PAGE6初中生“方程與不等式”解題中的錯誤分析及對策—以H實(shí)驗(yàn)中學(xué)為例摘要數(shù)與式、方程與不等式和函數(shù)三大板塊是初中數(shù)學(xué)“數(shù)與代數(shù)”這一部分的主要內(nèi)容。其中解方程和不等式以數(shù)的相關(guān)運(yùn)算為基礎(chǔ)，且學(xué)生對它的理解與掌握又將進(jìn)一步影響著后面函數(shù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，所以“方程與不等式”在初中數(shù)學(xué)“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域占有中心地位。對于初中生，能否把握住方程中的“建模”和“化歸”兩大思想是他們的學(xué)習(xí)難點(diǎn)，學(xué)生在列方程、解方程過程中也容易出現(xiàn)各種各樣的錯誤，所以研究“方程與不等式”解題中的錯誤及相應(yīng)的對策是極有意義的。本文先從方程與不等式和數(shù)學(xué)解題錯誤的相關(guān)概述出發(fā)，分別采用了文獻(xiàn)索引法、調(diào)查研究法和案例分析法等研究方法，隨機(jī)選取了安徽省安慶市H實(shí)驗(yàn)中學(xué)的201名九年級學(xué)生和部分?jǐn)?shù)學(xué)教師作為研究對象，對當(dāng)今初中生在“方程與不等式”的學(xué)習(xí)中易出現(xiàn)的解題錯誤進(jìn)行了認(rèn)真研究和分析，并給出了教學(xué)策略。關(guān)鍵詞：初中生；方程與不等式；錯誤類型；歸因分析；教學(xué)對策目錄TOC\o"1-2"\h\z\u摘要 IAbstract II1.引言 12.概述 12.1方程與不等式 12.2數(shù)學(xué)解題錯誤 23.研究思路與方法 23.1研究思路 23.2研究對象 33.3研究方法 34.學(xué)生“方程與不等式”解題錯誤的調(diào)查結(jié)果與分析 44.1“方程與不等式”解題中的錯誤類型 44.2“方程與不等式”解題錯誤的原因分析 65.提高學(xué)生“方程與不等式”解題質(zhì)量的教學(xué)對策 85.1提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣 85.2加強(qiáng)知識教學(xué) 95.3.提高數(shù)學(xué)能力 95.4培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)解題習(xí)慣 106.小結(jié) 11參考文獻(xiàn) 121.引言《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）指出了初中數(shù)學(xué)的10個核心概念，對義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)作了內(nèi)涵界定和水平劃分。[1]要使學(xué)生的核心素養(yǎng)得到發(fā)展，就要具體到培養(yǎng)他們每一門學(xué)科的核心素養(yǎng)。學(xué)生在習(xí)得知識和解答題目的過程中，不可避免地會發(fā)生一些錯誤，而這些錯誤在某種程度上顯現(xiàn)出學(xué)生在分析問題、運(yùn)用知識和解題思維等方面的不足，也體現(xiàn)出他們核心素養(yǎng)發(fā)展的不均衡。[2]初中數(shù)學(xué)“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的核心內(nèi)容是“方程與不等式”，它用數(shù)學(xué)的表示形式來表示實(shí)際問題中的相等關(guān)系和不等關(guān)系，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再將數(shù)學(xué)問題回歸到實(shí)際問題中去。通過翻閱大量的文獻(xiàn)，發(fā)現(xiàn)目前國內(nèi)關(guān)于“數(shù)與代數(shù)”的研究文章還是很多的，但大部分的研究方向都集中在教材比較、教學(xué)設(shè)計(jì)以及教學(xué)策略等方面，而研究學(xué)生在解方程與不等式中的錯誤的文獻(xiàn)卻是比較少的。