2025學(xué)年第一學(xué)期高二數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量調(diào)研試卷（考試時間90分鐘，本卷滿分100分）一、填空題（本大題共12小題，每小題3分，共36分．答案填在答題紙相應(yīng)位置）．1.用適當(dāng)?shù)姆柼羁眨喝鐖D，已知長方體，則直線______平面．2.若圓柱的底面半徑是1，母線長為2，則這個圓柱的體積是___________.3.在元旦迎新會時，某班級將40名學(xué)生的姓名寫成紙條放進(jìn)抽獎箱，混合均勻后抽取5名學(xué)生進(jìn)行獎勵，則學(xué)生A被抽到獲獎的概率為______．4.若一個球的表面積是，則這個球的體積是______．5.已知直線，，若，則實數(shù)a的值為___________.6.如圖是一個正方體的平面展開圖，在該正方體中，線段、所在的直線中，與直線異面的是______．7.命題：“若空間中的三條直線、、兩兩相交，則直線、、在同一平面上．”是______命題（填“真”或“假”）．8.已知平面和平面外一點(diǎn)，則下列說法中，正確的是______．（寫出所有判斷正確的序號）①過點(diǎn)有且只有一條直線與平面垂直；②過點(diǎn)有且只有一個平面與平面垂直；③過點(diǎn)有且只有一條直線與平面平行；④過點(diǎn)有且只有一個平面與平面平行．9.已知直線，直線經(jīng)過點(diǎn)，且與直線的夾角是，則直線的方程是______．10.甲、乙兩人罰球時，“甲命中”與“乙命中”相互獨(dú)立，已知甲罰球命中的概率是0.6，兩個人中至少有一人罰球命中的概率是0.9，則乙罰球命中的概率是______．11.小明為了解自己每天花在體育鍛煉上的時間（單位：min），連續(xù)記錄了6天數(shù)據(jù)：132，m，128，n，136，126，若該樣本的中位數(shù)和平均數(shù)均為131，則該樣本的標(biāo)準(zhǔn)差是______．12.已知三棱錐中，是等邊三角形，，，與平面所成角的余弦值為，則______．二、選擇題（本大題共4小題，每小題3分，共12分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）．13.已知直線和直線異面，直線，，平面，平面，則直線與平面的位置關(guān)系是（）A.平行； B.垂直； C.斜交； D.不確定．14.某營養(yǎng)學(xué)研究人員用隨機(jī)抽樣的方法獲得了A高校部分大學(xué)生平均每日攝取的熱量（單位：千大卡，1千大卡＝1000千卡），其頻率分布直方圖如右圖所示，已知每日攝取熱量在內(nèi)的人數(shù)是10人，則①樣本量為100人；②圖中的值為2；③估計該校大學(xué)生每日平均攝取熱量約1.74千大卡；以上說法中，正確的個數(shù)是（）A3個； B.2個； C.1個； D.0個．15.關(guān)于棱柱的說法中不正確的是（）A.有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形且相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，這些面所圍成的多面體是棱柱；B.由一個平面多邊形（包含多邊形內(nèi)部）沿某一方向平移形成的空間圖形叫做棱柱；C.有兩個面是互相平行且全等的平面多邊形，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱；D.有兩個面是互相平行且全等的平面多邊形，其余不在這兩個面上的棱都相互平行的多面體是棱柱．16.在棱長為2的正方體中，、、分別是棱、、的中點(diǎn)，點(diǎn)是正方體表面上的任意一點(diǎn)，且直線與平面無交點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡長度是（）A.； B.； C.； D.．三、解答題（本大題共5小題，共52分．解答要寫出文字說明、證明過程或演算步驟）．17.某果園種植了三個品種蘋果樹，共計500棵，其中品種250棵，品種150棵，品種100棵，采用分層抽樣的方法抽取10棵果樹，估計蘋果產(chǎn)量．（1）應(yīng)抽取品種蘋果樹多少棵？（2）若測得所抽取的10棵果樹的產(chǎn)量（單位：kg）分別為25、25、28、32、20、26、30、26、31、30，在圖中畫出10棵果樹產(chǎn)量分布的莖葉圖，并用經(jīng)驗概率估計果樹產(chǎn)量不小于30kg的概率．18.已知四棱錐中，底面是正方形，平面，且，點(diǎn)、分別是、中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)．（1）求直線和所成角大?。唬?）確定點(diǎn)的位置，使平面平面，并證明．19.