初中2024-2025學年廣東省深圳市龍華外國語學校九年級（上）期中數(shù)學試卷一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分。每小題只有一個選項符合題目要求。1．（3分）某積木配件如圖所示，它的左視圖是（）A． B． C． D．2．（3分）如圖，AB∥DE，AE與BD相交于點C，若AB＝2，DE=2，則CE：ACA．1：1 B．1：2 C．2：2 D．3．（3分）解方程x2＝4的結果為（）A．x＝2 B．x＝4 C．x1＝﹣2，x2＝2 D．x1＝﹣4，x2＝44．（3分）下列性質中，矩形具有而菱形不一定具有的是（）A．對角線相等 B．對角線互相平分 C．對角線互相垂直 D．鄰邊相等5．（3分）如圖，點A在反比例函數(shù)y=kx(x＞0)的圖象上，過點A作AB⊥x軸于點BA．y=1x(x＞0) B．y=2x(x＞0)6．（3分）在△ABC中，若∠A，∠B滿足|sinA?32|+(cosB?A．等腰（非等邊）三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．鈍角三角形7．（3分）如圖，正方形ABCD中，點E是對角線AC上的一點，且AE＝AD，連接DE，則∠CDE的度數(shù)為（）A．20° B．22.5° C．25° D．30°8．（3分）關于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍為（）A．m＞94 B．m＜94 C．m=9．（3分）如圖，一次函數(shù)y1＝x+1的圖象與反比例函數(shù)y2=2x的圖象交于A（1，a），B（b，﹣1）兩點，過點A作AC⊥x軸于點C，過點B作BD⊥x軸于點D，連接AO，BO．得出以下結論：①點A和點B關于直線y＝﹣x對稱；②當x＜1時，y2＞y1；③S△AOC＝S△BOD；④當x＞0時，y1，yA．1 B．2 C．3 D．410．（3分）在正方形ABCD中，M是邊CD上一點，滿足BC＝3CM，連接BM交AC于點N，延長BN到點P使得NP＝BN，則DPBNA．53 B．255 C．10二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分。11．（3分）已知xy=32，則12．（3分）寫出一個一元二次方程，它的一個根為﹣2，則這個一元二次方程可以是．13．（3分）如圖，在菱形ABCD中，AB＝10，∠A＝120°，則BD的長為.14．（3分）如圖，平面直角坐標系中，菱形OABC的頂點A在x軸正半軸上，頂點B在反比例函數(shù)y=kx(x?0)的圖象上，頂點C在一次函數(shù)y＝x的圖象上．若菱形OABC的面積為42，則k15．（3分）如圖，四邊形ABCD為矩形，AB=52，BC=3，點E為AB邊上一點，將△BCE沿CE翻折，點B的對應點為點F，過點F作FG∥CE交DC于點G，若DG：GC＝1：4，則FG三、解答題：本大題共7題，其中16題兩小題各4分共8分，17題6分，18題6分，19題8分，20題8分，21題9分，22題10分，共55分。16．（8分）解方程：（1）x2﹣4x＝1；（2）2x（x﹣2）+x﹣2＝0．17．（6分）計算：(?118．（6分）如圖，在正方形網格中，點A，B，C都在格點上，利用格點按要求完成下列作圖．（要求僅用無刻度的直尺，不要求寫畫法，保留必要的作圖痕跡）（1）圖1中，以C為位似中心，位似比為1：2，在格點上將△ABC放大得到△A1B1C1；請畫出△A1B1C1；（2）圖2中，以線段AD為邊畫一個三角形，使它與△ABC相似．（3）圖3中，在線段AB上畫一個點P，使APPB19．（8分）如圖，在?ABCD中，BE⊥AD，DF⊥AB，BE＝DF．（1）求證：四邊形ABCD是菱形；（2）若BE=3，∠C＝60°，求菱形ABCD20．（8分）某商場新建一個三層停車樓，每一層布局如圖所示．已知每層長為40米，寬30米．陰影部分設計為停車位，地面需要噴漆，其余部分是等寬的通道，已知噴漆面積為816平方米．（1）求通道的寬是多少米？