一方面，數(shù)學(xué)習(xí)題理論包括了解題錯誤，本研究通過收集整理大量真實(shí)的解題錯誤案例，豐富了數(shù)學(xué)習(xí)題理論的研究素材；另一方面，本研究主要以“方程與不等式”的解題錯誤為研究方向，其研究結(jié)果可以為后期的相關(guān)研究提供一定的參考，也為自己日后的教學(xué)奠定基礎(chǔ)。本文基于初中生方程與不等式解題現(xiàn)狀進(jìn)行相關(guān)研究，以學(xué)生在平時作業(yè)和測試卷中出現(xiàn)的典型錯誤為承載物，歸納錯誤類型、剖析錯誤成因、提出教學(xué)對策。本研究隨機(jī)選取了安徽省安慶市H實(shí)驗(yàn)中學(xué)的201名九年級學(xué)生和部分?jǐn)?shù)學(xué)教師作為研究對象，采用文獻(xiàn)分析法、調(diào)查研究法、案例分析法等多種方法，收集相關(guān)數(shù)據(jù)并對其進(jìn)行整理與分析。2.概述2.1方程與不等式滬科版初中數(shù)學(xué)教材中將方程定義為：“含有未知數(shù)的等式”，而用不等號（“>，<，≥，≤，≠”）連接兩個數(shù)或代數(shù)式以表示它們之間不等關(guān)系的式子叫做“不等式”，如x>5，3x≤7，x≠3。按照時間順序，學(xué)生于七年級先后學(xué)習(xí)了一元一次方程、二元一次方程（組）、三元一次方程組、分式方程和一元一次不等式（組），在八年級時學(xué)習(xí)了一元二次方程的內(nèi)容。其中三元一次方程組在課本中被標(biāo)注為選學(xué)的內(nèi)容，并且它所蘊(yùn)含的“消元”思想學(xué)生在學(xué)習(xí)二元一次方程組時已有所了解，故此研究中不作考慮。所以，本文中的2.2數(shù)學(xué)解題錯誤對于錯誤，鄭毓信曾在《數(shù)學(xué)教育的現(xiàn)代展望》中寫到:有些教師常把學(xué)生各種有別于“標(biāo)準(zhǔn)觀念”的思維或行為當(dāng)作錯誤。[3]“標(biāo)準(zhǔn)觀念”指的是教材、權(quán)威專家或教師自身的觀念，即是說這些教師對于錯誤的理解是從數(shù)學(xué)知識或者教師自身的立場出發(fā)的，并非基于學(xué)生主動建構(gòu)學(xué)習(xí)的視角。布魯索認(rèn)為，錯誤不是失誤，也不是偶然發(fā)生的結(jié)果，對學(xué)生錯誤的定義不能過分地簡單化，正是由于產(chǎn)生的錯誤才能進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生對知識學(xué)習(xí)的興趣。如何對學(xué)生的錯誤和失敗進(jìn)行定義，他認(rèn)為應(yīng)該將“錯誤”與“困難”這兩個概念相結(jié)合。[4]郜舒竹，薛漣霞也指出，關(guān)于錯誤的定義不能過于籠統(tǒng)或者哲學(xué)化，依據(jù)學(xué)生的認(rèn)知和思維特征，以犯錯誤的主體一一學(xué)生為出發(fā)點(diǎn)來進(jìn)行概念界定。[5]通過對以上論述的梳理，我們發(fā)現(xiàn)長期以來一直沒有人關(guān)于錯誤給出一個清晰明確的界定，然而對于學(xué)生錯誤的研究卻一直沒有停止。本文主要以學(xué)生在課堂教學(xué)、平時作業(yè)以及測試卷中出現(xiàn)的解題錯誤為研究背景，而學(xué)生在解題中所用的技巧或策略則不予研究。因?yàn)樾枰占罅康脑假Y料來支撐研究結(jié)論，所以對于學(xué)生在解答過程中沒有使用最優(yōu)的解題方法卻取得了對的結(jié)果這種情況則不在研究范圍內(nèi)。本文對數(shù)學(xué)解題以及數(shù)學(xué)解題錯誤做出如下界定：數(shù)學(xué)解題即個體根據(jù)一定的目標(biāo)，以自己已有的知識為橋梁，去實(shí)現(xiàn)將題目的初始狀態(tài)轉(zhuǎn)化到目標(biāo)狀態(tài)。