甲和乙兩人進(jìn)行象棋比賽，假設(shè)每局比賽的結(jié)果互不影響，且設(shè)甲贏的概率為．（1）若兩人采用“三局兩勝”（先贏得兩局者為勝，最多三局結(jié)束比賽）比賽模式，最終勝者會獲得100元獎金，且．第一局比賽甲勝后，因突發(fā)事件比賽終止，問：怎樣分配100元獎金才公平？（2）若，比賽模式可在“一局定勝負(fù)”或“三局兩勝”中選擇一種，問：哪種比賽模式對甲有利？為什么？20.已知直角坐標(biāo)系中，三個不同的點(diǎn)，，．（1）過點(diǎn)的直線與線段相交，求直線的傾斜角的取值范圍；（2）若從點(diǎn)發(fā)出的光線，由直線上的點(diǎn)反射后，經(jīng)過點(diǎn)射出，求點(diǎn)的坐標(biāo)．21.如圖，等腰直角三角形中，，．（1）點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)（不與重合），將三角形沿逆時針翻折，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)是，設(shè)二面角的大小為；①若點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，求四棱錐的體積；②是否存在點(diǎn)和，使得，若存在，請指出點(diǎn)的位置和的大小，若不存在，請說明理由；（2）四個面都是直角三角形的四面體稱為“鱉臑”，空間中取一點(diǎn)，使得、、、四點(diǎn)可組成“鱉臑”，且該四面體的體積為，求的長（直接寫出答案即可）．2025學(xué)年第一學(xué)期高二數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量調(diào)研試卷（考試時間90分鐘，本卷滿分100分）一、填空題（本大題共12小題，每小題3分，共36分．答案填在答題紙相應(yīng)位置）．1.用適當(dāng)?shù)姆柼羁眨喝鐖D，已知長方體，則直線______平面．【答案】【解析】【分析】根據(jù)線面的位置關(guān)系解答即可.【詳解】因為直線在平面內(nèi)，所以直線平面.故答案為：2.若圓柱的底面半徑是1，母線長為2，則這個圓柱的體積是___________.【答案】【解析】【分析】直接根據(jù)圓柱的體積公式計算即可得出答案.【詳解】解：圓柱的母線長即為圓柱的高，則這個圓柱的體積.故答案為：3.在元旦迎新會時，某班級將40名學(xué)生的姓名寫成紙條放進(jìn)抽獎箱，混合均勻后抽取5名學(xué)生進(jìn)行獎勵，則學(xué)生A被抽到獲獎的概率為______．【答案】##【解析】【分析】利用簡單隨機(jī)抽樣的概念計算即可.【詳解】由題意可知每個學(xué)生被抽取的概率為.故答案為：4.若一個球的表面積是，則這個球的體積是______．【答案】##【解析】【分析】由球的表面積公式先求出球的半徑，即可求出球的體積.【詳解】設(shè)球半徑為，則，解得（舍去），所以這個球的體積.故答案為：5.已知直線，，若，則實數(shù)a的值為___________.【答案】或【解析】【分析】根據(jù)可求出結(jié)果.【詳解】因為，所以，解得或，故答案為：或.6.如圖是一個正方體的平面展開圖，在該正方體中，線段、所在的直線中，與直線異面的是______．【答案】【解析】【分析】還原正方體并確定各線所在位置，進(jìn)而判斷直線的位置關(guān)系．【詳解】展開圖還原后與重合，則與交于點(diǎn)，即與共面，平面，平面，故與直線異面的是直線．故答案為：．7.命題：“若空間中的三條直線、、兩兩相交，則直線、、在同一平面上．”是______命題（填“真”或“假”）．【答案】假【解析】【分析】利用舉反例的方法判斷命題的真假．【詳解】假設(shè)空間中的三條直線、、為墻角的三條直線，它們兩兩相交于同一點(diǎn)，但直線、、不在同一平面上，故命題為假命題．故答案為：假．8.已知平面和平面外一點(diǎn)，則下列說法中，正確的是______．（寫出所有判斷正確的序號）①過點(diǎn)有且只有一條直線與平面垂直；②過點(diǎn)有且只有一個平面與平面垂直；③過點(diǎn)有且只有一條直線與平面平行；④過點(diǎn)有且只有一個平面與平面平行．【答案】①④【解析】【分析】利用空間中點(diǎn)、線、面位置關(guān)系判定即可.【詳解】由空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系可知：過平面外一點(diǎn)有且僅有一條直線與平面垂直，故①正確；過平面外一點(diǎn)有無數(shù)個平面與平面垂直，故②錯誤；過平面外一點(diǎn)有無數(shù)條直線與平面平行，故③錯誤；過平面外一點(diǎn)有且只有一個平面與平面平行，故④正確；故答案為：①④9.已知直線，直線經(jīng)過點(diǎn)，且與直線的夾角是，則直線的方程是______．【答案】或.