第五章三角函數(shù)5.4.1正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象

一、教學(xué)目標(biāo)1.通過(guò)繪制正弦函數(shù)圖象的學(xué)習(xí)活動(dòng)，會(huì)用描點(diǎn)法繪制正弦函數(shù)圖象，會(huì)用“五點(diǎn)法”繪制正弦函數(shù)圖象的簡(jiǎn)圖；2.經(jīng)歷繪制余弦函數(shù)圖象的過(guò)程,體會(huì)其中運(yùn)用的圖象變換的思想，領(lǐng)悟函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系；3.通過(guò)繪制函數(shù)圖象的學(xué)習(xí)活動(dòng)，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想方法，提升數(shù)學(xué)抽象、直觀想象的核心素養(yǎng)與合作探究學(xué)習(xí)的能力

二、教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象.難點(diǎn)：如何得到正弦函數(shù)的的圖象．

三、教學(xué)過(guò)程（一）創(chuàng)設(shè)情境復(fù)習(xí)回顧：三角函數(shù)是我們學(xué)習(xí)的一類(lèi)新的基本初等函數(shù)，按照函數(shù)研究的方法，學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的定義之后，接下來(lái)我們應(yīng)該研究什么問(wèn)題?定義——圖象——性質(zhì)三角函數(shù)的圖象繪制函數(shù)圖象的基本步驟有哪些？列表——描點(diǎn)——連線設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)復(fù)習(xí)舊知，用類(lèi)比的方法、聯(lián)系的觀點(diǎn)引入本節(jié)新課，建立知識(shí)間的聯(lián)系，提高學(xué)生概括、類(lèi)比推理的能力。（二）探究新知任務(wù)1：探索函數(shù)y=思考：1.如何利用描點(diǎn)法作出正弦函數(shù)y=sin