（2）據調查分析，當每個車位的月租金為500元時，可以租出10個車位，為了提高收入，公司經理決定，每多租一個車位，相應的每個車位的月租金可以減少10元，當租出多少個車位時，商場的月租金收入為8000元？21．（9分）根據以下素材，完成任務設計貨船通過雙曲線橋的方案素材1一座曲線橋如圖1所示，當水面寬AB＝16米時，橋洞頂部離水面距離CD＝4米．已知橋洞形如雙曲線，圖2是其示意圖，且該橋關于CD對稱．素材2如圖4，一艘貨船露出水面部分的橫截面為矩形EFGH，測得EF＝3米，EH＝9米．因水深足夠，貨船可以根據需要運載貨物．據調查，船身下降的高度h（米）與貨船增加的載重量m（噸）滿足函數(shù)表達式?=1（1）建立平面直角坐標系如圖3所示，顯然，CD落在第一象限的角平分線上．甲說：點C可以在第一象限角平分線的任意位置．乙說：不對吧？當點C落在(42，42)時，OD＝，可得點A的坐標為，此時過點A的雙曲線的函數(shù)表達式為，而點（2）①若設C點坐標為（a，a），求出a的值以及點C所在雙曲線的函數(shù)表達式；②此時貨船能不能通過該橋洞，若能，請說明理由；若不能，至少要增加多少噸貨物（直接寫出答案）．22．（10分）（1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖1，正方形ABCD的對角線相交于點O，在正方形A'B'C'O繞點O旋轉的過程中，邊A'O與邊BC交于點M，邊C'O與邊CD交于點N．證明：△OMC≌△OND；（2）【類比遷移】如圖2，矩形ABCD的對角線相交于點O，且AB＝6，AD＝12．在矩形A'B'C'O，繞點O旋轉的過程中，邊A'O與邊BC交于點M，邊C'O與邊CD交于點N．若DN＝1，求CM的長；（3）【拓展應用】如圖3，四邊形ABCD和四邊形A'B'C'O都是平行四邊形，且∠A'OC'＝∠ADC，AB＝3，BC=35，△BCD是直角三角形．在?A'B'C'O繞點O旋轉的過程中，邊A'O與邊BC交于點M，邊C'O與邊CD交于點N．當?ABCD與?A'B'C'O重疊部分的面積是?ABCD的面積的14時，請直接寫出ON

2024-2025學年廣東省深圳市龍華外國語學校九年級（上）期中數(shù)學試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號12345678910答案CCCADBBBBB一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分。每小題只有一個選項符合題目要求。1．（3分）某積木配件如圖所示，它的左視圖是（）A． B． C． D．【分析】根據從左面看到的圖形是左視圖進行判斷即可．【解答】解：觀察圖形，從左面看到的圖形．故選：C．【點評】本題考查了簡單幾何體的三視圖，掌握三視圖的概念是解答的關鍵．2．（3分）如圖，AB∥DE，AE與BD相交于點C，若AB＝2，DE=2，則CE：ACA．1：1 B．1：2 C．2：2 D．【分析】利用相似三角形的判定與性質解答即可．【解答】解：∵AB∥DE，∴∠A＝∠E，∠B＝∠D，∴△CDE∽△CBA，∴CEAC∵AB＝2，DE=2∴CE：AC=2故選：C．【點評】本題主要考查了相似三角形的判定與性質，平行線的性質，熟練掌握適時進行的判定與性質定理是解題的關鍵．3．（3分）解方程x2＝4的結果為（）A．x＝2 B．x＝4 C．x1＝﹣2，x2＝2 D．x1＝﹣4，x2＝4【分析】兩邊直接開平方即可．【解答】解：∵x2＝4，∴x1＝﹣2，x2＝2，故選：C．【點評】本題主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接開平方法、因式分解法、公式法及配方法，解題的關鍵是根據方程的特點選擇簡便的方法．4．（3分）下列性質中，矩形具有而菱形不一定具有的是（）A．對角線相等 B．對角線互相平分 C．對角線互相垂直 D．鄰邊相等【分析】通過矩形和菱形的性質逐一分析即可．