2026年邵陽市高三第一次聯(lián)考試題卷本試卷共4頁,19個小題。滿分注意事項:1.答卷前,考生務必將自己的姓名、班級、考號填寫在答題卡上。將條形碼橫貼在2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆在答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.保持答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后,只交答題卡,試題卷自行保存。一、選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1.已知集合A={x|-1<x<3},B={x∈N|x2-3x-4≤0},則A∩B=A.(-1,3)B.[-1,3]C.{1,2}D.{0,1,2}2.已知在復平面內(nèi),△OAB為等邊三角形,點O為坐標原點,點A對應的復數(shù)為1+3i,點B在第二象限,則點B對應的復數(shù)的虛部為3.設(shè)甲:數(shù)列{an}滿足2an+1=an+an+2(n∈N?),乙:數(shù)列{an}是等差數(shù)列,則甲是乙的A.充要條件B.必要不充分條件C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件4.已知非零向量a,b滿足a=2b,2a+b=a-b,則向量a在向量b上的投影A.-2bB.2bC.-3b(5.已知直線l:3x+4y-2=0與圓C:x2+y2-2x-2y-2=0相交于A,B兩點,則劣弧AB的長為6.已知實數(shù)x,y滿足(2024x+1)2025+2024x2025-2026y則A.2024x=2026y-1B.2024x=2026y+1C.2024x=2026y-3D.2024x=2026y+32026年邵陽市高三第一次聯(lián)考試題卷(數(shù)學)第1頁(共4頁)2026年邵陽市高三第一次聯(lián)考試題卷(數(shù)學)第2頁(共4頁)7.已知隨機變量X~N(2,3),正實數(shù)a,b滿足P(x≤3a+2)=P(x≥4b-1),則的最小值為則x1+32x2的取值范圍為二、選擇題(本大題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分)9.已知雙曲線E:,b>0)的離心率為,左、右焦點分別為F1(-7,0),,過F2的直線與E的右支相交于P,Q兩點,則下列結(jié)論錯誤的是..A.E的方程為B.PQ≤3C.E的漸近線方程為x±3y=0D.當F1F2=2OP時,△PF1F2的面積為310.已知函數(shù)f(x)=Asin(wx+φ)的部分圖象如圖(一)所示,則下列說法正確的是=6C.把函數(shù)y=f(x)的圖象向左平移π個單位后得到函數(shù)6y=g(x)的圖象,則y=g(x)為偶函數(shù)圖(一)D.若函數(shù)f(x)的導函數(shù)為h(x),則h(x)的圖象關(guān)于圖(一)11.已知圓臺O1O2的上、下底面的面積分別為9π和16π,則下列結(jié)論正確的是A.若圓臺O1O2存在內(nèi)切球,則內(nèi)切球的體積為323πB.若圓臺B.若圓臺OO的母線與下底面所成的角為60°則圓臺OO的外接500π3C.若圓臺O1O2的外接球的體積為,則圓臺O1O2的表面積為25π+352π3D.若圓臺O1O2的外接球的體積為,則圓臺O1O2026年邵陽市高三第一次聯(lián)考試題卷(數(shù)學)第3頁(共4頁)三、填空題(本大題共3小題,每小題5分,共15分)12.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a1=2,a4=16,則S4=.13.已知多項式(ax-2)(1+x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6,若a1+a3+a5=16,則a=.14.