x，x∈[0,2π]的圖象？師生活動(dòng)：學(xué)生利用列表、描點(diǎn)、連線的方法嘗試畫(huà)圖，但在描點(diǎn)時(shí)會(huì)遇到一定的困難，在正弦函數(shù)中，無(wú)論是角還是函數(shù)值，都含有大量無(wú)理數(shù)，作圖過(guò)程中誤差較大。思考：2.在直角坐標(biāo)系中如何作點(diǎn)（π3師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生，根據(jù)定義分析確定π3，sin思考：3.在直角坐標(biāo)系中如何作點(diǎn)（x0師生活動(dòng)：學(xué)生思考后，教師利用課件繪制這個(gè)點(diǎn)．設(shè)計(jì)意圖：教師引導(dǎo)學(xué)生剖析一個(gè)點(diǎn)的畫(huà)法，深化對(duì)正弦函數(shù)定義的理解．通過(guò)分析點(diǎn)的坐標(biāo)的幾何意義，準(zhǔn)確描點(diǎn)．探究：在直角坐標(biāo)系中如何作出函數(shù)y=sinx，x∈[0,2π]的圖象？把x軸上從0到2π這一段分成12等份，使x0的值分別為0，π6,π3事實(shí)上，利用信息技術(shù)，可使x0在區(qū)間[0，2π]上取到足夠多的值而畫(huà)出足夠多的點(diǎn)T（x0,sinx0），將這些點(diǎn)用光滑的曲線連接起來(lái)，可得的比較精確的函數(shù)設(shè)計(jì)意圖：從圖象到點(diǎn)、從點(diǎn)到點(diǎn)坐標(biāo)的確定，利用定義實(shí)現(xiàn)畫(huà)出正弦函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)，從而得到函數(shù)的圖象，說(shuō)明了正弦函數(shù)的定義在函數(shù)圖象的構(gòu)造和認(rèn)識(shí)過(guò)程中有著重要的作用.畫(huà)出任意點(diǎn)T（x0,sinx0），經(jīng)歷學(xué)生實(shí)踐操作、教師任務(wù)2：探索函數(shù)y=sinx，x∈R的圖象探究：根據(jù)y=sinx，x∈[0,2π]由誘導(dǎo)公式一可知，函數(shù)y=sinx，x∈[2kπ,2(k+1)π],k∈Z且k≠0的圖象與y=sinx，x∈[0,2π]的圖象完全一致，因此將y=sinx，x∈[0,2π]的圖象不斷向左、右平移（每次平移個(gè)單位長(zhǎng)度），就可以得到正弦函數(shù)y=sinx，x∈R的圖象.設(shè)計(jì)意圖：利用三角函數(shù)周而復(fù)始的特性和誘導(dǎo)公式，分別從幾何與代數(shù)兩個(gè)角度理解函數(shù)y=sinx，x∈R的圖象的形狀是“波浪起伏”的連續(xù)光滑曲線.借助誘導(dǎo)公式說(shuō)明函數(shù)y=sinx，x∈[2π,4π]的圖象與函數(shù)y=sinx，x∈[0,2π]思考：在確定正弦函數(shù)的圖象形狀時(shí)，應(yīng)抓住哪些關(guān)鍵點(diǎn)？觀察可得，在y=sinx，x∈［0,2π］的圖象上，有0,0教師評(píng)價(jià)學(xué)生回答并總結(jié)五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)即為最高點(diǎn)、最低點(diǎn)和與x軸的3個(gè)交點(diǎn)，從而引出正弦函數(shù)作圖方法——“五點(diǎn)法”.師生活動(dòng)：教師在黑板上作出y=sinx，x∈［0,2π］的圖象，并強(qiáng)調(diào)“五點(diǎn)法”作圖注意事項(xiàng)，包括五點(diǎn)將區(qū)間等分4份、圖象光滑連接.學(xué)生跟著老師一起作圖，初步掌握y=sin任務(wù)3.探索函數(shù)y=cosx，x∈R的圖象.探究：你認(rèn)為應(yīng)該利用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的哪些關(guān)系，通過(guò)怎樣的圖形變換，才能將正弦函數(shù)的圖象變換為余弦函數(shù)？對(duì)于函數(shù)y=cosx，由誘導(dǎo)公式cosx=sin(x+π2)得，移π2個(gè)單位長(zhǎng)度而得到．所以，余弦函數(shù)的圖象可以通過(guò)正弦函數(shù)的圖象向左平移π2設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)對(duì)正弦函數(shù)圖象，推導(dǎo)出余弦函數(shù)圖象的方法，發(fā)展學(xué)生，邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).思考：類(lèi)比五點(diǎn)法繪制正弦函數(shù)圖象，在確定余弦函數(shù)的圖象形狀時(shí)，應(yīng)抓住哪些關(guān)鍵點(diǎn)？觀察可得，在y=cosx，x∈［0,2π］的圖象上，有以下五個(gè)點(diǎn)0,設(shè)計(jì)意圖:觀察余弦函數(shù)圖象特征，學(xué)生自主類(lèi)比五點(diǎn)法繪制正弦函數(shù)圖象方法，利用五點(diǎn)法繪制余弦函數(shù)圖象．正弦曲線：余弦曲線：形狀完全一樣，只是位置不同.（三）應(yīng)用舉例例1(多選)對(duì)于余弦函數(shù)y＝cosx的圖象，下列描述中正確的是()A.將區(qū)間[0,2π]內(nèi)的圖象向左、向右無(wú)限延展B.與y＝sinx的圖象形狀完全一樣，只是位置不同C.與x軸有無(wú)數(shù)個(gè)交點(diǎn)D.