一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求.1.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用充分條件、必要條件的定義判斷即得.【詳解】由，得，而當(dāng)時(shí)，成立，但不成立，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A2.角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（）A. B. C. D.0【答案】B【解析】【分析】由任意角三角函數(shù)的定義求得，即可求出的值.【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過點(diǎn)

，所以.所以，.所以.故選：B.3.函數(shù)的圖象大致為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的極限即可判斷.【詳解】的定義域?yàn)椋驗(yàn)?，所以為奇函?shù)，排除BD；當(dāng)時(shí)，，排除C，故A正確.故選：A4.已知冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則函數(shù)的圖象過定點(diǎn)（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義及單調(diào)性求出，再結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得.【詳解】由題可得，解得或，又在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，故，所以過定點(diǎn).故選：B.5.定義在上的函數(shù)滿足，則的值為（）A.4 B.5 C.6 D.8【答案】B【解析】【分析】根據(jù)，想到令得到關(guān)于與的方程組，解方程組得到抽象函數(shù)的解析式，進(jìn)而可求函數(shù)值.【詳解】因?yàn)?，①令，可?②①②得，所以.所以.故選：B.6.若，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.【詳解】因?yàn)?，，，所以比較可得.故選：C.7.已知函數(shù)，若對(duì)任意，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用函數(shù)單調(diào)性定義確定單調(diào)性，再利用分段函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合一次函數(shù)、二次函數(shù)單調(diào)性列式求出范圍.【詳解】由對(duì)任意，都有成立，可得函數(shù)在R上單調(diào)遞減，要使函數(shù)在R上單調(diào)遞減，需使，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D8.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，即方程在區(qū)間內(nèi)有解，即方程在區(qū)間內(nèi)有解，構(gòu)造函數(shù)，分析單調(diào)性求得的值域，即可得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，即方程在區(qū)間內(nèi)有解，即方程在區(qū)間內(nèi)有解.令函數(shù)，則直線與函數(shù)的圖象有交點(diǎn).因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)是減函數(shù).因?yàn)?所以函數(shù)的值域?yàn)?，所以?shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D.二、選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.（多選題）已知正實(shí)數(shù)滿足，下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.有最大值D.有最小值【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)等式化簡(jiǎn)、基本不等式的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于A：因?yàn)椋?所以，A正確；對(duì)于B：因?yàn)?，所以，因?yàn)闉檎龑?shí)數(shù)，所以，解得，B正確；對(duì)于C：因?yàn)?，所?當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，無最大值，C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)椋?因?yàn)?，所以根?jù)基本不等式的性質(zhì)可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)取最小值為，D正確.故選：ABD.10.已知函數(shù)且，下列結(jié)論正確的有（）A.函數(shù)是奇函數(shù)B.函數(shù)是偶函數(shù)C.若，則在上單調(diào)遞減D.若，則在上單調(diào)遞增【答案】AC【解析】【分析】利用函數(shù)奇偶性的定義可判斷AB選項(xiàng)；利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可判斷C選項(xiàng)；利用特殊值法可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于AB選項(xiàng)，對(duì)于函數(shù)，有，解得或，即函數(shù)的定義域?yàn)?