【解析】【分析】分類討論結(jié)合直線夾角的定義計算即可.【詳解】設(shè)的傾斜角為，易知的斜率為，與的夾角正切值為，所以或，所以直線的方程為或.故答案為：或.10.甲、乙兩人罰球時，“甲命中”與“乙命中”相互獨(dú)立，已知甲罰球命中的概率是0.6，兩個人中至少有一人罰球命中的概率是0.9，則乙罰球命中的概率是______．【答案】##【解析】【分析】利用獨(dú)立事件概率的乘法公式計算即可.【詳解】設(shè)乙罰球命中的概率為p，則.故答案為：11.小明為了解自己每天花在體育鍛煉上的時間（單位：min），連續(xù)記錄了6天數(shù)據(jù)：132，m，128，n，136，126，若該樣本的中位數(shù)和平均數(shù)均為131，則該樣本的標(biāo)準(zhǔn)差是______．【答案】【解析】【分析】利用中位數(shù)與平均數(shù)的概念先確定，再根據(jù)方差與標(biāo)準(zhǔn)差的算法計算即可.【詳解】由題意可知，所以，將已知數(shù)據(jù)排序有，該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為第3個和第4個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，所以第3個和第4個數(shù)據(jù)的和為262，不妨設(shè)，則第3個和第4個數(shù)據(jù)應(yīng)為，則，經(jīng)驗證符合題意，則該組數(shù)據(jù)的方差為，所以標(biāo)準(zhǔn)差為.故答案為：12.已知三棱錐中，是等邊三角形，，，與平面所成角的余弦值為，則______．【答案】3【解析】【分析】利用四面體的幾何性質(zhì)，結(jié)合等邊、等腰三角形的性質(zhì)，利用勾股定理計算相關(guān)邊長，進(jìn)而求解．【詳解】作的中點(diǎn)，連接，，是等邊三角形，，即為與平面所成角，作為在平面內(nèi)的投影，則在上，，，，，，，在直角中，，．故答案為：3．二、選擇題（本大題共4小題，每小題3分，共12分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）．13.已知直線和直線異面，直線，，平面，平面，則直線與平面的位置關(guān)系是（）A.平行； B.垂直； C.斜交； D.不確定．【答案】B【解析】【分析】把線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行，再利用線面垂直判定定理判斷直線與平面的位置關(guān)系．【詳解】平面，平面，直線和直線異面，在平面內(nèi)可找到兩條相交直線，使得，直線，，，是平面內(nèi)的兩條相交直線，平面，故B正確．故選：B．14.某營養(yǎng)學(xué)研究人員用隨機(jī)抽樣的方法獲得了A高校部分大學(xué)生平均每日攝取的熱量（單位：千大卡，1千大卡＝1000千卡），其頻率分布直方圖如右圖所示，已知每日攝取熱量在內(nèi)的人數(shù)是10人，則①樣本量為100人；②圖中的值為2；③估計該校大學(xué)生每日平均攝取熱量約為1.74千大卡；以上說法中，正確的個數(shù)是（）A.3個； B.2個； C.1個； D.0個．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)及平均數(shù)的算法計算即可.【詳解】由頻率分布直方圖可知在區(qū)間內(nèi)的頻率為，則樣本量為，所以①正確；由頻率分布直方圖可知，所以②正確；則該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，所以③正確.故選：A15.關(guān)于棱柱的說法中不正確的是（）A.有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形且相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，這些面所圍成的多面體是棱柱；B.由一個平面多邊形（包含多邊形內(nèi)部）沿某一方向平移形成的空間圖形叫做棱柱；C.有兩個面是互相平行且全等的平面多邊形，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱；D.有兩個面是互相平行且全等的平面多邊形，其余不在這兩個面上的棱都相互平行的多面體是棱柱．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)棱柱的概念一一分析選項即可.【詳解】對于A，這是棱柱的嚴(yán)格定義，兩個互相平行的面是底面，其余各面為四邊形，且相鄰四邊形的公共邊互相平行，符合棱柱的本質(zhì)特征，故A正確；對于B，這是棱柱的“平移生成”定義，一個平面多邊形沿某一方向平移形成的空間圖形，正是棱柱的形成方式，故B正確；對于C，這個說法錯誤，反例：將兩個全等的平行四邊形按錯位方式拼接，使其余各面雖為平行四邊形，但整體不是棱柱，因為相鄰面的公共邊不滿足“互相平行且方向一致”的要求，故C錯誤；對于D，這個說法是正確的，兩個平行且全等的平面多邊形為底面，其余不在這兩個面上的棱都相互平行，滿足棱柱的判定條件，故D正確.