【解答】解：矩形的性質有：①矩形的對邊平行且相等，②矩形的四個角都是直角，③矩形的對角線互相平分且相等；菱形的性質有：①菱形的對邊平行，菱形的四條邊都相等，②菱形的對角相等，③菱形的對角線互相平分且垂直，并且每一條對角線平分一組對角，所以矩形具有而菱形不一定具有的性質是對角線相等，故選：A．【點評】本題考查了矩形和菱形的性質，能熟記矩形的性質和菱形的性質的內容是解此題的關鍵．5．（3分）如圖，點A在反比例函數(shù)y=kx(x＞0)的圖象上，過點A作AB⊥x軸于點BA．y=1x(x＞0) B．y=2x(x＞0)【分析】根據△OAB的面積，借助于k的幾何意義即可解決問題．【解答】解：由題知，因為△OAB的面積為2，且AB⊥x軸，所以12即xAyA＝4．又因為點A在反比例函數(shù)y=k所以k＝xAyA＝4，所以反比例函數(shù)的解析式為y=4故選：D．【點評】本題考查待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式及反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，熟知反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義是解題的關鍵．6．（3分）在△ABC中，若∠A，∠B滿足|sinA?32|+(cosB?A．等腰（非等邊）三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．鈍角三角形【分析】先根據非負數(shù)的性質及特殊教的三角函數(shù)值∠A和∠B，即可作出判斷．【解答】解：根據題意得：sinA?32=0且cos則sinA=32，cosB∴∠A＝60°，∠B＝60°，∴△ABC是等邊三角形．故選：B．【點評】本題考查了：①特殊角的三角函數(shù)值；②非負數(shù)的性質．正確以及特殊角的三角函數(shù)值是關鍵．7．（3分）如圖，正方形ABCD中，點E是對角線AC上的一點，且AE＝AD，連接DE，則∠CDE的度數(shù)為（）A．20° B．22.5° C．25° D．30°【分析】由正方形的性質可得∠DAE、∠ADC的度數(shù)，再由AE＝AD，即可求得∠ADE的度數(shù)，從而可求得∠CDE的度數(shù)．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ADC＝90°，∠DAE＝45°，∵AE＝AD，∴∠ADE=∠AED=1∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣67.5°＝22.5°，故選：B．【點評】本題考查了正方形的性質，等腰三角形的性質，掌握這兩個性質是解題的關鍵．8．（3分）關于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍為（）A．m＞94 B．m＜94 C．m=【分析】根據方程有兩個不等的實數(shù)根，故Δ＞0，得不等式解答即可．【解答】解：由已知得Δ＞0，即（﹣3）2﹣4m＞0，解得m＜9故選：B．【點評】本題考查一元二次方程，解題的關鍵是熟練運用一元二次方程的根的判別式，本題屬于基礎題型．9．（3分）如圖，一次函數(shù)y1＝x+1的圖象與反比例函數(shù)y2=2x的圖象交于A（1，a），B（b，﹣1）兩點，過點A作AC⊥x軸于點C，過點B作BD⊥x軸于點D，連接AO，BO．得出以下結論：①點A和點B關于直線y＝﹣x對稱；②當x＜1時，y2＞y1；③S△AOC＝S△BOD；④當x＞0時，y1，yA．1 B．2 C．3 D．4【分析】求出A，B兩點坐標即可判斷出點A和點B是否關于直線y＝﹣x對稱，利用數(shù)形結合的數(shù)學思想可判斷②的正誤，利用k的幾何意義可判斷出③的正誤，利用數(shù)形結合的數(shù)學思想可判斷④的正誤．【解答】解：將x＝1代入y1＝x+1得，y1＝2，所以點A的坐標為（1，2），同理可得，點B的坐標為（﹣2，﹣1）．由A，B兩點坐標得，直線AB的函數(shù)解析式為y＝x+1．又因為A，B的中點坐標為（?1所以AB的中點在直線y＝﹣x上，且直線AB與直線y＝﹣x垂直，所以點A和點B關于直線y＝﹣x對稱．