考試時(shí)間：120分鐘試卷分值：150分一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分1.已知全集，集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出集合B，再結(jié)合交集的概念求解可得答案.【詳解】由題意得，又因?yàn)?，所以，所以，故選：C.2.若復(fù)數(shù)滿足，則（）A.1 B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式計(jì)算即可.【詳解】由題意可知，復(fù)數(shù)滿足，則可轉(zhuǎn)化為，所以.故選：A.3.已知等邊的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，若，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】取為基底，利用平面向量基本定理結(jié)合已知條件求解即可.【詳解】在中，取為基底，因?yàn)辄c(diǎn)分別為的中點(diǎn)，，所以，所以.故選：A.4.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】采用“排除法”求解.先根據(jù)函數(shù)的奇偶性進(jìn)行排除，再結(jié)合特殊點(diǎn)的函數(shù)值符號(hào)進(jìn)行排除.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋?所以函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，故AD錯(cuò)誤；又，而，即，所以，所以，故C錯(cuò)誤.B符合函數(shù)的性質(zhì).故選：B5.球是棱長(zhǎng)為1的正方體的外接球，則球的內(nèi)接正四面體體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將內(nèi)接正四面體補(bǔ)形為正方體求解.【詳解】因?yàn)檎拿骟w可以補(bǔ)形為正方體，可知右圖中正四面體和正方體有同一外接球，正方體棱長(zhǎng)為1，則體積為1，可得正四面體體積為正方體體積去掉四個(gè)角上的四面體體積，即.故選:C.6.已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，若，則（）A. B. C.1 D.【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式分別求出和的值，再代入式子求解即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，即，即，則，設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得，即，則，即，所以.故選：C.7.函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C D.【答案】A【解析】【分析】原不等式變形為，再利用分段函數(shù)的單調(diào)性即可得到不等式，解出即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，此時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，易知單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，則，所以由得，所以，解得.故選：A.8.若不等式對(duì)一切恒成立，其中，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將原不等式轉(zhuǎn)化為對(duì)一切恒成立，設(shè)，則后者可轉(zhuǎn)化為恒成立即為函數(shù)極大值，故可求參數(shù)的范圍或取值，故可得正確的選項(xiàng)，或者將原不等式轉(zhuǎn)化為，根據(jù)左右兩側(cè)對(duì)應(yīng)的函數(shù)的圖象位置關(guān)系可求參數(shù)的范圍.【詳解】法一：不等式對(duì)一切恒成立即為不等式對(duì)一切恒成立，今，則有；故不等式對(duì)一切恒成立等價(jià)于恒成立，所以為的最大值點(diǎn).顯然，，否則時(shí)，，與題設(shè)矛盾.又，此時(shí)若，存在區(qū)間，是否且，總有，這與為的最大值點(diǎn)矛盾，故不成立，同理也不成立，故，則，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上遞增，上遞減，符合題意；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上遞減，上遞增，上遞減，而當(dāng)時(shí)，，故即，故恒成立，故符合題意.綜上，，因此.法二：不等式可化為，令，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，直線恒過(guò)點(diǎn)，故只需直線為在點(diǎn)處的切線即可，，此時(shí).當(dāng)時(shí)，亦恒過(guò)點(diǎn)，為使對(duì)一切恒成立，需開(kāi)口向下，且在點(diǎn)處與有公切線即可，故，此時(shí)綜上，的取值范圍是.故選：A.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：多變量不等式恒成立問(wèn)題，可將原不等式作適當(dāng)變形，從而將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖象的位置關(guān)系，或者根據(jù)不等式的特征將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的極值問(wèn)題.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分9.若直線不平行于平面，且，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.內(nèi)的所有直線與是異面直線B.內(nèi)不存在與平行的直線C.內(nèi)存在唯一一條直線與平行D.內(nèi)的所有直線與都相交【答案】ACD【解析】【分析】依題意可知與平面相交，再判斷直線與平面內(nèi)的直線的位置關(guān)系即可.【詳解】因?yàn)橹本€不平行于平面，且，則與平面相交，設(shè)交點(diǎn)為，則平面內(nèi)所有過(guò)點(diǎn)的直線與直線相交，即共面，平面內(nèi)所有不過(guò)點(diǎn)的直線與直線異面，故A錯(cuò)誤，D錯(cuò)誤；顯然內(nèi)不存在與平行的直線，故B正確，C錯(cuò)誤.故選：ACD10.已知復(fù)數(shù)，，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，，則的最小值為3D.若且，則，均為純虛數(shù)【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算可判斷A的真假；通過(guò)反例可說(shuō)明B是錯(cuò)誤的；根據(jù)復(fù)數(shù)模的求法可判斷C的真假；通過(guò)反例說(shuō)明D是錯(cuò)誤的.【詳解】對(duì)于A，由得，又，，所以，A正確；對(duì)于B，當(dāng)，時(shí)，滿足，但，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，，得，C正確；對(duì)于D，當(dāng)，時(shí)，滿足，但，均不為純虛數(shù)，D錯(cuò)誤．故選：AC11.已知函數(shù)，（）A.函數(shù)為單調(diào)減函數(shù)B.函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心為C.若對(duì)，恒成立，則D.函數(shù)，與函數(shù)的圖象所有交點(diǎn)縱坐標(biāo)之和為20【答案】BCD【解析】【分析】去絕對(duì)值分類(lèi)討論可得函數(shù)解析式，易知在以及上是分別單調(diào)遞減的，即A錯(cuò)誤，易知滿足，可知B正確，再利用函數(shù)單調(diào)性以及不等式恒成立計(jì)算可得C正確，畫(huà)出兩函數(shù)在同一坐標(biāo)系下的圖象根據(jù)周期性計(jì)算可得D正確.