但在數(shù)學(xué)解題的過程中，由于學(xué)生在分析問題、提取運(yùn)用相應(yīng)的知識等環(huán)節(jié)存在一定的障礙或受到干擾卻未能完全將其克服，因此在敘述或書寫解題的過程和結(jié)論時產(chǎn)生錯誤，這種表現(xiàn)就是數(shù)學(xué)解題錯誤。3.研究思路與方法3.1研究思路首先，收集作為研究對象的201名學(xué)生關(guān)于方程與不等式在課堂作業(yè)、家庭作業(yè)和考試卷中出現(xiàn)的錯誤解題，對錯題進(jìn)行整理、統(tǒng)計(jì)和歸類；隨后，依托查閱到的相關(guān)文獻(xiàn)理論，概括出關(guān)于方程與不等式的解題有哪些錯誤類型；然后，向?qū)W生發(fā)放調(diào)查問卷并開展具有針對性的師生談話，剖析學(xué)生出現(xiàn)解題錯誤的原因，了解師生對于錯題的態(tài)度、處理方式和利用情況等；最后，從教師和學(xué)生兩方面考慮，具體問題給出具體的應(yīng)對策略。3.2研究對象本研究以安徽省安慶市H實(shí)驗(yàn)中學(xué)為例，隨機(jī)選取了學(xué)校中201名九年級學(xué)生以及5位數(shù)學(xué)教師作為研究對象，5位數(shù)學(xué)教師中3位有10年以上教齡，2位有6年以上教齡。3.3研究方法（1）文獻(xiàn)分析法搜集、整理并分析相關(guān)文獻(xiàn)，翻閱數(shù)學(xué)刊物中有關(guān)數(shù)學(xué)解題的文章，加深對數(shù)學(xué)解題錯誤的認(rèn)識；同時，學(xué)習(xí)戴再平的數(shù)學(xué)習(xí)題理論、波利亞的解題理論等理論知識，借鑒他人關(guān)于方程與不等式的研究，為本研究的開展奠定理論基礎(chǔ)。[6]（2）調(diào)查研究法①觀察法觀察學(xué)生在家庭作業(yè)、課堂作業(yè)和考試卷中出現(xiàn)的關(guān)于方程與不等式的解題錯誤，考察老師和學(xué)生對錯誤的處理情況，獲得系統(tǒng)的第一手資料。②問卷調(diào)查法在參考了相關(guān)文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，同時請教了指導(dǎo)老師和同學(xué)的意見，成功地設(shè)計(jì)出與本研究相匹配的問卷，問卷包括學(xué)情了解、解題過程、錯誤處理和教師教學(xué)四個方面。通過“問卷星”編制在線問卷，利用QQ、微信等社交軟件，逐一向H實(shí)驗(yàn)中學(xué)的部分學(xué)生發(fā)送答題鏈接。在本次調(diào)查中，共發(fā)放問卷201份，且問卷回收率達(dá)100％，其中有效問卷201份。③訪談法教師:和5位數(shù)學(xué)教師進(jìn)行討論交流，了解初中教師分析錯題的能力、面對學(xué)生錯誤的態(tài)度以及將錯題資源運(yùn)用于教學(xué)的情況。學(xué)生：選取部分具有鮮明特點(diǎn)的學(xué)生進(jìn)行訪談，并做好相關(guān)記錄。（3）案例分析法第一步，分析學(xué)生在方程與不等式的解答過程所表現(xiàn)的錯誤，弄清其是屬于哪一種的錯誤類型；第二步，探究學(xué)生為什么會產(chǎn)生這種解題錯誤；第三步，具體問題具體分析，析出可采用的解決方案。4.學(xué)生“方程與不等式”解題錯誤的調(diào)查結(jié)果與分析4.1“方程與不等式”解題中的錯誤類型針對學(xué)生在作業(yè)和試卷中的真實(shí)答題情況，通過研究分析，將九年級學(xué)生在“方程與不等式”解題中出現(xiàn)的主要錯誤類型劃分為以下三種：（1）概念性錯誤數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)，學(xué)生要想形成運(yùn)算的技能，提高分析問題和解決問題的能力，就必須以正確理解并掌握了數(shù)學(xué)概念為前提。學(xué)習(xí)“方程與不等式”的首要任務(wù)就是理解相關(guān)概念和掌握有關(guān)性質(zhì)。[7]作為初中生，對于“幾元幾次方程”，他們需要明白“幾元”指的是未知數(shù)的個數(shù)，在一元方程中“幾次”指未知數(shù)的最高次數(shù)。對于等式或不等式的基本性質(zhì)而言，他們不僅要理解這些基本性質(zhì)，還要在使用時注意應(yīng)用的條件。