故①正確．由函數(shù)圖象可知，當x＜﹣2或0＜x＜1時，反比例函數(shù)的圖象在一次函數(shù)圖象的上方，即y2＞y1，所以當x＜﹣2或0＜x＜1時，y2＞y1；故②錯誤．根據反比例函數(shù)k的幾何意義可知，S△AOC故③正確．由函數(shù)圖象可知，當x＞0時，y1隨x的增大而增大，y2隨x的增大而減?。盛苠e誤．故選：B．【點評】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，熟知反比例函數(shù)及一次函數(shù)的圖象與性質是解題的關鍵．10．（3分）在正方形ABCD中，M是邊CD上一點，滿足BC＝3CM，連接BM交AC于點N，延長BN到點P使得NP＝BN，則DPBNA．53 B．255 C．10【分析】連接BD交AC于點E，由正方形的性質得AB＝BC＝DC，BE＝CE＝DE，AC＝2CE，∠CED＝90°，由AB＝BC＝3CM，得CMAB=13，由CM∥AB證明△CMN∽△ABN，得CNAN=CMAB=13，推導出AC＝4CN，則2CE＝4CN，可證明CN＝EN，進而證明△CPN≌△EBN，則PC＝BE＝DE，∠PCN＝∠BEN，所以PC∥DE，則四邊形PCED是正方形，所以DP＝DE＝BE【解答】解：連接BD交AC于點E，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝DC，AE＝CE=12AC，BE＝DE=12BD，且AC＝BD，∴BE＝CE＝DE，AC＝2CE，∠CED＝90°，∵AB＝BC＝3CM，∴CMAB∵CM∥AB，∴△CMN∽△ABN，∴CNAN∵CN=11+3AC=∴AC＝4CN，∴2CE＝4CN，∴CE＝2CN，∴CN＝EN，在△CPN和△EBN中，CN=EN∠PNC=∠BNE∴△CPN≌△EBN（SAS），∴PC＝BE＝DE，∠PCN＝∠BEN，∴PC∥DE，∴四邊形PCED是平行四邊形，∵∠CED＝90°，CE＝DE，∴四邊形PCED是正方形，∴DP＝DE＝BE，∠PDB＝90°，∴BD＝2DP，∴BP=BD∴DPBP∵BP＝2BN，∴DP2BN∴DPBN故選：B．【點評】此題重點考查正方形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關鍵．二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分。11．（3分）已知xy=32，則【分析】利用設k法進行計算，即可解答．【解答】解：∵xy∴設x＝3k，則y＝2k，∴x+yx?y故答案為：5．【點評】本題考查了比例的性質，熟練掌握設k法是解題的關鍵．12．（3分）寫出一個一元二次方程，它的一個根為﹣2，則這個一元二次方程可以是（x+2）2＝0（答案不唯一）．【分析】只需要寫出一個當x＝﹣2時，關于x的一元二次方程的左右兩邊相等的一元二次方程即可．【解答】解：由題意得，符合題意的一元二次方程可以為（x+2）2＝0，故答案為：（x+2）2＝0（答案不唯一）．【點評】本題主要考查了一元二次方程的解的定義，熟練掌握一元二次方程的解是使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是解題的關鍵．13．（3分）如圖，在菱形ABCD中，AB＝10，∠A＝120°，則BD的長為103.【分析】連接AC，BD交于O，根據菱形的性質和直角三角形的性質即可得到結論．【解答】解：連接AC，BD交于O，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BD＝2BO，AC＝2AO，∠BAO=12∴∠AOB＝90°，∠ABO＝30°，∴AO=12∴BO=A∴BD＝103；故答案為：103．【點評】此題考查了菱形的性質，直角三角形的性質，勾股定理，熟練掌握菱形的性質是解題的關鍵．14．（3分）如圖，平面直角坐標系中，菱形OABC的頂點A在x軸正半軸上，頂點B在反比例函數(shù)y=kx(x?0)的圖象上，頂點C在一次函數(shù)y＝x的圖象上．