達(dá)州市2025年秋季學(xué)期高二年級(jí)教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題（本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘）注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的班級(jí)、姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上，并檢查條形碼粘貼是否正確.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.下列直線中與直線平行的是（）A. B. C. D.2.數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為（）A. B.C. D.3.已知圓：，圓：，則圓與圓位置關(guān)系是（）A.外離 B.相切 C.相交 D.內(nèi)含4.在正四棱錐中，E為的中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.5.已知直線m，n及平面，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6.從拋物線上各點(diǎn)向y軸作垂線段，則垂線段的中點(diǎn)的軌跡方程是（）A. B. C. D.7.在直三棱柱中，，，，E為的中點(diǎn)，則與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.8.已知A，B是橢圓C：上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱兩點(diǎn)，是橢圓C的左焦點(diǎn)，在中有，，則橢圓C的離心率為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知等差數(shù)列前n項(xiàng)和為，，且，則（）A. B. C. D.10.經(jīng)過拋物線C：焦點(diǎn)F的直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)B作準(zhǔn)線的垂線，垂足為D，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）A B.C. D.點(diǎn)A，O，D共線11.現(xiàn)有一圓臺(tái)形鐵坯，其上、下底面半徑分別為1，3，高為4，則（）A.該鐵坯對(duì)應(yīng)圓臺(tái)側(cè)面積為B.該鐵坯對(duì)應(yīng)圓臺(tái)的外接球的表面積為C.用該鐵坯可以車削出一個(gè)半徑為2的鐵球D.用該鐵坯可以車削出一個(gè)體積為的圓柱三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，是橢圓的左?右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，則的周長為___________.13.已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且前n項(xiàng)和為，，則______.14.定義：為不小于x的最小整數(shù)，為不大于x的最大整數(shù)，如，.已知數(shù)列滿足，，，則數(shù)列的前520項(xiàng)和為_______.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，在正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱，的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求異面直線與的夾角.16.已知直線：，橢圓：，為橢圓的右焦點(diǎn).（1）若圓M的圓心在上，半徑為C的長半軸長，且經(jīng)過點(diǎn)，求圓M的方程；（2）過橢圓的下頂點(diǎn)B，作（1）中圓M的切線，交橢圓C于點(diǎn)A，且A在第一象限，求.17.已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，前項(xiàng)和為.（1）證明：（2）若，，設(shè)，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.18.如圖，在扇形中，，，將扇形繞旋轉(zhuǎn)到扇形的位置，動(dòng)點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在，，上（不與端點(diǎn)重合），且.（1）證明：平面；（2）當(dāng)時(shí)，求三棱錐的體積；（3）證明：平面與平面夾角的余弦為定值，并求出這個(gè)定值.19.已知雙曲線：的一條漸近線為，為雙曲線C的右焦點(diǎn).（1）求雙曲線C的方程；（2）過的直線交C于A，B兩點(diǎn)，A在第一象限，B在第四象限，，線段的中點(diǎn)為P，直線且交x軸于點(diǎn)D.（i）求取值范圍；（ii）能否為等腰三角形?若能，求出此時(shí)的方程；反之，說明理由.達(dá)州市2025年秋季學(xué)期高二年級(jí)教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題（本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘）注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的班級(jí)、姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上，并檢查條形碼粘貼是否正確.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.下列直線中與直線平行的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用兩直線平行的條件判斷即可.