第一，初中生在解題過程中對方程的概念理解不透徹，導(dǎo)致解題出現(xiàn)錯誤，具體表現(xiàn)在以下幾點(diǎn)：①方程的次數(shù)理解不清，例如，二元一次方程定義“含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1”,但是學(xué)生在解題時經(jīng)常忽視了這個條件，以致在選擇題中不能正確選擇出二元一次方程；②混淆未知數(shù)與字母常數(shù)，例如，學(xué)生誤認(rèn)為π是未知數(shù)，認(rèn)為在方程中只要是字母那必定就是未知數(shù)，但事實(shí)上字母π作為圓周率是個常數(shù)而并非是未知數(shù)，通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)學(xué)生很容易將未知數(shù)與字母常數(shù)這兩個概念混為一談。第二，對基本性質(zhì)的掌握不牢，等式和不等式的基本性質(zhì)是方程與不等式的學(xué)習(xí)重點(diǎn)，而且性質(zhì)的掌握為解方程和解不等式提供理論基礎(chǔ)，兩者的學(xué)習(xí)相輔相成、相互促進(jìn)。學(xué)生在性質(zhì)的應(yīng)用過程中常出現(xiàn)的解題錯誤是：忽視性質(zhì)使用的條件。例如學(xué)生在解分式方程時，忽視分母為零分式?jīng)]有意義，從而導(dǎo)致方程產(chǎn)生了增根。這類錯誤時有發(fā)生，其根本原因是學(xué)生在學(xué)習(xí)方程與不等式時，對等式或不等式的基本性質(zhì)的掌握不牢固，從而忽視性質(zhì)使用的條件，造成解題出現(xiàn)錯誤。第三，一元二次方程根的情況與根的判別式兩者之間有緊密的聯(lián)系，但學(xué)生經(jīng)常模糊二者之間的關(guān)系。在對一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0a≠0QUOTEax2+bx+c=0QUOTEax2+bx+c=0進(jìn)行配方的過程中，得到了一個決定根的情況的式子b2-4acQUOTEb2+4acQUOTEb2-4ac在一元二次方程中，Δ>0?有兩個不等的實(shí)數(shù)根；Δ=0?有兩個相等的實(shí)數(shù)根；Δ<0?無實(shí)數(shù)根；所以，Δ≥0?有（兩個）實(shí)數(shù)根。學(xué)生不能清楚地明白“有（兩個）實(shí)數(shù)根”、“有兩個不等的實(shí)數(shù)根”、“有兩個相等的實(shí)數(shù)根”這些表述之間的關(guān)系；同樣地，對“Δ≥0”、“Δ>0”、“Δ=0”三個式子之間的區(qū)別與聯(lián)系也模糊不清。因此，學(xué)生在運(yùn)用這三種表述和三個式子的對應(yīng)關(guān)系時總是會出現(xiàn)錯誤。（2）運(yùn)算類錯誤運(yùn)算對于初中數(shù)學(xué)來說具有重要的意義，初中數(shù)學(xué)的運(yùn)算主要有數(shù)的運(yùn)算、式的運(yùn)算和對圖的變換進(jìn)行的運(yùn)算，如果學(xué)生能準(zhǔn)確地進(jìn)行這些運(yùn)算，那么他們對初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不僅感到輕松而且很快樂。初中生的運(yùn)算能力密切影響著“方程與不等式”的解題質(zhì)量。通過研究學(xué)生在“方程與不等式”解題中出現(xiàn)的運(yùn)算類錯誤，總結(jié)出以下兩種現(xiàn)象：第一，法則不清，運(yùn)用不當(dāng)，通過整理統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)學(xué)生出現(xiàn)此類錯誤大多發(fā)生在解分式方程時，下面分述該類錯誤的各種表現(xiàn)：①去分母時，學(xué)生漏乘以某些項(xiàng)，造成方程變形后兩邊不同解；②去括號時，系數(shù)漏乘或符號錯誤，運(yùn)算時沒有依據(jù)乘法分配將括號前的系數(shù)連同符號與括號里面的每一項(xiàng)分別相乘。