目錄第10章

積分變換法10.1傅里葉變換法10.2拉普拉斯變換法10.3聯合變換法第2篇

數學物理方程10.1傅里葉變換法10.1傅里葉變換法在第六章中，我們介紹了傅里葉積分變換。如果一個函數

f(x)是無界區(qū)域-∞<x<∞中的分段光滑的函數，則可以進行如下傅里葉積分變換其中像函數F(k)為下面通過幾個典型的例子，說明如何利用傅里葉積分變換方法來求解無界區(qū)域中泛定方程的定解問題。利用傅里葉積分變換法求解一維無界區(qū)域中的波動問題解：根據傅里葉變換式(10.1-1)，令10.1傅里葉變換法將其代入式(10.1-3)，則可以得到其中分別為初始位移和初始速度的傅里葉變換。方程(10.1-5)的通解為其中系數A(k)及B(k)由初始條件確定10.1傅里葉變換法由此可以解得將式(10.1-8)代入式(10.1-7)，并進行反演，有

這樣，最后該波動方程的解為這種形式的解稱為達朗貝爾公式?？梢?，一旦知道了初始時刻(t=0)的振動位移?(x)和振動速度ψ(x)，那么任意時刻t的解u(x，t)就完全確定了。10.1傅里葉變換法求解無限長細桿的熱傳導問題解：對該方程及初始條件同時作傅里葉變換，則定解問題變?yōu)槠渲袨槌跏紲囟鹊母道锶~變換。方程(10.1-12)的解為對上式進行傅里葉變換反演，可以得到10.1傅里葉變換法這就是無限長細桿熱傳導定解問題(10.1-11)的形式解。利用式(10.1-13)，可以進一步得到利用積分公式[見式(4.4-8)]則最后得到無限長細桿的溫度分布為可見，一旦知道了初始時刻(t=0)的溫度分布?(x)，由上式就可以確定t>0以后任意時刻的溫度分布u(x，t)。10.1傅里葉變換法一個位于y=0的無限大金屬平板，其上電勢分布為

f(x)。確定上半平面(y>0)的電勢分布。解：根據題意，上半平面的電勢分布u(x，y)服從如下拉普拉斯方程及邊界條件該定解問題在x

軸方向是無界的，而在y軸方向則是半無界的。將方程(10.1-17)作關于x

的傅里葉變換，有其中為原函數

f(x)的傅里葉變換?？紤]到邊界條件，方程(10.1-18)的解為10.1傅里葉變換法進行反演后，并將式(10.1-19)代入，則有而這樣，最后上半平面中的電勢分布為10.1傅里葉變換法求解三維無界空間中的波動問題解：借助于第六章引入的三維無界空間中的傅里葉變化，可以把上面的定解問題轉化為其中改變上式中的積分順序，則有10.1傅里葉變換法為初始位移和初始速度的像函數。由式(10.1-22)可以解得再進行逆變換將式(10.1-23)代入，有10.1傅里葉變換法借助δ

函數的定義，可以證明有[見式(5.4-21)]其中r0=at。將式(10.1-25)及式(10.1-26)代入式(10.1-24)，并考慮到t>0，則可以得到10.1傅里葉變換法其中r0=at。將式(10.1-25)及式(10.1-26)代入式(10.1-24)，并考慮到t>0，則可以得到由于δ(|r-r'|-at)的出現，上式右邊的積分只需在以r

為圓心、以at為半徑的球面Sat

上進行，即其中dSat

=r0sinθ0dθ0dφ0。θ0

和φ0

分別是矢量r0

的極角和方法角，r0=at。式(10.1-27)稱為泊松公式。式(10.1-27)表明，只要知道了初始時刻(t=0)的波動狀態(tài)，即初始位移?(r')和初始速度ψ(r')，將它們在球面Sat

上積分，就可以得到以后任意時刻(t>0)的波動狀態(tài)u(r，t)。10.1傅里葉變換法求解三維無界空間中的熱傳導問題解：借助于三維空間中的傅里葉變換，可以把定解問題轉化為其中為初始溫度的傅里葉變換。由式(10.1-29)，可以得到10.1傅里葉變換法再進行逆變換，并利用式(10.1-30)，有注意到積分則最后可以得到在一維情況下，上式即可以退化為式(10.1-16)。10.1傅里葉變換法求解無限長細桿的非齊次熱傳導方程的解其中

f(x，t)為已知的熱源分布函數。解：對該方程進行傅里葉變換，可以得到其中

將上式兩邊對時間t積分，并利用初始條件，有10.1傅里葉變換法將式(10.1-35)代入上式，有最后再進行反演，則得到可見，一旦知道了源函數

f(x，t)的形式，由上式即可以確定在任意地點x

和任意時刻t的溫度分布u(x，t)。由以上討論可以看出，傅里葉變換法求解定解問題的步驟如下:(1)借助于傅里葉變換把偏微分方程變換成一個關于時間變量的常微分方程;(2)求解這個一階或二階常微分方程，并由初始條件確定積分常數;(3)進行傅里葉反演，確定出定解問題的解。在傅里葉積分變換法中，泛定方程可以是齊次的，也可以是非齊次的，但物理量的變化區(qū)域必須是無界的。10.2拉普拉斯變換法10.2拉普拉斯變換法本節(jié)介紹采用拉普拉斯變換法求解偏微分方程的定解問題。不管方程是齊次的還是非齊次的，所選的區(qū)域是無界的還是半無界的，原則上都可以采用拉普拉斯變換法。但實際情況下，由于拉普拉斯變換的反演過程極為復雜，使得這種方法的應用也受到一定的限制。現在考慮一個隨空間變量x