若菱形OABC的面積為42，則k的值為4【分析】設點C坐標為（m，m）則B（2m+m，m）根據菱形面積列出方程解出m值得到點B坐標即可知道k值，【解答】解：∵點C在直線y＝x圖象上，設點C坐標為（m，m），∴B（2m+m，m），∵菱形OABC的面積為42，∴2m?m＝42，解得m＝2或﹣2（舍去），∴B（22+∵點B在反比例函數(shù)圖象上，∴k＝2×（22+2）＝42故答案為：42+4【點評】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，熟練掌握反比例函數(shù)圖象上頂點坐標特征是關鍵．15．（3分）如圖，四邊形ABCD為矩形，AB=52，BC=3，點E為AB邊上一點，將△BCE沿CE翻折，點B的對應點為點F，過點F作FG∥CE交DC于點G，若DG：GC＝1：4，則FG的長為【分析】設EF與CG的交點為M，可得△CEM和△GFM是等腰三角形，設GM＝x，則CM＝2﹣x，在Rt△CFM中，根據勾股定理可建立方程，求出x的值，表達GM和CM的值，進而可得BE的長；再根據勾股定理可得CE的長，由平行可得△GFM和△CEM相似，根據相似比可得最終結果．【解答】解：設EF與CG的交點為M，在矩形ABCD中，AB＝CD=52，AD＝BC=3，AB∴∠DCE＝∠BEC，由折疊可知，∠BEC＝∠FEC，BE＝EF，BC＝CF=3∴∠FEC＝∠DEC，∴EM＝CM，∵FG∥CE，∴△GFM∽△CEM，∴GM：FM＝CM：EM＝1：1，F(xiàn)G：CE＝GM：EM，∴GM＝FM，EF＝CG＝2，∵DG：GC＝1：4，AB=5∴DG=12，CG＝∴CE=B設GM＝x，則CM＝2﹣x；∴FM＝GM＝x，CM＝EM＝2﹣x，在Rt△CFM中，∠CFM＝∠B＝90°，由勾股定理可得CF2+FM2＝CM2，即（3）2+x2＝（2﹣x）2，解得x=1∴GM＝FM=14，CM＝EM∴GF：7=14∴GF=7故答案為：77【點評】本題主要考查相似三角形的性質與判定，勾股定理，等腰三角形的性質與判定，折疊的性質等相關知識，求出GM和CM的長是解題關鍵．三、解答題：本大題共7題，其中16題兩小題各4分共8分，17題6分，18題6分，19題8分，20題8分，21題9分，22題10分，共55分。16．（8分）解方程：（1）x2﹣4x＝1；（2）2x（x﹣2）+x﹣2＝0．【分析】（1）根據公式法解一元二次方程；（2）根據因式分解法解一元二次方程即可求解．【解答】解：（1）x2﹣4x＝1，∴x2﹣4x﹣1＝0，∴a＝1，b＝﹣4，c＝﹣1，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣1）＝20，∴x=?b±b2∴x1＝2+5，x2＝2?（2）2x（x﹣2）+x﹣2＝0，（x﹣2）（2x+1）＝0，解得x1＝2，x2=?1【點評】本題考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解題的關鍵．17．（6分）計算：(?1【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值以及絕對值的性質、零指數(shù)冪的性質、負整數(shù)指數(shù)冪的性質分別化簡，進而得出答案．【解答】解：原式＝﹣3﹣2×3＝﹣3?3＝﹣4．【點評】此題主要考查了實數(shù)的運算，正確化簡各數(shù)是解題關鍵．18．（6分）如圖，在正方形網格中，點A，B，C都在格點上，利用格點按要求完成下列作圖．（要求僅用無刻度的直尺，不要求寫畫法，保留必要的作圖痕跡）（1）圖1中，以C為位似中心，位似比為1：2，在格點上將△ABC放大得到△A1B1C1；請畫出△A1B1C1；（2）圖2中，以線段AD為邊畫一個三角形，使它與△ABC相似．（3）圖3中，在線段AB上畫一個點P，使APPB【分析】（1）延長CA到A1使CA1＝2CA，延長CB到B1使CB1＝2CB，點C1在C點，則△A1B1C1滿足條件；（2）∵ADAB=13，所以在AC上找一點E，使得AEAC（3）構建Rt△ABC，將BC分為五等份，在第二個等分點M處，作MP⊥AC，與AB相交于點P，根據平行線分線段成比例可以判斷P點滿足條件．