性質(zhì)、法則是方程與不等式的基礎(chǔ)知識，故學(xué)生對該知識點(diǎn)的記憶需要牢固。等式的基本性質(zhì)、正負(fù)號的處理等正確運(yùn)用，過程書寫規(guī)范，這對于學(xué)生運(yùn)算能力的提高至關(guān)重要。[7]第二，消元法的算理是解二元一次方程組的基礎(chǔ)，如果學(xué)生對此模糊不清，就很容易造成解方程組的錯誤。學(xué)生在解方程組時應(yīng)該依據(jù)其形式選擇最優(yōu)的消元法，方便運(yùn)算，提高解題的正確率。以加減消元法為例，如果某一未知數(shù)的系數(shù)之絕對值相等，則優(yōu)先考慮消去此未知數(shù)，具體方法如下：若在兩個分方程中該未知數(shù)的系數(shù)符號相反，則可通過將兩個方程相加，以此來實(shí)現(xiàn)消去此未知數(shù)的目的；相反，如果該未知數(shù)的系數(shù)符號是相同的，則直接采用減法運(yùn)算就可以達(dá)到“消元”的目的。若該未知數(shù)的系數(shù)成倍數(shù)關(guān)系，則直接對其中一個方程變形，使其系數(shù)相等，再運(yùn)用加減法消元；當(dāng)相同未知數(shù)的系數(shù)都不相同時，同時對兩個方程進(jìn)行變形，轉(zhuǎn)化為絕對值相同的系數(shù)，再用加減法求解?？偠灾巴瑒t減，異則加”是利用加減法消元時需要遵循的原則。調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對加減消元法的算理模糊不清，在解二元一次方程組時未能掌握同號則減，異號則加的要領(lǐng)，導(dǎo)致運(yùn)算關(guān)系錯誤。（3）策略方法類錯誤對于解題，擬定計(jì)劃是其中步驟之一也是關(guān)鍵的一步，在計(jì)劃的擬定中策略方法的抉擇又是核心環(huán)節(jié)，因此選擇合理的解題策略與方法影響著學(xué)生解題的正確性。在調(diào)查研究中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生出現(xiàn)此類錯誤主要表現(xiàn)在：不能正確地識別應(yīng)用題類型，對不熟悉的題目不能正確轉(zhuǎn)化為熟悉問題；方程的解法不夠靈活，采用復(fù)雜或錯誤的解題策略；有很多學(xué)生在思考問題時習(xí)慣性地從已給信息出發(fā)沿著正方向去尋找解題方法，缺乏逆向思維的創(chuàng)新意識。4.2“方程與不等式”解題錯誤的原因分析根據(jù)問卷的調(diào)查結(jié)果，并通過和學(xué)生以及教師的訪談結(jié)果，對以上的解題錯誤類型進(jìn)行歸因分析，探究造成學(xué)生解題錯誤的深層次原因。學(xué)習(xí)興趣表4-1學(xué)生對數(shù)學(xué)、“方程與不等式”的學(xué)習(xí)興趣統(tǒng)計(jì)表題目選項(xiàng)頻數(shù)百分比1.你喜歡數(shù)學(xué)嗎？非常不喜歡157.46%不喜歡2713.43%一般7436.82%喜歡6331.34%非常喜歡2210.95%2.你對“方程與不等式”的內(nèi)容感興趣嗎？很不感興趣83.98%不感興趣6532.34%一般8441.79%感興趣2210.95%非常感興趣2210.95%觀察表4-1中的數(shù)據(jù)，僅有10.95%的學(xué)生非常喜歡數(shù)學(xué)，31.34%選擇了喜歡，表明有將近一半的學(xué)生對數(shù)學(xué)有著較為濃厚的學(xué)習(xí)興趣，其余學(xué)生則持有中立或者不喜歡的態(tài)度；再看代數(shù)之“方程與不等式”，感興趣的學(xué)生比例累計(jì)下降大約20個百分點(diǎn)，選擇一般的學(xué)生明顯增多。2018年國家義務(wù)教育質(zhì)量監(jiān)測結(jié)果顯示，八年級學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣高和較高的占比為67.9%。根據(jù)本次調(diào)研結(jié)果，九年級相對有所下降。綜合上述分析，有一半以上的學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)表現(xiàn)出興趣不足的特點(diǎn)，在“方程與不等式”方面更為明顯。