已知正四面體ABCD的棱長為42,用滿足MA2+MB2=MC2+MD2的動點M構(gòu)成的平面截正四面體ABCD,則所得截面的面積為.四、解答題(本大題共5小題,共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)(1)若ac=2,求△ABC的外接圓的半徑;(2)若cosA,b=2,求△ABC的面積.16.(15分)如圖(二),在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為直角梯形,AB⊥AD,AD∥BC,AD=AP=2,AB=BC=1,PA⊥平面ABC,E為棱PD上的點.(1)當E為棱PD的中點時,證明:EC∥平面PAB;(2)在棱PD上是否存在點E,使得平面PAC與平面EAC的夾角的余弦值為若存在,請確定點E的位置;若不存在,請說明理由.圖(二)2026年邵陽市高三第一次聯(lián)考試題卷(數(shù)學)第4頁(共4頁)17.(15分)國家近年來對機器人的研究,尤其是在人形機器人和具身智能領(lǐng)域方面,出臺了一系列的政策,旨在推動技術(shù)創(chuàng)新、產(chǎn)業(yè)升級和規(guī)?；瘧?某學校為響應國家號召,培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力,舉辦機器人比賽,經(jīng)過初賽,甲班團隊和乙班團隊進入了決賽階段.決賽階段規(guī)定:對每一輪比賽,獲勝方記1分,另一方記0分,無平局;當兩團隊累積得分的分差為3分時,比賽結(jié)束,累積得分高的團隊獲冠軍.若每輪比賽中,甲班團隊獲勝的概率為,且每輪比賽的結(jié)果相互獨立.(1)若比賽結(jié)束時恰好進行了3輪比賽,求甲班團隊獲得冠軍的概率;(ⅱ)若比賽輪數(shù)不限制,求甲班團隊獲得冠軍的概率.18.(17分)已知橢圓E:的左、右焦點分別為F1,F2,離心率e,過F2的直線l交E于A,B兩點,△ABF1的周長為8.(1)求E的方程;(2)過點F2且與l垂直的直線與E相交于C,D兩點,A,C在x軸的上方,M,N分別為線段AB,線段CD的中點,直線AC與直線BD相交于點R.(ⅰ)直線MN是否過定點?若過定點,請求出定點坐標;若不過定點,請說明理由;(ⅱ)求△MNR的面積的最小值.19.(17分)若函數(shù)f(x),g(x)對任意x1∈D,總存在唯一的x2∈D,使f(x1)+g(x2)=k成立,則稱f(x)是g(x)在區(qū)間D上的“k階和函數(shù)”.特別地,當f(x)=g(x)時,稱f(x)為區(qū)間D上的“k階自和函數(shù)”.(1)判斷函數(shù)f(x)=log3(x+1)是否為區(qū)間[2,26]上的“3階自和函數(shù)”;(2)若函數(shù)f是g(x)=x2-2ax+a2-1在區(qū)間[0,2]上的“2階和函數(shù)”,求實數(shù)a的取值范圍;φ(x)=(x-a-log23)lnx+(b-1)(x2-2x)有兩個零點x1,x2,證明:2<x1+x2026年邵陽市高三第一次聯(lián)考試題參考答案與評分標準數(shù)學一、選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)題號12345678答案DCAABBDC8.C【解析】由f=x得ax設(shè)y1=ax的圖象與y的圖象的交點為ax的圖象與y的圖象的交點為B.因為y1=ax的圖象與y2=logax的圖象關(guān)于直線y=x對稱,y的圖象也關(guān)于直線y=x對稱,所以點A與點B關(guān)于直線y=x對稱,故xx1+32x2=x當a=2時,x1=1;故選項C正確.二、選擇題(本大題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分)題號9答案BCABDAD11.AD【解析】取圓臺O1O2的一個軸截面ABCD,則AB=6,CD=8,如圖(1)所示.