【詳解】對(duì)于直線，可化為，對(duì)于A，因?yàn)?，所以，與目標(biāo)直線不平行，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，因?yàn)椋?，與目標(biāo)直線平行，故B正確，對(duì)于C，因?yàn)?，所以，與目標(biāo)直線不平行，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，因?yàn)?，所以，與目標(biāo)直線不平行，故D錯(cuò)誤.故選：B2.數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】取特例排除BCD，變形前幾項(xiàng)確定通項(xiàng)公式求解即可.【詳解】對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤，對(duì)于A，，，，，，歸納可得，故A正確.故選：A3.已知圓：，圓：，則圓與圓的位置關(guān)系是（）A.外離 B.相切 C.相交 D.內(nèi)含【答案】C【解析】【分析】求出、和即可由它們的大小關(guān)系得解.【詳解】由題可得圓的圓心，半徑為，圓的圓心，半徑為，所以兩圓心距離為，且，所以，故圓與圓的位置關(guān)系為相交.故選：C4.在正四棱錐中，E為的中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形法則即可求解.【詳解】.故選：D5.已知直線m，n及平面，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】由充分條件與必要條件求解即可【詳解】由題意可知：當(dāng)時(shí)，與可能平行，也可能相交，故充分性不成立；當(dāng)時(shí)，成立，故必要性成立；所以“”是“”的必要不充分條件，故選：B6.從拋物線上各點(diǎn)向y軸作垂線段，則垂線段的中點(diǎn)的軌跡方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)垂線段的中點(diǎn)為，由題意得到點(diǎn)在拋物線上，將該點(diǎn)代入拋物線即可求解.【詳解】設(shè)垂線段的中點(diǎn)為，則由題意可得點(diǎn)在拋物線上，所以，即，所以垂線段的中點(diǎn)的軌跡方程是.故選：D7.在直三棱柱中，，，，E為的中點(diǎn)，則與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)和關(guān)鍵平面的法向量，再利用線面角的向量求法求解即可.【詳解】在直三棱柱中，可得平面，因?yàn)椋?，如圖，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，由題意得，，，，，因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，解得，，故，設(shè)與平面所成角為，則，故D正確.故選：D8.已知A，B是橢圓C：上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，是橢圓C的左焦點(diǎn)，在中有，，則橢圓C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用橢圓的對(duì)稱性及定義求出和，再利用余弦定理列式求解.【詳解】令橢圓C：的右焦點(diǎn)為，設(shè)該橢圓半焦距為，由A，B是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，得四邊形是平行四邊形，則，，由橢圓定義得，由余弦定理得，整理得，所以橢圓C的離心率為.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知等差數(shù)列前n項(xiàng)和為，，且，則（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】設(shè)出首項(xiàng)和公差，利用等差數(shù)列性質(zhì)建立方程組求解首項(xiàng)和公差判斷A，B，求出通項(xiàng)公式判斷C，利用等差數(shù)列的求和公式判斷D即可.【詳解】對(duì)于A，B設(shè)首項(xiàng)為，公差為，因?yàn)椋?，則，因?yàn)?，所以，即，?lián)立方程組，解得，，故A錯(cuò)誤，B正確，對(duì)于C，由題意得，，則，故C正確，對(duì)于D，由題意得，，則不成立，故D錯(cuò)誤.故選：BC10.經(jīng)過拋物線C：焦點(diǎn)F的直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)B作準(zhǔn)線的垂線，垂足為D，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）A. B.C D.點(diǎn)A，O，D共線【答案】ABD【解析】【分析】由題意以及拋物線定義即可判斷A；設(shè)，與拋物線聯(lián)立求出韋達(dá)，代入焦點(diǎn)弦長公式即可判斷B；計(jì)算即可求解判斷C；寫出點(diǎn)，計(jì)算和即可得解判斷D.【詳解】由題意以及拋物線定義可得，故A正確；由題可設(shè)，聯(lián)立，設(shè)，則，故B正確；由B得，所以，故C錯(cuò)誤；由題意可得，所以，又，所以點(diǎn)A，O，D共線，故D正確.故選：ABD11.現(xiàn)有一圓臺(tái)形鐵坯，其上、下底面半徑分別1，3，高為4，則（）A.該鐵坯對(duì)應(yīng)圓臺(tái)的側(cè)面積為B.該鐵坯對(duì)應(yīng)圓臺(tái)的外接球的表面積為C.用該鐵坯可以車削出一個(gè)半徑為2的鐵球D.用該鐵坯可以車削出一個(gè)體積為的圓柱【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)簡單幾何體的表面積、體積計(jì)算公式逐項(xiàng)計(jì)算即可.【詳解】圓臺(tái)上底半徑，下底半徑，高，圓臺(tái)母線.