數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)（第二版）區(qū)間估計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)?zāi)夸汣ontents假設(shè)檢驗(yàn)?zāi)夸汣ontents區(qū)間估計(jì)一、區(qū)間估計(jì)

所謂區(qū)間估計(jì)是指,在實(shí)際應(yīng)用時(shí),由于參數(shù)不可能精確地求出,所以人們往往更加關(guān)注該參數(shù)估計(jì)大致的取值范圍.例如,在食品包裝袋上,要求標(biāo)注重量.一般來(lái)說(shuō),標(biāo)注的額定重量不是一個(gè)數(shù),常常是“重量:100±5克”這種格式.這里有5克的偏差,它表明當(dāng)額定重量(參數(shù)θ)在95克與105克之間時(shí),食品包裝符合要求,否則可以認(rèn)為是短斤少兩.這里以區(qū)間[95克,105克]給出平均額定重量(參數(shù)θ)的取值范圍,要求平均額定重量“大致”在95克與105克之間,這種方法稱(chēng)為θ的區(qū)間估計(jì).這里有幾個(gè)問(wèn)題需要澄清:(1)“大致”在95克與105克之間的“大致”是什么意思?(2)平均額定重量θ有無(wú)可能在區(qū)間[95克,105克]之外?(3)95克與105克是如何求出的?5.1區(qū)間估計(jì)一、區(qū)間估計(jì)

平均額定重量θ是未知的,它完全有可能在[95克,105克]之外.那么,這個(gè)可能性有多大?實(shí)際問(wèn)題中,當(dāng)然希望額定重量在[95克,105克]內(nèi)的可能性盡可能地大,而落在這個(gè)區(qū)間之外的可能性盡可能地小.一般來(lái)說(shuō),如果沒(méi)有特殊說(shuō)明,要求區(qū)間[95克,105克]能包含平均額定重量θ的概率為0.95,即有95%的把握保證區(qū)間[95克,105克]包含平均額定重量θ,而落在區(qū)間[95克,105克]之外的可能性是0.05.這里將區(qū)間[95克,105克]稱(chēng)為平均額定重量θ的置信區(qū)間.一、區(qū)間估計(jì)一、區(qū)間估計(jì)一、區(qū)間估計(jì)一、區(qū)間估計(jì)一、區(qū)間估計(jì)

構(gòu)造未知參數(shù)θ的置信區(qū)間,就是在給定置信度1-α?xí)r,找出滿(mǎn)足條件的區(qū)間端點(diǎn)T1和T2,這兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量不但受到置信度的制約,同時(shí)也依賴(lài)于抽樣分布的情形.抽樣分布不同,則結(jié)果就存在差別.那么,如何確定T1和T2,以得到置信區(qū)間[T1,T2]?由于實(shí)踐中所遇到的總體在大多數(shù)情況下服從正態(tài)分布,或是近似服從正態(tài)分布,因而首先討論正態(tài)總體下的總體參數(shù)的置信區(qū)間,然后簡(jiǎn)要介紹比率參數(shù)的置信區(qū)間.1.正態(tài)總體下的總體參數(shù)的置信區(qū)間對(duì)于給定的置信度1-α,構(gòu)造正態(tài)總體中參數(shù)θ的區(qū)間估計(jì)的基本思想是如下三步:

(1)從正態(tài)總體的六個(gè)已知的抽樣分布(單總體、雙總體各3個(gè))中選一個(gè)只含有待估參數(shù)θ而不包含其他未知參數(shù)的抽樣分布,記為Y.注意Y中包含待估參數(shù)θ及其點(diǎn)估計(jì),也可能包含其他已知參數(shù)或未知參數(shù)的點(diǎn)估計(jì).一、區(qū)間估計(jì)一、區(qū)間估計(jì)2.比率參數(shù)的置信區(qū)間實(shí)踐中如果考慮試驗(yàn)結(jié)果只有兩種可能,比率p是經(jīng)常會(huì)遇到的一個(gè)量,如產(chǎn)品是否合格,病人是否生存,種子是否發(fā)芽等.此時(shí)往往把總體看成是兩點(diǎn)分布B(1,p),分布列為一、區(qū)間估計(jì)目錄Contents假設(shè)檢驗(yàn)區(qū)間估計(jì)二、假設(shè)檢驗(yàn)