【解答】解：（1）△A1B1C1即為所求；（2）△ADE即為所求；（3）點P即為所求．【點評】本題考查了作圖﹣位似變換：掌握畫位似圖形的一般步驟（先確定位似中心；再分別連接并延長位似中心和能代表原圖的關鍵點；接著根據位似比，確定能代表所作的位似圖形的關鍵點；然后順次連接上述各點，得到放大或縮小的圖形）是解決問題的關鍵．19．（8分）如圖，在?ABCD中，BE⊥AD，DF⊥AB，BE＝DF．（1）求證：四邊形ABCD是菱形；（2）若BE=3，∠C＝60°，求菱形ABCD【分析】（1）根據垂直的定義得到∠AEB＝∠AFD＝90°，根據全等三角形的性質得到AB＝AD，根據菱形的判定定理得到結論；（2）根據直角三角形的性質得到AB＝2AE，根據勾股定理得到AB＝2，根據菱形的面積公式得到結論．【解答】（1）證明：∵BE⊥AD，DF⊥AB，∴∠AEB＝∠AFD＝90°，在△AEB與△AFD中，∠AED=∠AFD∠A=∠A∴△AEB≌△AFD（AAS），∴AB＝AD，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴四邊形ABCD是菱形；（2）解：∵BE⊥AD，∠C＝60°，∴∠ABE＝30°，∴AB＝2AE，∵AB2＝AE2+BE2，∴AB2＝（12AB）2+（3）2∴AB＝2，∴菱形ABCD的面積＝BC?BE＝2×3=2【點評】本題考查了菱形的判定和性質，平行四邊形的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，熟練掌握菱形的判定和性質定理是解題的關鍵．20．（8分）某商場新建一個三層停車樓，每一層布局如圖所示．已知每層長為40米，寬30米．陰影部分設計為停車位，地面需要噴漆，其余部分是等寬的通道，已知噴漆面積為816平方米．（1）求通道的寬是多少米？（2）據調查分析，當每個車位的月租金為500元時，可以租出10個車位，為了提高收入，公司經理決定，每多租一個車位，相應的每個車位的月租金可以減少10元，當租出多少個車位時，商場的月租金收入為8000元？【分析】（1）設通道的寬是x米，則每一層的停車位可合成長為（40﹣2x）米，寬為（30﹣2x）米的長方形，根據噴漆面積為816平方米，列出一元二次方程，解之取符合題意的值即可；（2）設多租y個車位，則租出（10+y）個車位，每個車位的月租金為（500﹣10y）元，根據商場的月租金收入為8000元，列出一元二次方程，解方程即可．【解答】解：（1）設通道的寬是x米，則每一層的停車位可合成長為（40﹣2x）米，寬為（30﹣2x）米的長方形，依題意得：（40﹣2x）（30﹣2x）＝816，整理得：x2﹣35x+96＝0，解得：x1＝3，x2＝32（不符合題意，舍去），答：通道的寬是3米；（2）設多租y個車位，則租出（10+y）個車位，每個車位的月租金為（500﹣10y）元，依題意得：（500﹣10y）（10+y）＝8000，整理得：y2﹣40y+300＝0，解得：y1＝10，y2＝30，當y＝10時，10+y＝20；當y＝30時，10+y＝40；答：當租出20個或40個車位時，商場的月租金收入為8000元．【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．21．（9分）根據以下素材，完成任務設計貨船通過雙曲線橋的方案素材1一座曲線橋如圖1所示，當水面寬AB＝16米時，橋洞頂部離水面距離CD＝4米．已知橋洞形如雙曲線，圖2是其示意圖，且該橋關于CD對稱．素材2如圖4，一艘貨船露出水面部分的橫截面為矩形EFGH，測得EF＝3米，EH＝9米．因水深足夠，貨船可以根據需要運載貨物．據調查，船身下降的高度h（米）與貨船增加的載重量m（噸）滿足函數(shù)表達式?=1（1）建立平面直角坐標系如圖3所示，顯然，CD落在第一象限的角平分線上．甲說：點C可以在第一象限角平分線的任意位置．乙說：不對吧？