，因，所以函?shù)為奇函數(shù)，A對(duì)B錯(cuò)；對(duì)于CD選項(xiàng)，，令，，當(dāng)時(shí)，因內(nèi)層函數(shù)在上為增函數(shù)，外層函數(shù)在上為減函數(shù)，故函數(shù)在上為減函數(shù)，因?yàn)閮?nèi)層函數(shù)在上為減函數(shù)，外層函數(shù)在上為增函數(shù)，所以函數(shù)在上為減函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，C對(duì)；當(dāng)時(shí)，，，，所以，由，可得，即，故當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在上不是增函數(shù)，D錯(cuò).故選：AC.11.設(shè)函數(shù)，若方程有四個(gè)不同的實(shí)根，分別為，且，下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.D.在上單調(diào)【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)性質(zhì)，以及函數(shù)圖像的平移方法，畫出分段函數(shù)圖像；再根據(jù)基本不等式的性質(zhì)，判斷選項(xiàng)A的正誤；根據(jù)函數(shù)圖像，判斷有四個(gè)解時(shí)的情況，判斷選項(xiàng)B，C的正誤；再根據(jù)參數(shù)的范圍和復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，判斷D的正誤.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)圖像，如下圖所示，當(dāng)時(shí)，，則，可知，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，當(dāng)方程有四個(gè)不同的實(shí)根時(shí)，由圖像可知，所以A錯(cuò)誤；由圖像可知，即的解為，化簡(jiǎn)得，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以，則，所以B正確；由圖像可知，即，解得，則，令，則，設(shè)函數(shù)，由對(duì)勾函數(shù)可知在上單調(diào)遞增，即，則，所以C錯(cuò)誤；由題意得，設(shè)，則，化簡(jiǎn)得，化簡(jiǎn)得，可知，即，同理，則，因?yàn)?，所以，，則，可得，即，所以在上單調(diào)遞減，所以D正確；故選：BD.三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知集合是小于的正整數(shù)，，則中元素個(gè)數(shù)為_____.【答案】【解析】【分析】首先求解出集合，然后再根據(jù)補(bǔ)集的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】已知，，可得：.故中元素個(gè)數(shù)為.故答案為：13.一個(gè)扇形的弧長(zhǎng)和面積都是，則這個(gè)扇形的圓心角的弧度數(shù)為______.【答案】【解析】【分析】設(shè)該扇形的半徑為r，圓心角的弧度數(shù)為，根據(jù)扇形的弧長(zhǎng)和面積公式可得出關(guān)于、的方程組，即可求解.【詳解】設(shè)該扇形的半徑為，圓心角的弧度數(shù)為，由題意可得，解得，因此，這個(gè)扇形的圓心角的弧度數(shù)為.故答案為：.14.已知正實(shí)數(shù)，對(duì)任意的恒成立，且，則_____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知得、且，由條件等式有，令，，進(jìn)而得到，利用基本不等式有，進(jìn)而得到，，問題化為是的兩個(gè)根求參數(shù)值.【詳解】由題設(shè)，則，故，由，又，則，令，，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，又，故，此時(shí)，所以，，故是的兩個(gè)根，又，則，所以，滿足前提.故答案為：四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù).（1）函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，求.（2）求不等式的解集.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由題設(shè)有得，進(jìn)而得到的解析式，最后求函數(shù)值即可得；（2）由題設(shè)或求解集即可.【小問1詳解】由題設(shè)，則，所以，可得，則，由，故，所以，而，所以；【小問2詳解】由或，可得或，所以不等式的解集為.16.設(shè)函數(shù)，常數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，①判斷的奇偶性并證明②求的值域；（2）若的定義域?yàn)?，求的取值范?【答案】（1）①奇函數(shù)，證明見詳解；②.（2）【解析】【分析】（1）①利用奇函數(shù)的定義判斷；②將解析式變形為，利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解；（2）由題問題即對(duì)恒成立，令，對(duì)恒成立，利用基本不等式求出的值域，得解.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，，①為奇函數(shù)，證明如下：因?yàn)?，，所以為奇函?shù).②由，，，則，，即的值域?yàn)?【小問2詳解】的定義域?yàn)镽，即對(duì)恒成立，令，那么，即對(duì)恒成立，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以，所以，即的取值范圍為.17.