關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)解：對(duì)于A，余弦函數(shù)y＝cosx的圖象，是將[0,2π]內(nèi)的圖象向左、向右無(wú)限“重復(fù)”得到，是“重復(fù)”不是延展，因?yàn)檠诱箍赡苁抢?，不符合，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，正弦函數(shù)y＝sinx的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，會(huì)與y＝cosx的圖象重合，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)x＝kπ＋π2(k∈Z)時(shí)，y＝cosx＝0，故余弦函數(shù)y＝cosx的圖象與x軸有無(wú)數(shù)個(gè)交點(diǎn)，故C對(duì)于D，易知y＝cosx的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，故D正確．故選BCD.設(shè)計(jì)意圖：加深學(xué)生對(duì)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象的理解，突出重點(diǎn).例2畫(huà)出下列函數(shù)的簡(jiǎn)圖(1)y＝1＋sinx，x∈[0,2π]；(2)y＝－cosx，x∈[0,2π]．解：（1）按五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)列表：x0sinx010101+sinx12101描點(diǎn)并將它們用光滑的曲線連接起來(lái)（圖4）：圖4（2）按五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)列表：x0cosx10101-cosx10101圖5師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立完成，然后就解題思路和結(jié)果進(jìn)行交流展示.設(shè)計(jì)意圖：鞏固學(xué)生對(duì)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象特征的掌握，熟練“五點(diǎn)法”畫(huà)圖，掌握畫(huà)圖的基本技能．通過(guò)分析圖象變換，深化對(duì)函數(shù)圖象關(guān)系的理解，并為后續(xù)的學(xué)習(xí)作好鋪墊．總結(jié)：描點(diǎn)法畫(huà)正弦、余弦函數(shù)圖象的關(guān)鍵（1）列表時(shí)，自變量x的數(shù)值要適當(dāng)選取；（2）在函數(shù)定義域內(nèi)取值；（3）按由小到大的順序取值；（4）取的個(gè)數(shù)應(yīng)分布均勻；（5）應(yīng)注意圖形中的特殊點(diǎn)（如：端點(diǎn)、交點(diǎn)、頂點(diǎn)）；（6）盡量取特殊角.例3用五點(diǎn)法畫(huà)y=3sinx,x∈[0,2π]的圖象時(shí)，下列點(diǎn)中不是關(guān)鍵點(diǎn)的為（）A.(π6,32)B.(π2,3)解：五點(diǎn)法畫(huà)y=3sinx,x∈[0,2π]的圖象時(shí)，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)為(0,0)，(π2,3)，(π所以(π故選A.設(shè)計(jì)意圖：鞏固學(xué)生對(duì)“五點(diǎn)法”作圖的理解.例4解不等式cosx≤?解：如圖：所以原不等式的解集為[5π總結(jié)：用三角函數(shù)圖象解三角不等式的步驟：1.作出相應(yīng)的正弦函數(shù)或余弦函數(shù)在[0,2π]上的圖象；2.寫(xiě)出不等式在區(qū)間[0,2π]上的解集；3.根據(jù)誘導(dǎo)公式寫(xiě)出定義域內(nèi)的解集.設(shè)計(jì)意圖：在掌握繪制正弦函數(shù)與余弦函數(shù)圖象的基礎(chǔ)上，靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法求解未知參數(shù)，考查學(xué)生的融會(huì)貫通情況和綜合素養(yǎng).（四）課堂練習(xí)1.當(dāng)x∈(0,2π)時(shí)，曲線y=2+cosx與直線y=1A.2 B.3 C.4 D.5解：作出x∈(0,2π)時(shí)，曲線y=2+cosx與直線y=13x的圖象，

如圖所示：

由圖象可知，在x∈(0,2π)時(shí)，曲線y=2+cosx與直線2.下列在(0,2π)上的區(qū)間能使cosx>sinx成立的是A.(0,π4) B.(π4,5π解：由題意作出y=cosx和y=sinx在(0,2π)上的圖象，

由圖像可知滿足cosx>sinx，

可得(0,π3.函數(shù)f(x)=sinx+2|sinx|，x∈[0,2π]的圖象與直線y=k有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則k的取值范圍是解：f(x)=sinx+2|sinx|，x∈[0,2π]，

即f(x)={3sin?x,x∈[0,π)?sin?x,x∈[π,2π],

作出函數(shù)y=f因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=sinx+2|sinx|，x∈[0,2π]的圖象與直線4.用“五點(diǎn)法”畫(huà)函數(shù)y=3?2sin解：y列表x??0ππsinx0?1010335313如圖所示，描點(diǎn)并將它們用光滑的曲線連接起來(lái)5.想一想函數(shù)y=|sinx|與y=sinx的圖象及其關(guān)系，并借助信息技術(shù)畫(huà)出函數(shù)的圖象進(jìn)行檢驗(yàn)．解：因?yàn)閥=sinx=sin