【詳解】對(duì)于A，易知當(dāng)時(shí)，，時(shí)，因此可得在以及上分別單調(diào)遞減函數(shù)，即A錯(cuò)誤；對(duì)于B，易知函數(shù)滿足，因此可得關(guān)于對(duì)稱(chēng)，即B正確；對(duì)于C，由，即，即在時(shí)恒成立，易知在上恒成立，所以可得，解得，即C正確；對(duì)于D,畫(huà)出函數(shù)以及的圖象如下圖所示：易知也關(guān)于對(duì)稱(chēng)，的周期為4，一個(gè)周期與有兩個(gè)交點(diǎn)，5個(gè)周期有10個(gè)交點(diǎn)，與在共20個(gè)交點(diǎn)，即，故D正確，故選：BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于根據(jù)函數(shù)以及都關(guān)于成中心對(duì)稱(chēng)，再由函數(shù)周期性計(jì)算可得結(jié)果.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，則向量與的夾角大小為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算和向量模的坐標(biāo)運(yùn)算，求出向量夾角的余弦值，可得夾角的大小.【詳解】向量，則.因?yàn)橄蛄繆A角范圍為,所以向量與的夾角大小為.故答案為：.13.已知，則______.【答案】【解析】【分析】利用恒等變換公式以及商數(shù)關(guān)系進(jìn)行化簡(jiǎn)并計(jì)算.【詳解】因?yàn)?，而，所以，，故答案為?14.設(shè)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，用表示中的較小者．若函數(shù)至少有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】設(shè)，，分析可知函數(shù)至少有一個(gè)零點(diǎn)，可得出，求出的取值范圍，然后對(duì)實(shí)數(shù)的取值范圍進(jìn)行分類(lèi)討論，根據(jù)題意可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，綜合可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè)，，由可得.要使得函數(shù)至少有個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)至少有一個(gè)零點(diǎn)，則，解得或.①當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)、的圖象如下圖所示：此時(shí)函數(shù)只有兩個(gè)零點(diǎn)，不合乎題意；②當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為、，要使得函數(shù)至少有個(gè)零點(diǎn)，則，所以，，解得；③當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)、的圖象如下圖所示：由圖可知，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為，合乎題意；④當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為、，要使得函數(shù)至少有個(gè)零點(diǎn)，則，可得，解得，此時(shí).綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及驗(yàn)算步驟.15.已知向量與的夾角為，且，，若，.（1）當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)的值；（2）求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，結(jié)合向量數(shù)量積定義及運(yùn)算律即可求解；（2）由，平方得到，通過(guò)配方法即可求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以，即，所以，因?yàn)橄蛄颗c的夾角為，且，，所以，所以，所以.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以，由?）知，且，，所以，則，故當(dāng)時(shí)，最小為.16.已知函數(shù)，的圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心到最近的對(duì)稱(chēng)軸的距離為．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，再向右平移，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在區(qū)間上的值域．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）先化簡(jiǎn)，再利用相鄰對(duì)稱(chēng)軸與對(duì)稱(chēng)中心的距離求出周期，再求出參數(shù)，然后利用復(fù)合函數(shù)同增異減方式求出單調(diào)遞增區(qū)間即可；（2）先根據(jù)題意求出，然后求其值域即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，又由題，所以，所以，令，，則，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，．【小問(wèn)2詳解】由（1），故由題意可得，∵，∴，故，所以，即．17.在中，角的對(duì)邊分別為，且（1）求角；（2）已知，角C的角平分線交AB于D點(diǎn)，求CD長(zhǎng)度的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理邊化角得到，再結(jié)合輔助角公式即可求解；（2）由，得到，再由正弦定理得到，，代入結(jié)合輔助角公式得到，令，由，求解即可.【小問(wèn)1詳解】，，，又，，所以，即，，，.【小問(wèn)2詳解】由于，，，..由正弦定理：，，因?yàn)?，所以，則令，則，，，則，令，由解析式可知在單調(diào)遞增，所以，即長(zhǎng)度的最大值為.18.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值（2）若函數(shù)有兩個(gè)不同零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍（3）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為．證明：【答案】（1）0（2）（3）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)最大值；（2）原函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為方程有2個(gè)不等實(shí)根，分離參數(shù)后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)大致變化趨勢(shì)，即可得出的取值范圍；（3）利用（1）中函數(shù)的單調(diào)性，令可得出，即，即可得證.【小問(wèn)1詳解】時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，.【小問(wèn)2詳解】由題意，有兩個(gè)不等實(shí)根，即有兩個(gè)不等實(shí)根，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，且時(shí)，，，所以當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不等實(shí)根，即函數(shù)有兩個(gè)不同零點(diǎn).【小問(wèn)3詳解】由（1）知，時(shí)，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即，令，則，即，所以，令，則，所以，即【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：證明數(shù)列不等式時(shí)，利用（1）中函數(shù)單調(diào)性，令，合理構(gòu)造含有的不等式，是解題的關(guān)鍵，其中對(duì)分析，推理能力要求較高，屬于難度較大問(wèn)題.19.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）在和之間插入1個(gè)數(shù)，使成等差數(shù)列；在和之間插入2個(gè)數(shù)，使成等差數(shù)列；依次類(lèi)推，在和之間插入個(gè)數(shù)，使成等差數(shù)列.（i）若，求；（ii）對(duì)于（i）中的，是否存在正整數(shù)，使得成立？若存在，求出所有的正整數(shù)對(duì)；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】（1）（2）（i）；（ii）存在，和【解析】【分析】（1）利用與的關(guān)系，可求得.（2）利用錯(cuò)位相減法，得到，