故選：C16.在棱長為2的正方體中，、、分別是棱、、的中點(diǎn)，點(diǎn)是正方體表面上的任意一點(diǎn)，且直線與平面無交點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡長度是（）A.； B.； C.； D.．【答案】D【解析】【分析】利用面面平行判定定理結(jié)合已知條件求出的軌跡，再求出點(diǎn)的軌跡長度．【詳解】、、分別是棱、、的中點(diǎn)，，平面，平面，平面，平面，所以平面，平面，又平面，平面平面，直線與平面無交點(diǎn)，等價于平面，平面，且平面平面，平面時，平面，是正方體表面的點(diǎn)，軌跡為平面與正方體表面的交線，即的三邊，正方體邊長為2，，，，點(diǎn)的軌跡長度為，故D正確．故選：D．三、解答題（本大題共5小題，共52分．解答要寫出文字說明、證明過程或演算步驟）．17.某果園種植了三個品種的蘋果樹，共計500棵，其中品種250棵，品種150棵，品種100棵，采用分層抽樣的方法抽取10棵果樹，估計蘋果產(chǎn)量．（1）應(yīng)抽取品種蘋果樹多少棵？（2）若測得所抽取的10棵果樹的產(chǎn)量（單位：kg）分別為25、25、28、32、20、26、30、26、31、30，在圖中畫出10棵果樹產(chǎn)量分布的莖葉圖，并用經(jīng)驗概率估計果樹產(chǎn)量不小于30kg的概率．【答案】（1）3；（2）作圖見解析；【解析】【分析】（1）根據(jù)分層抽樣的概念計算即可；（2）根據(jù)莖葉圖作法及經(jīng)驗概率計算即可.【小問1詳解】易知，所以抽取品種蘋果樹為棵；【小問2詳解】莖葉圖如下：由圖可知果樹產(chǎn)量不小于30kg的概率為.18.已知四棱錐中，底面是正方形，平面，且，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)．（1）求直線和所成角的大小；（2）確定點(diǎn)的位置，使平面平面，并證明．【答案】（1）（2）中點(diǎn)，證明見解析【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出相應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)及相關(guān)向量坐標(biāo)，利用向量夾角余弦公式求解；（2）利用多面體的幾何性質(zhì)，結(jié)合面面平行判定定理證明結(jié)論．【小問1詳解】已知底面是正方形，平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如下圖所示空間直角坐標(biāo)系，，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，則，，，直線和所成角為．【小問2詳解】為的中點(diǎn)，，，令，則，，當(dāng)時，，為的中點(diǎn)，此時，，；，，，，平面，平面，平面，又，平面，平面平面．19.甲和乙兩人進(jìn)行象棋比賽，假設(shè)每局比賽結(jié)果互不影響，且設(shè)甲贏的概率為．（1）若兩人采用“三局兩勝”（先贏得兩局者為勝，最多三局結(jié)束比賽）比賽模式，最終勝者會獲得100元獎金，且．第一局比賽甲勝后，因突發(fā)事件比賽終止，問：怎樣分配100元獎金才公平？（2）若，比賽模式可在“一局定勝負(fù)”或“三局兩勝”中選擇一種，問：哪種比賽模式對甲有利？為什么？【答案】（1）甲應(yīng)該分得元，乙分得元；（2）“三局兩勝”對甲有利，理由見解析【解析】【分析】（1）分局，局比賽，求出甲獲勝的概率，從而得到最終甲獲勝的概率，根據(jù)甲、乙最終獲勝的概率分錢；（2）分別算出兩種情況的甲獲勝的概率，然后作差比大小，決定最后的有利情況.【小問1詳解】若兩局比完，甲第局獲勝，概率為；若三局比完，甲第局輸，第局贏，概率為；故比完比賽，甲獲勝概率為，則乙獲勝的概率為，因此甲應(yīng)該分得元，乙分得元.【小問2詳解】“三局兩勝”對甲有利，理由如下：“一局定勝負(fù)”甲獲勝的概率是；“三局兩勝”甲連勝兩局或者第三局贏，前兩局贏一次輸一次，則概率為.因為，而且，故，即，即，于是“三局兩勝”更有利.20.已知直角坐標(biāo)系中，三個不同的點(diǎn)，，．（1）過點(diǎn)的直線與線段相交，求直線的傾斜角的取值范圍；（2）若從點(diǎn)發(fā)出的光線，由直線上的點(diǎn)反射后，經(jīng)過點(diǎn)射出，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）;（2）.【解析】【分