（2）組織結(jié)構(gòu)學(xué)習(xí)是一個螺旋式上升的過程，隨著年級的增長，學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)逐漸豐富并不斷更新完善。良好的知識儲備是成功解題的“物質(zhì)”基礎(chǔ)，如果學(xué)生對題目所涉及的知識點(diǎn)模糊混淆，那么在解題的過程中必然會出現(xiàn)認(rèn)知困難與障礙而造成錯誤的發(fā)生。①聽課質(zhì)量表4-2學(xué)生“方程與不等式”聽課質(zhì)量統(tǒng)計(jì)表題目選項(xiàng)頻數(shù)百分比4.在學(xué)習(xí)“方程與不等式”過程中，你的聽課質(zhì)量怎么樣？沒有聽10.5%聽不懂，也不會做題73.48%能聽懂，但不會做題11255.72%完全能聽懂，且也會做題7939.30%其他21%由表4-2可知，僅有39.30%的學(xué)生認(rèn)為自己在“方程與不等式”的學(xué)習(xí)中聽課質(zhì)量高，有55.72%的學(xué)生出現(xiàn)能聽懂課，但是不會做題的現(xiàn)象，還有3.98%的學(xué)生處于直接不聽或者聽不懂的較差狀態(tài)。②知識儲備表4-3學(xué)生對等量關(guān)系的熟悉度統(tǒng)計(jì)表題目選項(xiàng)頻數(shù)百分比9.你對各類型應(yīng)用題（如數(shù)字、行程、利潤等）中的等量關(guān)系的熟悉度怎么樣？很不熟悉104.98%比較不熟悉6331.34%一般7637.81%比較熟悉3718.41%很熟悉157.46%解決方程應(yīng)用題的關(guān)鍵在于相等關(guān)系的建構(gòu)，學(xué)生對所需等量關(guān)系的熟悉度越高，則列式正確的可能性越大。據(jù)表4-3的調(diào)查結(jié)果顯示，對各類應(yīng)用題等量關(guān)系比較熟悉和很熟悉的學(xué)生比例僅占25.87%，與此相對，比較不熟悉和很不熟悉的學(xué)生占比為36.32%，其余學(xué)生則選擇了熟悉度一般。（3）數(shù)學(xué)能力數(shù)學(xué)能力是指學(xué)習(xí)主體在數(shù)學(xué)的注意、感知、思維、想象和記憶等活動中所表現(xiàn)出的一種強(qiáng)烈的個性特征，這種特征以一定的形式存儲于個體大腦中，具有經(jīng)常性和穩(wěn)定性。學(xué)生在解決有關(guān)方程與不等式的題目時，之所以會出現(xiàn)解題錯誤，有很大一部分原因是能力問題。圖4-1學(xué)生運(yùn)算能力、記憶力自評結(jié)果統(tǒng)計(jì)圖①運(yùn)算能力數(shù)學(xué)的研究對象之一便是數(shù)量關(guān)系，而數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng)對學(xué)生的學(xué)業(yè)質(zhì)量提升至關(guān)重要。初中學(xué)段的代數(shù)內(nèi)容，尤其是“方程與不等式”，它們與數(shù)學(xué)運(yùn)算有著千絲萬縷的聯(lián)系。[8]由圖4-1可知，21.89%的學(xué)生覺得自己的運(yùn)算能力處于偏低水平，38.31%的學(xué)生感覺一般，認(rèn)為較好和很好的學(xué)生占比為39.8%。②記憶力據(jù)圖4-1的結(jié)果顯示，認(rèn)為自身記憶力較好和很好的學(xué)生占比為48.76%，一般水平的比例為35.32%，剩余15.92%的學(xué)生則表示記憶力低下。記憶力是影響學(xué)生解題質(zhì)量的一個重要因素。在訪談中，多數(shù)學(xué)生表示產(chǎn)生錯誤的原因是對已學(xué)過的知識有所忘記，個別教師也解析出遺忘的成分。5.提高學(xué)生“方程與不等式”解題質(zhì)量的教學(xué)對策基于九年級學(xué)生在解決“方程與不等式”問題時出現(xiàn)的錯誤類型和成因分析，依托相關(guān)的教育教學(xué)理論，結(jié)合學(xué)生和教師的訪談結(jié)果，本研究提出了以下具有針對性、可操作性的教學(xué)對策。