前面討論了總體中未知參數(shù)的區(qū)間估計(jì)問(wèn)題,其前提是總體的分布形式已知.統(tǒng)計(jì)推斷還有另外一類(lèi)重要問(wèn)題,即在總體的分布類(lèi)型已知時(shí),通過(guò)樣本判斷參數(shù)是否取某個(gè)或某些值.根據(jù)專(zhuān)業(yè)的知識(shí)或以往的經(jīng)驗(yàn),人們預(yù)先對(duì)總體參數(shù)存在一定的“認(rèn)識(shí)”,但不確定這種“認(rèn)識(shí)”是否正確.為此提出某些關(guān)于參數(shù)的假設(shè),然后根據(jù)樣本對(duì)所提出的假設(shè)做出判斷,是接受原假設(shè)還是拒絕原假設(shè).這就是本章所討論的另一種統(tǒng)計(jì)推斷的方法———假設(shè)檢驗(yàn).假設(shè)檢驗(yàn)是統(tǒng)計(jì)推斷的另一項(xiàng)重要內(nèi)容,它與參數(shù)估計(jì)類(lèi)似,都是建立在抽樣分布理論基礎(chǔ)之上的,但角度不同.參數(shù)估計(jì)是利用樣本信息推斷未知的總體參數(shù),而假設(shè)檢驗(yàn)則是先對(duì)總體參數(shù)提出一個(gè)假設(shè)值,然后利用樣本信息判斷這一假設(shè)是否成立.假設(shè)檢驗(yàn)在許多領(lǐng)域中都有應(yīng)用.本節(jié)主要介紹假設(shè)檢驗(yàn)的基本概念和原理,并解決總體為正態(tài)分布和兩點(diǎn)分布時(shí)的參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題.總體為其他分布類(lèi)型的假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題處理起來(lái)更復(fù)雜,但可以利用本節(jié)的思想和方法類(lèi)似解決.二、假設(shè)檢驗(yàn)

1.假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題的提法首先通過(guò)兩個(gè)例子,來(lái)說(shuō)明假設(shè)檢驗(yàn)的一般提法.二、假設(shè)檢驗(yàn)

上面這兩個(gè)例子所代表的問(wèn)題很普遍,它們有兩個(gè)共同點(diǎn):首先都對(duì)總體的參數(shù)存在一定的“認(rèn)識(shí)”(稱(chēng)為“假設(shè)”),如例5.10中的“額定標(biāo)準(zhǔn)每袋凈重0.5kg”,例5.11中“待機(jī)的平均時(shí)間至少為71.5h”;其次需要利用樣本觀測(cè)值去判斷這種“假設(shè)”是否成立.這里所說(shuō)的“認(rèn)識(shí)”,是一種設(shè)想.研究者在檢驗(yàn)一種新理論時(shí),通常要先提出一種自己認(rèn)為正確的看法,即假設(shè).至于它是否真的正確,在建立假設(shè)之前并不知道,需要通過(guò)樣本信息驗(yàn)證該“假設(shè)”是否正確.這一過(guò)程稱(chēng)為假設(shè)檢驗(yàn).二、假設(shè)檢驗(yàn)二、假設(shè)檢驗(yàn)二、假設(shè)檢驗(yàn)二、假設(shè)檢驗(yàn)二、假設(shè)檢驗(yàn)二、假設(shè)檢驗(yàn)

“小概率事件原則”是說(shuō)概率很小的事件在一次試驗(yàn)中一般不會(huì)發(fā)生.其含義可以簡(jiǎn)單理解為:設(shè)A,B是一次試驗(yàn)中的兩個(gè)事件,如果P(A)>P(B),那么在一次試驗(yàn)中事件A更可能發(fā)生;反之,如果在一次試驗(yàn)中,事件B發(fā)生了而A沒(méi)有發(fā)生,那么可以推斷P(A)>P(B)的假設(shè)錯(cuò)了,應(yīng)該認(rèn)為P(A)<P(B).這是構(gòu)造假設(shè)檢驗(yàn)的原理.