雞蛋在冰箱冷藏的環(huán)境下，可以有效減緩雞蛋內(nèi)部的變化速度，延長(zhǎng)其保質(zhì)期.已知新鮮雞蛋存儲(chǔ)溫度(單位:攝氏度)與保鮮時(shí)間(單位:小時(shí))之間的函數(shù)關(guān)系式為.新鮮雞蛋在存儲(chǔ)溫度為攝氏度的情況下，其保鮮時(shí)間為小時(shí)；在存儲(chǔ)溫度為攝氏度的情況下，其保鮮時(shí)間為小時(shí).（1）當(dāng)新鮮雞蛋的存儲(chǔ)溫度為多少攝氏度時(shí)，保鮮時(shí)間最長(zhǎng)？并說明理由；（2）某超市為了節(jié)省損耗，希望保證新鮮雞蛋的保鮮時(shí)間不少于天，則超市對(duì)新鮮雞蛋的存儲(chǔ)溫度設(shè)置應(yīng)該不高于多少攝氏度?(結(jié)果保留兩位小數(shù)，參考數(shù)據(jù):，)【答案】（1）攝氏度（2）攝氏度【解析】【分析】（1）首先根據(jù)已知條件可得：，解得，然后根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷出是關(guān)于的單調(diào)遞減函數(shù)，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行求解即可；（2）令，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及對(duì)數(shù)運(yùn)算進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】已知，根據(jù)已知條件可得：，兩式相除得：，解得：，根據(jù)復(fù)合函數(shù)同增異減的原則可得：是關(guān)于的單調(diào)遞減函數(shù)，又，可得：當(dāng)攝氏度時(shí)，保鮮時(shí)間最長(zhǎng).【小問2詳解】由題意令，得：，則，兩邊同時(shí)取常用對(duì)數(shù)得：，又，所以，解得：.故超市對(duì)新鮮雞蛋的存儲(chǔ)溫度設(shè)置應(yīng)該不高于攝氏度.18.對(duì)于定義在上的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，其圖象恒在軸上方，且過.對(duì)任意，都有.（1）求；（2）判斷的單調(diào)性，并證明:（3）解不等式:.【答案】（1）（2）在上單調(diào)遞增，證明過程見解析（3）【解析】【分析】（1）通過賦值法，將特殊值代入題目中的函數(shù)恒等式中求.（2）利用函數(shù)方程，令，推導(dǎo)出，結(jié)合已知時(shí)，可得對(duì)所有實(shí)數(shù)成,通過作差，結(jié)合和，判斷函數(shù)單調(diào)遞增.（3）對(duì)不等式進(jìn)行代數(shù)變形，分離常數(shù)，構(gòu)造輔助函數(shù)，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性和已知及，判斷不等式解集為對(duì)應(yīng)區(qū)間.【小問1詳解】令（已知），，代入得：即，故.【小問2詳解】任取,且,，令,則,則，令,則，則,因?yàn)楫?dāng)時(shí)，則,則當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，令，由及可知，即，由于，則，所以,即,所以在上單調(diào)遞增.【小問3詳解】因?yàn)?，所以，即令，其中在上單調(diào)遞增，所以在R上單調(diào)遞增，由（2）知，所以，所以上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增.而即，又因?yàn)?，所以該不等式的解集?19.已知函數(shù)和的定義域分別為和，若對(duì)任意，恰好存在個(gè)不同的實(shí)數(shù)，使得(其中)，則稱為的“重覆蓋函數(shù)”.（1）試判斷是否為的2重覆蓋函數(shù)”?請(qǐng)說明理由:（2）若為的“2重覆蓋函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的值；（3）函數(shù)表示的小數(shù)部分，即(表示不超過的最大整數(shù))，若，若為的“2025重覆蓋函數(shù)”，求正實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）不是，理由見解析（2）或（3）【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，可得，得到，此時(shí)方程無解，即可得到不是的2重覆蓋函數(shù).（2）求得的值域?yàn)?，轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)解，當(dāng)時(shí)，有一個(gè)根，得到當(dāng)時(shí)，僅有一個(gè)根，分類討論，列出不等式組，即可求解.（3）利用函數(shù)的性質(zhì)和基本不等式，取得函數(shù)的值域?yàn)?，根?jù)題意，轉(zhuǎn)化為上有個(gè)實(shí)數(shù)解，畫出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象，列出不等式，即可求解.【小問1詳解】解：不是的2重覆蓋函數(shù).理由如下：由函數(shù)，可得，當(dāng)時(shí)，可得，又由，令，可得，此時(shí)方程無解，所以不存在使得，不滿足存在2個(gè)不同的實(shí)數(shù)解的條件，所以不是的2重覆蓋函數(shù).【小問2詳解】解：由函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)任意的，存在2個(gè)不同的實(shí)數(shù)使得，因?yàn)?，可得，可得，所以，即的值域?yàn)?，即，即?duì)于任