（考試時間：120分鐘滿分：150分）注意事項：1.答題前，務(wù)必在答題卡和答題卷規(guī)定的地方填寫自己的姓名、準考證號和座位號后兩位.2.答題時，每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.3.答題時，必須使用0.5毫米的黑色墨水簽字筆在答題卷上書寫，要求字體工整、筆跡清晰.作圖題可先用鉛筆在答題卷規(guī)定的位置繪出，確認后再用0.5毫米的黑色墨水簽字筆描清楚.必須在題號所指示的答題區(qū)域作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上答題無效.4.考試結(jié)束，務(wù)必將答題卡和答題卷一并上交.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.拋物線的焦點到其準線的距離為（）A. B. C. D.4【答案】B【解析】【分析】將拋物線方程轉(zhuǎn)化為標準方程求解.【詳解】解：拋物線的標準方程為，所以焦點坐標為，其準線方程為，所以拋物線的焦點到其準線的距離為，故選：B2.已知直線：與：垂直，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)兩直線垂直的判斷方法，列出方程求解即得.【詳解】由直線：與：垂直，故得故選：C.3.若直線始終平分圓的周長，則的值為（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】D【解析】【分析】依題意直線經(jīng)過圓的圓心，列出等式即得.【詳解】由題意知圓心在直線上，∴，整理得，故選：D4.在平面直角坐標系中，點到圓：的最短距離是（）A. B.4 C.8 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出點到圓心的距離，再利用圓的性質(zhì)求解.【詳解】圓：的圓心，半徑，所求的最短距離為.故選：A5.如圖，這是一個落地青花瓷，其中底座和瓶口的直徑相等，其外形被稱為單葉雙曲面，可以看成是雙曲線：的一部分繞其虛軸所在直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面.若該花瓶橫截面圓的最小直徑為，最大直徑為，雙曲線的離心率為，則該花瓶的高為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意得，根據(jù)離心率求得，進而求得雙曲線方程，然后代入即可得解.【詳解】由該花瓶橫截面圓的最小直徑為，有，又由雙曲線的離心率為，有，，可得雙曲線的方程為，代入，可得，故該花瓶的高為.故選：B.6.已知直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間向量法求線線角即可.【詳解】以為原點，在平面內(nèi)過作的垂線交于，以為軸，以為軸，以為軸，建立空間直角坐標系，因為直三棱柱中，，，，所以，所以，設(shè)異面直線與所成角為，所以.故選：C.7.已知橢圓的左、右焦點分別為，，點是橢圓上一個動點，若的面積的最大值為，則（）A. B.3 C.9 D.7【答案】D【解析】【分析】根據(jù)的面積為，即可求解.【詳解】根據(jù)題意可知橢圓半焦距，設(shè)點,，，那么，所以的面積，所以，所以，化簡得，即或9．又因為，解得，因此．故選：D．8.已知橢圓的左，右頂點分別為A，B，且橢圓C的離心率為，點P是橢圓C上的一點，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)是橢圓上的點，設(shè)，求出為定值，從而能求出的值，然后根據(jù)求解.【詳解】設(shè)代入橢圓方程，則整理得：設(shè)，又，,所以而，所以，所以故選：B二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.如圖所示，棱長為1的正方體中，點為線段上的動點（不含端點），則下列結(jié)論正確的是（）．A.平面平面B.三棱錐的體積為C.D.【答案】ACD【解析】【分析】以為原點，所在直線為軸建立空間直角坐標系，根據(jù)空間向量的坐標運算，逐項判斷即可.