2.兩類(lèi)錯(cuò)誤假設(shè)檢驗(yàn)是根據(jù)小概率事件原則來(lái)判斷的,但是大家都知道小概率事件也是可能發(fā)生的,也就是說(shuō)我們可能犯錯(cuò)誤.具體來(lái)講,所犯錯(cuò)誤主要有兩類(lèi)(表5-1):

(1)第一類(lèi)錯(cuò)誤(棄真)當(dāng)H0實(shí)際上為真時(shí),檢驗(yàn)結(jié)果卻是拒絕H0,稱(chēng)為棄真.犯第一類(lèi)錯(cuò)誤的概率就是顯著性水平α,即二、假設(shè)檢驗(yàn)二、假設(shè)檢驗(yàn)

檢驗(yàn)中自然希望不犯錯(cuò)誤,或者犯錯(cuò)誤的概率越小越好,但是犯這兩類(lèi)錯(cuò)誤的概率不可能同時(shí)減小,通常的做法是在給定犯第一類(lèi)錯(cuò)誤的概率α的條件下,盡量減小犯第二類(lèi)錯(cuò)誤的概率β.

3.正態(tài)總體假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟對(duì)于正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題,由前面的討論可以得出雙側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟:

(1)根據(jù)實(shí)際問(wèn)題提出原假設(shè)H0和備擇假設(shè)H1.

(2)在H0成立的情況下,確定檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Y及所服從的分布.從正態(tài)總體的六個(gè)已知的抽樣分布(單總體、雙總體各3個(gè))中選一個(gè)只含有待檢驗(yàn)的參數(shù)θ及其點(diǎn)估計(jì),以及其他的已知參數(shù)或者未知參數(shù)的點(diǎn)估計(jì),記為Y,并稱(chēng)之為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量.注意將Y中的參數(shù)θ取為H0下的具體值.二、假設(shè)檢驗(yàn)

(3)考察樣本來(lái)自H0和H1對(duì)應(yīng)的總體時(shí),檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Y取值的差異,確定小概率事件的形式.例如樣本來(lái)自H0,則Y接近于0;樣本來(lái)自H1,則Y不接近于0,故必然滿(mǎn)足二、假設(shè)檢驗(yàn)二、假設(shè)檢驗(yàn)

4.頻率的假設(shè)檢驗(yàn)

二、假設(shè)檢驗(yàn)

設(shè)某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的不合格率為p,即總體X服從兩點(diǎn)分布B(1,p),從總體中抽取容量為n的樣本,其中不合格數(shù)為m,對(duì)于已知的p0要檢驗(yàn):一般工廠生產(chǎn)的大部分產(chǎn)品都是合格品,因此H0應(yīng)為產(chǎn)品合格.科學(xué)試驗(yàn)中關(guān)心成功率,一般H0應(yīng)為不成功.總之,H0的取法應(yīng)根據(jù)實(shí)際問(wèn)題確定.這是單總體問(wèn)題,根據(jù)棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理,在大樣本下,在H0成立的條件下近似地有二、假設(shè)檢驗(yàn)感謝觀看!數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)（第二版）單因素方差分析雙因素方差分析目錄Contents雙因素方差分析目錄Contents單因素方差分析一、單因素方差分析

樣本方差是中心化的數(shù)據(jù)平方和除以自由度的商,可以反映數(shù)據(jù)的變異程度.方差分析就是當(dāng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)自幾個(gè)獨(dú)立的同方差的正態(tài)分布時(shí),將數(shù)據(jù)的總變異分解為來(lái)源于不同因素的組內(nèi)和組間的變異,并做出數(shù)量估計(jì),從而發(fā)現(xiàn)各個(gè)因素在總變異中所占的重要程度,即將試驗(yàn)的總變異方差分解成各因素的變異方差,并以其中的誤差方差作為和其他因素的變異方差比較的標(biāo)準(zhǔn),以推斷其他因素所引起的變異量是否真實(shí)的一種統(tǒng)計(jì)分析方法.要將一個(gè)試驗(yàn)資料的總變異分解為各個(gè)變異來(lái)源的相應(yīng)變異,首先將總平方和與總自由度分解為各個(gè)變異來(lái)源的相應(yīng)部分.因此,平方和與自由度的分解是方差分析的第一個(gè)步驟.下面以單因素完全隨機(jī)試驗(yàn)設(shè)計(jì)的資料為例進(jìn)行介紹.單因素試驗(yàn)即考慮試驗(yàn)結(jié)果只受到一個(gè)因素變化的影響,如只考慮農(nóng)作物的產(chǎn)量如何受品種變化的影響.假設(shè)某單因素試驗(yàn)有k個(gè)處理(事先設(shè)計(jì)好的實(shí)施在試驗(yàn)?zāi)繕?biāo)上的具體項(xiàng)目叫試驗(yàn)處理,簡(jiǎn)稱(chēng)處理或水平),每個(gè)處理有n次重復(fù),共有nk個(gè)觀測(cè)值.這類(lèi)試驗(yàn)資料的數(shù)據(jù)模式見(jiàn)表6-1.一、單因素方差分析一、單因素方差分析一、單因素方差分析一、單因素方差分析