選項(xiàng)A：由圓臺(tái)側(cè)面積公式.故A正確.選項(xiàng)B：設(shè)外接球的球心到下底面的距離為，球半徑為，則球心到上底面的距離為.由勾股定理，，即，解得.所以.所以外接球的表面積為.故B正確.選項(xiàng)C：圓臺(tái)軸截面為等腰梯形（上底2，下底6，高4，腰長）.梯形面積為，周長為.設(shè)車削出球的最大半徑為，則該球過球心的截面圓為梯形的內(nèi)切圓，所以，即，解得.故C錯(cuò)誤.選項(xiàng)D：設(shè)圓柱的底面半徑為，高為，建立直角坐標(biāo)系，圓臺(tái)軸截面等腰梯形腰（右側(cè)）所在直線為：，即圓柱體積：.令，即，整理得解得或（舍去），所以，該鐵坯可以車削出一個(gè)體積為的圓柱.故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，是橢圓的左?右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，則的周長為___________.【答案】10【解析】【分析】根據(jù)橢圓的定義計(jì)算．【詳解】由橢圓方程知，，在橢圓上，所以．故答案為：10．13.已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且前n項(xiàng)和為，，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)與的關(guān)系結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】由可得，，兩式相減得，整理得，因?yàn)?，所以，所以，令可得，解得或（舍去），所以?shù)列是首項(xiàng)為，公差為等差數(shù)列，所以.故答案為：14.定義：為不小于x的最小整數(shù)，為不大于x的最大整數(shù)，如，.已知數(shù)列滿足，，，則數(shù)列的前520項(xiàng)和為_______.【答案】260【解析】【分析】先求出數(shù)列是等差數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合該數(shù)列大小特性及數(shù)列的定義即可分析計(jì)算求解.【詳解】因?yàn)?，，所以，即，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公差為2的等差數(shù)列，所以，所以，所以，當(dāng)時(shí)，又，所以，所以數(shù)列的前520項(xiàng)和為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，在正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱，的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求異面直線與的夾角.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間位置的向量證明推理得證.（2）由（1）中坐標(biāo)系，利用線線角的向量法求解.【小問1詳解】在正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，令，則，，，因此向量共面，而直線確定平面，則平面，而平面，所以平面.【小問2詳解】由（1）得，，因此，而，則，所以異面直線與的夾角為.16.已知直線：，橢圓：，為橢圓右焦點(diǎn).（1）若圓M的圓心在上，半徑為C的長半軸長，且經(jīng)過點(diǎn)，求圓M的方程；（2）過橢圓的下頂點(diǎn)B，作（1）中圓M的切線，交橢圓C于點(diǎn)A，且A在第一象限，求.【答案】（1）圓M的方程為.（2）.【解析】【分析】（1）設(shè)圓心坐標(biāo)，由橢圓求出圓的半徑和點(diǎn)，利用距離公式求出圓心即可求解圓的方程；（2）利用橢圓的上頂點(diǎn)即為點(diǎn)、且即可由勾股定理求解.【小問1詳解】由題可設(shè)圓M的圓心為，半徑為，且經(jīng)過點(diǎn)，所以，解得.故圓M的圓心為，所以圓M的方程為.【小問2詳解】由題可得，由（1）橢圓的上頂點(diǎn)即為點(diǎn)，則連接，則且，所以.17.已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，前項(xiàng)和為.（1）證明：（2）若，，設(shè)，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)直接證明，當(dāng)時(shí)，利用錯(cuò)位相減法即可證明.（2）首先利用等比數(shù)列前項(xiàng)和公式求出，然后求出，最后利用裂項(xiàng)相消法即可求解.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，為常數(shù)列，所以；當(dāng)時(shí)，，等式兩邊同乘以可得，兩式相減得，所以.綜上所述，.【小問2詳解】若，，則，所以，，所以.18.如圖，在扇形中，，，將扇形繞旋轉(zhuǎn)到扇形的位置，動(dòng)點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在，，上（不與端點(diǎn)重合），且.（1）證明：平面；（2）當(dāng)時(shí)，求三棱錐的體積；（3）證明：平面與平面夾角的余弦為定值，并求出這個(gè)定值.【答案】（1）證明詳見解析（2）（3）證明詳見解析，定值為【解析】【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理證明即可.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出及點(diǎn)到平面的距離，代入體積公式求解即可.（3）設(shè)，得到相關(guān)向量，求出平面與平面的法向量，進(jìn)一步求解即可.【小問1詳解】因?yàn)椋?扇形繞旋轉(zhuǎn)得到扇形，所以平面平面，且.又平面，，所以平面.【小問2詳解】由弧長公式，，可得，圓心角，即.由（1）知，，，