對于選項A,過點B作CD的垂線BG,交CD于點G,連接O1O2,則O1O22=BG2=(3+4)2-12=48,所以內(nèi)切球直徑O1O2=43,內(nèi)切球半徑r=23,所以圓臺O1O2的內(nèi)切球體積V故選項A正確;對于選項B,如圖(2),在軸截面ABCD中,BG⊥DC于點G.因為∠BCG=60°,CG=1,所以BG=3.設(shè)OO1=x,則R2=x2+32=42+(x-3)2,所以x所以圓臺O1O2的外接球面積S=4πR故選項B錯誤;圖(1)圖(2)2026年邵陽市高三第一次聯(lián)考試題參考答案與評分標準(數(shù)學)第1頁(共8頁)2026年邵陽市高三第一次聯(lián)考試題參考答案與評分標準(數(shù)學)第2頁(共8頁)對于選項C,因為,所以R=5.如圖(3)所示,當外接球球心點O在O1O2之間時,圓臺O1O2的母線BC=72+12= 2+當外接球球心點O在O1O2的延長線上時,如圖(4)所示,圓臺圖(3)V=;當h=1時,V=,故選項D正確.圖(4)以點A為坐標原點,建立空間直角坐標系,則A(0,0,0),B(4,4,0),C(0,4,4),D(4,0,4).設(shè)M(x,y,z),則MA2+MB2=x2+y2+z2+(x-4)2+(y-4)2+z2,MC2+MD2=x2+(y-4)2+(z-4)2+(x-4)2+y2+(z-4)2.因為MA2+MB2=MC2+MD2,所以z=2,即點M構(gòu)成的平面截正四面體所得的截面為正方形PQRS,邊長為22,故截圖(5)解:(1)在△ABC中,因為sin2B+3sinAcosBsinC-2sin2C=0,所以由正弦定理和余弦定理2+3acc2=0.所以b2=3a2-c2.………2分因為a=2,c=2,所以b2=2.故a2+b2=c2,△ABC為直角三角形.…4分所以△ABC的外接圓的半徑為1.……………………6分因為cosA所以3b2+3c2-3a2=4bc.又b2=3a2-c2,且b=2,所以c2-4c+4=0.……………10分2026年邵陽市高三第一次聯(lián)考試題參考答案與評分標準(數(shù)學)第3頁(共8頁)所以c=2,S△ABCbcsinA……1所以c=2,S△ABCbcsinA……13分解:(1)取棱PA的中點Q,連接EQ,BQ,如圖(6)所示,則QE∥AD,QEAD.所以QE叢BC,四邊形QBCE為平行四邊形,圖(6)所以EC∥QB 又因為QB?平面PAB,EC?平面PAB,所以EC∥平面PAB (2)如圖(7)所示,以點A為坐標原點,分別以AB,AD,AP所在直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系,→→→則AC=(1,1,0),AP=(0,0,2),PD=(0,2,-2).…6分取線段AC的中點為F,連接BF,由題意可知:BF⊥平面PAC,可得,則取平面PAC的一個法向量為m1,0).………………8分圖(7)3假設(shè)在棱PD上存在點E,使得平面PAC與平面EAC→→→→→設(shè)PE=λPD(0≤λ≤1),則AE=AP+PE=(0,2λ,2-2λ).……………9分設(shè)n=(x,y,z)為平面EAC的一個法向量,則z=0,取y=1-得設(shè)平面PAC與平面EAC的夾角為θ,解得λ=2(舍)或.………………14分此時點E為棱PD上靠近點D的三等分點.…………15分2026年邵陽市高三第一次聯(lián)考試題參考答案與評分標準(數(shù)學)第4頁(共8頁)解:(1)設(shè)事件Ai為“第i輪比賽甲班團隊獲勝”,由題意得P,2,3).設(shè)事件C表示“當比賽結(jié)束時恰好進行了3輪比賽,且甲班團隊獲得冠軍”,因為每輪比賽的結(jié)果相互獨立,則故甲班團隊獲得冠軍的概率為.……………………3分所有可能值為3,5.所以P(X=3)=P(A1A2A3∪A1A2A3)=P(A1A2A3)+P(A1A2A3)=3+)3=.……………5分所以X的分布列為X35P 3 3………………所以E…………8分(ⅱ)設(shè)事件E表示“比賽輪數(shù)不限制,甲班團隊獲得冠軍”.