【詳解】如圖，以為原點，所在直線為軸建立空間直角坐標系，則對于A，連接，因為平面，平面，所以是平面的一個法向量，又，所以，則，又平面，所以平面則是平面的一個法向量，又，所以平面平面，故A正確；對于B，連接，因為，，所以，則，又平面，平面，所以平面，點在線段上的動點，點到平面的距離即點到平面的距離，設(shè)平面的法向量為，又，則，令，所以又，所以距離，在中，所以為正三角形，故B不正確；對于C，點為線段上的動點（不含端點），則設(shè)所以，則，故C正確；對于D，因為，，所以，故D正確.故選：ACD.10.已知拋物線：的焦點為，準線為，點在拋物線上，，延長交拋物線于，則（）A. B.C. D.以為直徑的圓與相切【答案】AD【解析】【分析】求出焦點坐標與準線方程，結(jié)合焦半徑公式判斷A，即可求出，從而判斷B、C，根據(jù)拋物線的定義證明D.【詳解】對于A：拋物線：，則，準線方程為，由，解得，故A正確；對于B：由，即，解得，故B錯誤；對于C：，故C錯誤；對于D：設(shè)，則，設(shè)的中點為，過作準線的垂線段，垂足分別為，則，，由梯形中位線定理知，所以以為直徑的圓與準線相切，故D正確.故選：AD11.公元前300年前后，歐幾里得撰寫的《幾何原本》是最早有關(guān)黃金分割的論著，書中描述：把一條線段分割為兩部分，使較大部分與全長的比值等于較小部分與較大的比值，則這個比值即為“黃金分割比”，把離心率為“黃金分割比”倒數(shù)的雙曲線叫做“黃金雙曲線”．黃金雙曲線的一個頂點為，與不在軸同側(cè)的焦點為，的一個虛軸端點為，為雙曲線任意一條不過原點且斜率存在的弦，為中點．設(shè)雙曲線的離心率為，則下列說法中，正確的有（）A. B.C. D.若，則恒成立【答案】ABC【解析】【分析】由黃金分割雙曲線定義求得雙曲線的離心率，判斷A，證明，利用射影定理證明，判斷B，利用點差法求判斷C，聯(lián)立方程求出坐標，計算，判斷D.【詳解】由為黃金分割雙曲線可得，即，對兩邊同除以可得，則，A正確；對繼續(xù)變形得，，，，所以，又，所以，，所以，所以，所以，B正確；設(shè)，，，將坐標代入雙曲線方程可得，，作差后整理可得，即所以，故C正確；設(shè)直線，則直線，將代入雙曲線方程，可得，則，，將換成即得，則與，的值有關(guān)，故D錯誤，故選：ABC．【點睛】點差法是解決中點弦問題的常用的方法.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.雙曲線的一個焦點在拋物線的準線上，則拋物線的標準方程為______【答案】【解析】【分析】由雙曲線的方程可得雙曲線的焦點坐標，由拋物線的方程可得準線方程，再由題意可得的值，進而求出拋物線的方程．【詳解】由雙曲線的方程可得，解得，所以雙曲線的焦點坐標為，拋物線的準線方程為，由題意可得，解得，所以拋物線的方程為：，故答案為：．13.設(shè)橢圓：的左、右焦點分別為，，過作平行于軸的直線交于兩點，若，，則C的離心率為_________.【答案】【解析】【分析】由題意求出，，利用橢圓的定義求出，利用勾股定理得，即可求出離心率．【詳解】由題意知，，而軸，故，所以，解得；又，所以，所以橢圓的離心率為．故答案為：．14.阿波羅尼斯（約公元前262－190年）證明過這樣一個命題：平面內(nèi)到兩定點距離之比為常數(shù)且的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓．在棱長為6的正方體中，點是BC的中點，點是正方體表面上一動點（包括邊界），且滿足，則三棱錐體積的最大值為______．【答案】【解析】【分析】依題意可得，即可得到，在平面中作，求解最值，根據(jù)勾股定理得出，，再由二次函數(shù)的單調(diào)性求的最大值，代入棱錐體積公式得答案．【詳解】解：在棱長為的正方體中，是的中點，點是面所在的平面內(nèi)的動點，且滿足，，，即，在平面中作，設(shè)，，，化簡得，，所以當(dāng)時，取得最大值為，所以，在正方體中平面，又，三棱錐的體積最大值．故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.15.已知，，，，．（1）求；（2）若，求實數(shù)，的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)空間向量的坐標運算，利用數(shù)量積的計算公式，可得答案；（2）根據(jù)平行向量的坐標表示，建立方程組，可得答案.【小問1詳解】，，，，；【小問2詳解】因為，所以設(shè)，即，故，解得.16.曲線且（1）若曲線表示雙曲線，求的取值范圍；（2）當(dāng)，點在曲線上，且點在第一象限，，，求點的橫坐標．