當點C落在(42，42)時，OD＝12，可得點A的坐標為(102，22)，此時過點A的雙曲線的函數(shù)表達式為（2）①若設C點坐標為（a，a），求出a的值以及點C所在雙曲線的函數(shù)表達式；②此時貨船能不能通過該橋洞，若能，請說明理由；若不能，至少要增加多少噸貨物（直接寫出答案）．【分析】（1）過點C作CG⊥x軸于點G，在Rt△COG中，運用勾股定理求得OC＝8，而CD＝4，則OD＝8+4＝12；過點C、D分別作x軸、y軸的平行線交于E，過點A作AF⊥DE于F，根據等腰直角三角形的性質及勾股定理求得22)，即可求出點（2）①可表示xA=a+62，yA=a?22，則A(a+62代入y=k2x(k2≠0)得：(a+6②設A(a，ka)，B(b，kb)，其中a＞b，則D(a+b2，ka+kb2ab)，可得k＝ab，由CD＝4，AB＝16，可得（a﹣b）2＝128，a+b2?22【解答】解：（1）過點C作CG⊥x軸于點G，∵點C落在(42則OG=CG=42，而∠CGO∴△COG為等腰直角三角形，則∠COG＝∠OCG＝45°，則在Rt△COG中，OC=CG2∴OD＝8+4＝12；設直線OC表達式為：y＝kx（k≠0），代入C(42，42∴第一象限角平分線為直線y＝x，∵CD落在第一象限的角平分線上，∴A、B關于CD對稱，即A、B關于第一象限角平分線y＝x對稱，∴點D是AB的中點，OD⊥AB，過點C、D分別作x軸、y軸的平行線交于E，過點A作AF⊥DE于F，如圖，∴∠DCE＝∠COG＝45°，∴∠CDE＝90°﹣45°＝45°，∴∠FDA＝90°﹣45°＝45°則△CDE、△ADF是等腰直角三角形，∵CD＝4，設CE＝DE＝x，則在Rt△CDE中，由勾股定理得：x2+x2＝42，解得x=22∴CE=DE=2262∵AB＝16，∴AD＝8，同理可求：AF=DF=42∴22設反比例函數(shù)解析式為：y=k將點A代入得：k2∴點22)在雙曲線∴點C所在雙曲線的函數(shù)表達式為y=32故答案為：12，(102，22（2）①由題意得OG＝CG＝a，由（1）得CE=DE=22，AF=DF=4∴xA=a+22∴A(a+62，a?22)，而C（代入y=k2x解得：a=32∴C(32∴k2∴經過點C的雙曲線表達式為：y=18②設A(a，ka)，B(b，kb)，其中∵點D在直線y＝x上，∴a+b2=ka+kb2ab，即∴A（a，b），B（b，a），∵CD＝4，AB＝16，∴(a?b)2+(b?a)2=16，即（∵CD＝4，CD與x軸正方向夾角為45°，∴線段CD的水平距離和鉛錘距離均為22∴a+b2∴(a+b∴a+b=102∴k=ab=(a+b∴反比例函數(shù)解析式為y=18由a+b=102解得：2)，9∴32)，∵四邊形EFGH是矩形，∴FG＝EH，GH＝EF，∵EH＝9，∴FD=9同理可求F(52即F(11∵EF＝3，∴同理可求E(11即：232∵52∴此時貨船不能通過該橋洞；∵EF∥OD，∴kEF＝1，∴設直線EF的解析式為y＝x+n，把F(1124解得：n=9∴直線EF的解析式為y=x+9聯(lián)立得x+9解得：x1=?6262∴EE′=(52∵?=1∴m＝4h＝2，故要至少增加2噸貨物此貨船能通過該橋洞．【點評】本題是反比例函數(shù)應用題，考查了待定系數(shù)法，一次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖象和性質，矩形的性質等，解題關鍵是關鍵是根據坐標系列出相應的函數(shù)解析式．22．（10分）（1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖1，正方形ABCD的對角線相交于點O，在正方形A'B'C'O繞點O旋轉的過程中，邊A'O與邊BC交于點M，邊C'O與邊CD交于點N．證明：△OMC≌△OND；（2）【類比遷移】如圖2，矩形ABCD的對角線相交于點O，且AB＝6，AD＝12．在矩形A'B'C'O，繞點O旋轉的過程中，邊A'O與邊BC交于點M，邊C'O與邊CD交于點N．若DN＝1，求CM的長；（3）【拓展應用】如圖3，四邊形ABCD和四邊形A'B'C'O都是平行四邊形，