設(shè)比賽過程中,甲班團隊與乙班團隊累積得分的分差為Y,P(Y=k)表示Y=k時最終甲班團隊獲得冠軍的概率,其中k∈{-3,-2,-1,0,1,2,3}.由題意知P(Y=3)=1,P(Y=-3)=0,P(Y=0)=P(E).……………10分根據(jù)全概率公式有P,k∈{-2,-1,0,1,2}.………11分所以P-P迭代得所以P-P=[P(Y=-2)-P(Y=-3)]=P(Y=-2).2026年邵陽市高三第一次聯(lián)考試題參考答案與評分標準(數(shù)學)第5頁(共8頁)所以P-P累加得P(Y=3)-P(Y=-2)=(++++)·P…13分所以P故P+P即P故若比賽輪數(shù)不限制,甲班團隊獲得冠軍的概率為.………………15分解:(1)因為△ABF1的周長為|AB|+|AF1|+|BF1|=|A所以a=2.………………2分所以b2=a2-c2=3,所以橢圓E的方程為………4分設(shè)直線l:x=my+1(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4).將x=my+1代入,整理得(3m2+4)y2+6my-9=0.…………5分則Δ>0,y1+yy1y所以yMxM=myM所以M同理可得N).……………6分44m27分2026年邵陽市高三第一次聯(lián)考試題參考答案與評分標準(數(shù)學)第6頁(共8頁)所以直線MN的方程為x-=y+,即x=y+,所以直線MN過定點.…………9分(ⅱ)連接AD,設(shè)H為線段AD的中點,直線NR,MR分別與AD相交于點S,T,連接NH,MH,RH,NA,MD,如圖(8)所示.因為M,N,H分別為AB,CD,AD的中點,所以MH∥BD,NH∥AC.則S△NAR=S△HAR,S△MDR=S△HDR.所以S△NAS=S△RSH,S△MDT=S△RTH.圖(8)故S△MNR=S四邊形MNAD.………………12圖(8)由知,|ABy1-y同理可得|CD,…………14分 18(1+m2)272≥2=49,…………………16分當且僅當3m2+4=4m2+3時,即m= 18(1+m2)272所以△MNR的面積的最小值為.……………………17分解:(1)對于?x1∈[2,26],有f(x1)=log3(x1+1)∈[1,3].…………1分如果存在x2∈[2,26],使得log3(x1+1)+log3(x2+1)=3.則必有l(wèi)og3(x2+1)=3-log3(x1+1)∈[令x1=26,則x2=0?[2,26],所以f(x)不是“3階自和函數(shù)”.………3分(2)函數(shù)f(x)=在區(qū)間[0,2]上的值域為[1,2].因為f(x)=是g(x)=x2-2ax+a2-1在區(qū)間[0,2]上的“2階和函數(shù)”.所以對任意x1∈[0,2],總存在唯一的x2∈[0,2],使得f(x1)+g(x2)=2成立,2026年邵陽市高三第一次聯(lián)考試題參考答案與評分標準(數(shù)學)第7頁(共8頁)所以g(x2)=2-f(x1)∈[0,1],…………4分所以g(x)=x2-2ax+a2-1在[0,2]上的值域必定包含區(qū)間[0,1],且當g(x)=m,m∈[0,1]時,方程的解在[0,2]上是唯一的.…………5分又因為函數(shù)g(x)=x2-2ax+a2-1的圖象開口向上,對稱軸為x=a,當a≤0時,g(x)在[0,2]上單調(diào)遞增,則必有解得-1≤a≤0.……………6分當a≥2時,g(x)在[0,2]上單調(diào)遞減,則必有解得2≤a≤3.……………7分當0<a≤1時,g(x)在[0,a]上單調(diào)遞減,在[a,2]上單調(diào)遞增,ìg(a)=-1≤0,則必有íg(0)=a2-1<0,解之得:0<a≤2-2;lg(2)=a2-4a+3≥1,當1<a<2時,g(x)在[0,a]上單調(diào)遞減,在[a,2]上單調(diào)遞增,ìg(a)=-1≤0,則必有íg(2)=a2-4a+3<0,解之得:2≤a<2.………8分l