又稱(chēng)組內(nèi)變異;二是不同處理之間平均數(shù)的差異主要是由處理的不同效應(yīng)造成的,即處理間變異,又稱(chēng)組間變異.組間變異是判斷各處理間差異的主要依據(jù),同時(shí)受組內(nèi)變異的干擾.

1.平方和的分解一、單因素方差分析一、單因素方差分析一、單因素方差分析一、單因素方差分析一、單因素方差分析一、單因素方差分析一、單因素方差分析一、單因素方差分析一、單因素方差分析一、單因素方差分析目錄Contents雙因素方差分析單因素方差分析二、雙因素方差分析6.2.1雙因素方差分析的種類(lèi)

在試驗(yàn)中,常常會(huì)遇到兩個(gè)因素同時(shí)影響試驗(yàn)結(jié)果的情況,例如某化學(xué)產(chǎn)物的轉(zhuǎn)化率可能受到溫度和催化劑的共同影響,這就需要檢驗(yàn)究竟哪一個(gè)因素起作用,還是兩個(gè)因素都起作用,或者兩個(gè)因素的影響都不顯著.雙因素方差分析有兩種類(lèi)型:一種是無(wú)交互作用的雙因素方差分析,它假定因素A和因素B的效應(yīng)之間是相互獨(dú)立的,不存在相互關(guān)系;另一種是有交互作用的方差分析,它假定A、B兩個(gè)因素不是獨(dú)立的,而是相互起作用的,兩個(gè)因素同時(shí)起作用的結(jié)果不是兩個(gè)因素分別作用的簡(jiǎn)單相加,兩者的結(jié)合會(huì)產(chǎn)生一個(gè)新的效應(yīng).例如,在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中,光照和施肥量可能都會(huì)影響作物產(chǎn)量,并且適宜的光照和適量的施肥可能都會(huì)使作物產(chǎn)量增加,但是沒(méi)有疊加作用,這時(shí),光照和施肥量就可能是獨(dú)立的.再例如,在化學(xué)試驗(yàn)中,試驗(yàn)溫度和催化劑種類(lèi)可能都會(huì)影響產(chǎn)物轉(zhuǎn)化率,適宜的溫度和高效的催化劑可能使得轉(zhuǎn)化率大幅提高,此時(shí)溫度和催化劑可能存在交互作用,兩個(gè)因素結(jié)合后就會(huì)產(chǎn)生出一個(gè)新的效應(yīng),屬于有交互作用的方差分析問(wèn)題.二、雙因素方差分析6.2.2無(wú)交互作用的雙因素方差分析

1.數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

設(shè)兩個(gè)因素分別是A和B,因素A共有r個(gè)水平,因素B共有s個(gè)水平,無(wú)交互作用的雙因素方差分析對(duì)應(yīng)著rs個(gè)試驗(yàn)處理,每個(gè)試驗(yàn)處理只做一次試驗(yàn),即只有一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果,數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)見(jiàn)表6-6.二、雙因素方差分析6.2.2無(wú)交互作用的雙因素方差分析

2.分析步驟

(1)模型與建立假設(shè)方差分析模型如下:二、雙因素方差分析二、雙因素方差分析二、雙因素方差分析二、雙因素方差分析二、雙因素方差分析二、雙因素方差分析6.2.3有交互作用的雙因素方差分析

1.數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

設(shè)兩個(gè)因素分別是A和B,因素A共有r個(gè)水平,因素B共有