和時間變量t變化的函數u(x，t)，其中變量x

的變化范圍可以是無界的或半無界的，而時間t的變化范圍是(0，∞)。根據第六章給出的拉普拉斯變換的定義式，原函數u(x，t)與像函數U(x，p)之間的變換關系由下式給出其中Rep>0。下面通過幾個典型的例子，說明如何利用拉普拉斯積分變換方法來求解無界或半無界區(qū)域中泛定方程的定解問題。求解半無限長細桿的熱傳導定解問題10.2拉普拉斯變換法解：對上述定解問題作關于時間t的拉普拉斯變換，則有其中F(p)是

f(t)的像函數?？紤]到在x

→∞時，定解應該有限，則由式(10.2-3)可以得到利用反演公式[見式(6.4-3)及式(6.4-4)]及拉普拉斯變換的卷積定理，可以得到10.2拉普拉斯變換法這就是半無限長細桿中的溫度分布。式(10.2-6)也適用于半無界區(qū)域中擴散過程的定解問題。在式(10.2-2)中，如果取u|x=0=u0(常數)，則由式(10.2-6)可以得到令并代入式(10.2-7)，有

10.2拉普拉斯變換法采用拉普拉斯變換法求解無限長細桿的非齊次熱傳導問題其中

f(x，t)為已知的熱源分布函數。解：對方程(10.2-9)作關于時間t的拉普拉斯變換，則有這是一個二階非齊次常微分方程。考慮到該方程的解在x

→±∞時應有界，則它的一般解為(見

§5.4節(jié)中的例4)對上式進行拉普拉斯反演，并利用則得到這與用傅里葉變換法得到的結果一致，見

§10.1節(jié)的例6。10.2拉普拉斯變換法利用拉普拉斯變換法求解一維無界區(qū)域中的波動問題解：對泛定方程進行拉普拉斯變換，并利用初始條件，則有該方程為一個二階非齊次常微分方程?？紤]到該方程的解在x

→±∞時應有界，則它的一般解為10.2拉普拉斯變換法利用及對式(10.2-14)進行反演，可以得到這正是

§10.1節(jié)中得到的達朗貝爾公式。利用拉普拉斯變換，還可以求解有界區(qū)域中偏微分方程的定解問題。10.2拉普拉斯變換法利用拉普拉斯變換求解有限長度細桿的熱傳導問題解：對定解問題進行拉普拉斯變換，并考慮到初始條件，則得到這是一個二階非齊次常微分方程，它的解由兩部分組成，即對應的齊次方程的通解和非齊次方程的一個特解。對應的齊次方程通解為10.2拉普拉斯變換法可以設非齊次方程的一個特解為將該特解代入非齊次方程(10.2-17)中，可以確定出系數為這樣非齊次方程(10.2-17)的通解為再考慮到邊界條件，有c1=c2=0，這樣有最后，再進行拉普拉斯反演，可以得到可以驗證，這與用分離變量法得到的結果是一致的。由以上討論可以看出，利用拉普拉斯變換法求解定解問題的步驟如下:(1)借助于拉普拉斯變換把偏微分方程變換成一個關于空間變量的二階常微分方程，同時包括了初始條件;(2)求解這個常微分方程，并考慮方程的解在x

→±∞時有界;(3)進行拉普拉斯反演，確定出定解問題的解。在拉普拉斯積分變換法中，泛定方程可以是齊次的，也可以是非齊次的;考慮的區(qū)域可以是無界的，也可以是有界的。10.3聯合變換法1.傅里葉

拉普拉斯積分聯合變換法求解三維無界空間中的受迫振動問題解：對上述定解問題進行傅里葉

拉普拉斯積分聯合變換，并在拉普拉斯變換中考慮初始條件，則有其中U(k，p)和F(k，p)分別是u(r，t)和

f(r，t)在聯合變換下的像函數。由式(10.3-2)可以得到

其次，對上式進行傅里葉反演，有1.傅里葉

拉普拉斯積分聯合變換法最后，再將代入，則有利用積分結果[見式(5.4-21)]則可以把式(10.3-6)進一步化簡為式(10.3-7)就是所謂的推遲勢，其中要求t-|r-r'|/a

≥0。上式表明，在r'點產生的源，以速度a

傳播，并在t-|r-r'|/a

時刻以后才能在r點被觀察到。1.傅里葉

拉普拉斯積分聯合變換法求解三維無界空間中的非齊次熱傳導問題解：對上述定解問題進行傅里葉

拉普拉斯積分聯合變換，并在拉普拉斯變換中考慮初始條件，則有其中U(k，p)和F(k，p)分別是u(r，t)和

f(r，t)在聯合變換下的像函數。由式(10.3-9)可以得到

其次，對上式進行傅里葉反演，有1.傅里葉

拉普拉斯積分聯合變換法再將代入，則得到利用積分結果則式(10.3-12)變?yōu)閷τ谝痪S情況，上式即可以退化為式(10.2-12)。2.傅里葉級數-傅里葉積分變換法求解如下二維區(qū)域中泊松方程的解解：由于該問題在x

軸方向是有界的，而在y軸方向是無界的，因此可以將函數u(x，y)關于變量x

的傅里葉級數和關于變量y的傅里葉積分，即類似地，也可以把函數f(x，