的余弦值為C.若為直線上一動點，則最小值為D.三棱錐的外接球的表面積為【答案】ACD【解析】【分析】對于A，可通過平移直線找到角，再利用三角函數(shù)求解；對于B，可通過建立空間直角坐標系，利用向量法求解；對于C，可通過向量法求解；對于D，可通過確定球心位置，利用勾股定理求出半徑，進而求出表面積.【詳解】選項A，如圖取中點，連接，因為是正三角形，所以，又正三棱柱中平面平面，平面平面，平面，所以平面，因為，所以就是直線與所成的角，在正中，，則，，，，，取中點，連接，則，，，所以選項A正確；選項B，如圖以為原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系，則，，設平面的法向量為，則，令，則，所以，設直線與平面所成角為，則，，所以選項B錯誤；選項C，，設，則，，當時，取得最小值，所以選項C正確；選項D，設的外接圓半徑為，由正弦定理，得，設三棱錐的外接球半徑為，球心為到平面的距離為，則，所以外接球的表面積，所以選項D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知是平面的一個法向量，直線的一個方向向量為，且，則___________．【答案】2【解析】【分析】根據(jù)平面法向量性質，結合空間向量平行的性質的坐標運算進行求解即可.【詳解】，直線的一個方向向量與平面的一個法向量垂直，，解得.故答案為：.13.已知斜率為1的直線與拋物線交于兩點，為坐標原點，，則線段的中點坐標為___________．【答案】【解析】【分析】設直線方程，聯(lián)立直線和拋物線方程，利用韋達定理、向量垂直的條件求出直線方程，進而求出線段的中點坐標.【詳解】斜率為1的直線，設直線的方程為，，聯(lián)立，即，，又，，，則，又，，即，解得或，當時，直線過原點，則點不能構成三角形，故，，設線段的中點坐標為，則，則線段的中點坐標為.故答案為：.14.已知雙曲線的右焦點為，實軸長為4，漸近線方程為，動點在雙曲線左支上，為圓上一點，則的最小值為___________．【答案】6【解析】【分析】利用已知條件先求出雙曲線方程，再利用雙曲線定義把轉化到，然后再利用到圓上的動點距離轉化到圓心的距離，最后易得距離之和的最小值.【詳解】雙曲線的實軸長為4，得，即，由漸近線方程為，得，即，雙曲線方程為，，雙曲線的右焦點為，左焦點為，由雙曲線的定義得，為圓上一點，圓心，半徑，，即，而，的最小值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知等差數(shù)列的首項，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前項和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的下標性質和等差數(shù)列的通項公式進行求解即可；（2）運用裂項相消法進行求解即可.【小問1詳解】因為數(shù)列等差數(shù)列，所以由，又因為，所以公差，所以.【小問2詳解】由（1）得所以.16.已知圓，直線．（1）求的圓心坐標與半徑；（2）求直線被圓截得的弦的長度；（3）過點作圓的切線，求切線所在直線的方程．【答案】（1）圓心坐標為，半徑為4.（2）（3）或【解析】【分析】（1）通過配方法將圓的一般方程轉化為標準方程，進而得到圓心坐標和半徑；（2）先求出圓心到直線的距離，再利用勾股定理即可求出弦長；（3）分切線斜率存在和不存在兩種情況進行討論，當斜率存在時，利用圓心到切線的距離等于半徑求出斜率，進而得到切線方程.【小問1詳解】圓，所以的圓心坐標為，半徑為.【小問2詳解】圓心到直線的距離，所以.【小問3詳解】，故點在圓外，當切線的斜率不存在時，過點的方程為，此時的圓心坐標為到直線的距離為，故直線不是圓的切線；當切線的斜率存在．設切線所在直線的方程為，即，則圓心到直線的距離，整理得，解得或，所以切線所在直線的方程為或.17.記數(shù)列的前項和為，已知，數(shù)列滿足：．（1）求的通項公式；（2）求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求的通項公式．【答案】（1）（2）證明見解析，【解析】【分析】（1）利用的關系即可求出；（2）利用等差數(shù)列的定義即可證明數(shù)列為等差數(shù)列，進而求出的通項公式.【小問1詳解】當時，，當時，，當時，成立，綜上，.【小問2詳解】因為，等式兩邊同時除以，可得，又，，所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，，即.故的通項公式為.18.如圖，和所在的平面垂直，且．（1）當時，求的值；（2）當時，求點到平面的距離；（3）求平面和平面夾角的余弦值．【答案】（1）（2）（3）.【解析】【分析】（1）利用面面垂直性質定理證明線面垂直，建立空間直角坐標系，求直線和直線的方向向量，利用向量方法證明結論.（2）求出平面的法向量，利用點到平面距離公式求解即可.（3）分別求出平面和平面的法向量，然后利用平面夾角公式求解即可.【小問1詳解】如圖，在平面內，過點作交于點；在平面內，過點作交于點．因為平面平面，平面平面，平面，所以平面.以為坐標原點，分別以所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，則，由可得，解得.【小問2詳解】設平面的法向量為．當時，，則即取.所以點到平面的距離.【小問3詳解】由(2)可知平面的一個法向量為，與的值無關.平面的一個法向量為.所以平面和平面的夾角的余弦值為.19.已知橢圓經(jīng)過點，離心率為，直線的方程為．（1）求的方程；（2）過的