5.1提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣在中外教育的歷史長河中，有關(guān)學(xué)習(xí)興趣的話題從未間斷?！墩撜Z·雍也》中有言：“知之者不如好之者，好之者不如樂之者”，這句話不僅闡釋了學(xué)習(xí)的“知”、“好”、“樂”三種境界，更強(qiáng)調(diào)了興趣對學(xué)習(xí)的重要性。關(guān)于興趣培養(yǎng)或強(qiáng)化的方法研究已不勝枚舉，而且成果具有一定的實(shí)踐價(jià)值。但應(yīng)注意的是，時代的不斷發(fā)展需要理念的與時俱進(jìn)，唯有審視教學(xué)的本質(zhì)，才能做到以“不變”應(yīng)“萬變”。不管是學(xué)校、家庭還是社會層面，目前的教育評價(jià)還是受“唯分論”思想的影響，所以從成績?nèi)胧痔嵘d趣具有一定的可行性。研究結(jié)果表明，成績低分組學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣不高，這些學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中存在困難甚至焦慮，最糟糕的狀態(tài)便是陷入習(xí)得性無助的失落。教師可以設(shè)置一些簡單任務(wù)，給予后進(jìn)生體驗(yàn)成功的機(jī)會，在一次次的自我突破中培養(yǎng)自信與興趣。“學(xué)生成長在活動中”，這是顧明遠(yuǎn)先生的教育理念之一。活動教育，并非局限于課堂教學(xué)，而是應(yīng)延伸于家庭和社會實(shí)踐。教師應(yīng)以“動手操作、積極思維”為目標(biāo)，根據(jù)學(xué)生的年齡和心理特征，精心設(shè)計(jì)豐富多樣的教學(xué)活動，讓學(xué)生在自主參與的過程中汲取知識，啟迪智慧。5.2加強(qiáng)知識教學(xué)教師必須充分發(fā)揮教學(xué)智慧，將教材“教學(xué)化”，使其從“學(xué)術(shù)形態(tài)”轉(zhuǎn)化為易于被學(xué)生學(xué)習(xí)理解的“教育形態(tài)”；正確處理知識教學(xué)和解題教學(xué)之間的關(guān)系，依據(jù)學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，找準(zhǔn)新知識的生長點(diǎn)，理清知識網(wǎng)絡(luò)的經(jīng)緯。（1）依托情境，由具體到抽象，自然生成知識數(shù)學(xué)知識并非無源之水，在知識教學(xué)中，通過創(chuàng)設(shè)有意義的情境，從實(shí)際事物或?qū)W生已有知識經(jīng)驗(yàn)出發(fā)引入新概念，挖掘概念的內(nèi)涵和外延，建立概念間的聯(lián)系，在理解的基礎(chǔ)上應(yīng)用。（2）借助思維導(dǎo)圖等工具構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)建立一個相對完備的知識體系，借助思維導(dǎo)圖類的教學(xué)工具（如：X—mind）呈現(xiàn)，不僅可以增進(jìn)知識的理解，還可以輔助記憶。以某一核心知識點(diǎn)作為思維導(dǎo)圖的原點(diǎn)，向各個方向延伸不同的分支和節(jié)點(diǎn)，使用線條、符號、關(guān)鍵詞、圖形和表格等，并通過“顏色管理”提升整體形象性和直觀性。教師在課堂教學(xué)中，尤其是復(fù)習(xí)課，可以一邊進(jìn)行繪制說明與示范，一邊引導(dǎo)學(xué)生共同梳理。當(dāng)繪圖的要領(lǐng)掌握之后，便可鼓勵學(xué)生自主或者合作嘗試，并以課外作品的形式匯報(bào)與分享。[9]5.3.提高數(shù)學(xué)能力數(shù)學(xué)運(yùn)算，其實(shí)質(zhì)就是依據(jù)有關(guān)定義，利用法則、公式等從已知數(shù)據(jù)和算式推導(dǎo)結(jié)果的過程。數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，不僅指數(shù)值運(yùn)算的能力，還包括數(shù)式變形的能力，而且要求運(yùn)算的正確性、迅速性和合理性。