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)雙曲線方程的特征得到不等式，求出；（2）時，求出，設(shè)，，根據(jù)垂直關(guān)系得到方程，結(jié)合，求出，得到答案.【小問1詳解】表示雙曲線，則，解得，故的取值范圍是；【小問2詳解】時，曲線為雙曲線，設(shè)，，故，因為，所以，解得，故點的橫坐標為.17.已知點和圓．（1）過點作直線AC平行線l，求直線l的方程；（2）過點A的直線與圓C交于P，Q兩點，若，求直線PQ的方程．【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）根據(jù)已知及斜率兩點式可得，結(jié)合及點斜式寫出直線方程；（2）由題設(shè)圓心C到直線PQ的距離為1，討論斜率的存在性求出對應(yīng)直線PQ的方程.【小問1詳解】圓，圓心，故，又，則，即直線方程為；【小問2詳解】∵，所以圓心C到直線PQ的距離為，當(dāng)斜率存在時，設(shè)直線PQ的方程為，則，∴，直線方程為，當(dāng)斜率不存在時，，圓心到直線的距離為1顯然成立，綜上，符合條件的直線PQ方程為或.18.在中，，，，分別是上點，滿足且經(jīng)過的重心，將沿折起到的位置，使，是的中點，如圖所示.（1）求證：平面；（2）求與平面所成角的大?。唬?）在線段上是否存在點，使平面與平面成角余弦值為？若存在，求出的長度；若不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）（3）存在，或【解析】【分析】（1）應(yīng)用線面垂直的判定定理證明線面垂直關(guān)系，再由性質(zhì)定理得到線線垂直關(guān)系，進而再利用判定定理證明所求證的線面垂直關(guān)系；（2）以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系.用向量法求與平面所成角的大??；（3）假設(shè)存在點，使平面與平面成角余弦值為，設(shè)，分別求解兩平面的法向量，用表示余弦值解方程可得.【小問1詳解】因為在中，，，且，所以，，則折疊后，，又平面，所以平面，平面，所以，又已知，且都在面內(nèi)，所以平面；【小問2詳解】由（1），以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系.因為，故，由幾何關(guān)系可知，，，，故，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，不妨令，則，，.設(shè)與平面所成角的大小為，則有，設(shè)為與平面所成角，故，即與平面所成角的大小為；【小問3詳解】假設(shè)在線段上存在點，使平面與平面成角余弦值為.在空間直角坐標系中，，，，設(shè)，則，，設(shè)平面的法向量為，則有，即，不妨令，則，，所以，設(shè)平面的法向量為，則有，即，不妨令，則，，所以，若平面與平面成角余弦值為.則滿足，化簡得，解得或，即或，故在線段上存在這樣的點，使平面與平面成角余弦值為.此時的長度為或.19.已知橢圓：的右焦點為，短軸長為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為橢圓的右頂點，過點的直線與交于、兩點（均異于），直線、分別交直線于、兩點，證明：、兩點的縱坐標之積為定值，并求出該定值；（3）記以坐標原點為頂點、為焦點的拋物線為，如圖，過點的直線與交于、兩點，點在上，并使得的重心在軸上，直線交軸于點，且在的右側(cè)，設(shè)、的面積分別為、，求的取值范圍.【答案】（1）（2）證明見解析（3）【解析】分析】（1）根據(jù)題意求出，即得橢圓方程；（2）先考慮直線的斜率不存在時，求出點的坐標，進而寫出的方程，令，即可求得點的坐標即得定值；再設(shè)直線：，與橢圓方程聯(lián)立，寫出韋達定理，同法求出點的坐標，化簡計算即得定值；（3）依題先求出拋物線的方程，記點，直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，求出，再由的重心在軸上，求得和，由直線的方程求得，列出的表達式，利用基本不等式即可求得其范圍.【小問1詳解】依題意，得，則，故橢圓的方程為.【小問2詳解】由橢圓的方程可知.若直線的斜率不存在，則直線，易得，，直線的方程為