比如，理解消元法的算理、正確根據(jù)法則去分母、建立符號意識、實(shí)施簡便運(yùn)算等，這些都是運(yùn)算能力的表現(xiàn)。運(yùn)算能力的提升，應(yīng)注意以下幾個方面：（1）重視數(shù)學(xué)運(yùn)算部分學(xué)生并未意識到數(shù)學(xué)運(yùn)算的重要性，重視程度不夠，教師應(yīng)在教學(xué)中予以強(qiáng)調(diào)。例如，在某次測試之后，由學(xué)生自行或分組合作去統(tǒng)計(jì)運(yùn)算類錯誤引起的失分，并計(jì)算該類失分與總失分的百分比，以此引起思想上的重視。（2）牢固掌握法則加強(qiáng)基礎(chǔ)知識教學(xué)，是提升運(yùn)算能力最根本的方法。在運(yùn)算推理的過程中，法則混淆不清或者遺忘必然影響結(jié)果的正確與否。教學(xué)中應(yīng)注意：①從具體到抽象，由感性到理性，自然導(dǎo)出法則或公式，理清來龍去脈，明確條件和結(jié)論以及適用范圍；②在理解的基礎(chǔ)上，嘗試用自己的語言準(zhǔn)確表達(dá)，深化理解和記憶。對于易混淆的法則，通過辨別同異的“比較記憶法”進(jìn)行識記。隨后對識記內(nèi)容進(jìn)行加工、整理和歸類，便可采用“聯(lián)想記憶法”或“分類記憶法”；③設(shè)計(jì)針對性隨堂練習(xí)鞏固所學(xué)，評估教學(xué)效果，并對典型錯誤及時糾正。（3）靈活選擇方法數(shù)學(xué)運(yùn)算具有兩重性，一方面由于多數(shù)運(yùn)算具有一定的模式可循而顯得呆板，另一方面又因選擇的方法不同、繁簡各異而未失靈活。例如，代數(shù)變形的基本方法有“湊”、“配”、“拆”、“消”、“換”等。[10]正確、迅速而又合理運(yùn)算的前提是通法、算理、算法的掌握和技能技巧的熟練，但也要注意克服思維定勢所引起的消極影響，培養(yǎng)發(fā)散思維。5.4培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)解題習(xí)慣（1）培養(yǎng)良好的審題習(xí)慣解題思路緣于對題中關(guān)鍵信息的把握與條件間邏輯關(guān)系的確立，學(xué)生必須辨明已知條件和目標(biāo)結(jié)果，在此基礎(chǔ)上探尋二者的聯(lián)系。部分學(xué)生在用方程或不等式模型解決實(shí)際問題時，“設(shè)元”時除了不帶單位等問題之外，所設(shè)未知數(shù)與題中條件關(guān)系甚遠(yuǎn)的情況時有發(fā)生。學(xué)生在審題過程中應(yīng)具備“已知什么？求什么？如何建立二者的聯(lián)系？”這樣的問題意識，這對思路的獲取和程序的監(jiān)控來說意義深遠(yuǎn)。（2）培養(yǎng)一題多解的習(xí)慣數(shù)學(xué)是思維的體操，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，學(xué)生的思維不斷地發(fā)生與發(fā)展，然而由于個體多方面特征的不同，數(shù)學(xué)思維水平也產(chǎn)生了質(zhì)與量的差異。這種差異性集中體現(xiàn)在數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的養(yǎng)成方面，而靈活性又是數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的精華之一。“一題多解”的解題習(xí)慣有助于學(xué)生脫離思維定勢的負(fù)面影響，從不同的視角思考問題，用多樣的方法解決問題，以此訓(xùn)練思維活動的靈活性。[11]在解題教學(xué)中，教師應(yīng)關(guān)注學(xué)生解題思路和邏輯關(guān)系的建立，針對不同的問題，基于“一題多解”的視角去考慮解法的生成過程，從學(xué)情出發(fā)思索引導(dǎo)和呈現(xiàn)的形式與方法，滲透數(shù)學(xué)思想方法的教育。6.小結(jié)本文以調(diào)查的形式，借助查閱大量的調(diào)查研究成果和文