2026屆江蘇省連云港市海頭高級中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為該拋物線上的動點(diǎn)，若，則當(dāng)最大時(shí)，（）A. B.1C. D.22．如圖，平行六面體中，與的交點(diǎn)為，設(shè)，則選項(xiàng)中與向量相等的是（）A. B.C. D.3．曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最小值是（）A.3 B.C.2 D.4．已知橢圓方程為：，則其離心率為（）A. B.C. D.5．在正四面體中，點(diǎn)為所在平面上動點(diǎn)，若與所成角為定值，則動點(diǎn)的軌跡是（）A.圓 B.橢圓C.雙曲線 D.拋物線6．已知圓，過點(diǎn)P的直線l被圓C所截，且截得最長弦的長度與最短弦的長度比值為5∶4，若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則最大值為（）A.3 B.4C.5 D.67．已知點(diǎn)，則滿足點(diǎn)到直線的距離為，點(diǎn)到直線距離為的直線的條數(shù)有（）A.1 B.2C.3 D.48．若命題“或”與命題“非”都是真命題，則A.命題與命題都是真命題B.命題與命題都是假命題C.命題是真命題，命題是假命題D.命題是假命題，命題是真命題9．在等比數(shù)列中，，則的公比為（）A. B.C. D.10．若，則的值為（）A.或 B.或C.1 D.－111．與向量平行，且經(jīng)過點(diǎn)的直線方程為（）A. B.C. D.12．函數(shù)y＝ln（1﹣x）的圖象大致為（）A. B.C D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某學(xué)校要從6名男生和4名女生中選出3人擔(dān)任進(jìn)博會志愿者，則所選3人中男女生都有的概率為___________.（用數(shù)字作答）14．已知函數(shù)，若有兩個(gè)零點(diǎn)，則的范圍是______15．已知點(diǎn)，，，則外接圓的圓心坐標(biāo)為________16．已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過點(diǎn)F斜率為的直線與拋物線C交于點(diǎn)M（M在x軸的上方），過M作于點(diǎn)N，連接NF交拋物線C于點(diǎn)Q，則__________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，一個(gè)湖的邊界是圓心為的圓，湖的一側(cè)有一條直線型公路，湖上有橋（是圓的直徑）.規(guī)劃在公路上選兩個(gè)點(diǎn)、，并修建兩段直線型道路、.規(guī)劃要求，線段、上的所有點(diǎn)到點(diǎn)的距離均不小于圓的半徑.已知點(diǎn)到直線的距離分別為和（為垂足），測得，，（單位：百米）.（1）若道路與橋垂直，求道路的長；（2）在規(guī)劃要求下，點(diǎn)能否選在處？并說明理由.18．（12分）已知圓的圓心在直線上，與軸正半軸相切，且被直線：截得的弦長為.（1）求圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)在圓上運(yùn)動，點(diǎn)，且點(diǎn)滿足，記點(diǎn)的軌跡為.①求的方程，并說明是什么圖形；②試探究：在直線上是否存在定點(diǎn)(異于原點(diǎn))，使得對于上任意一點(diǎn)，都有為一常數(shù)，若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.19．（12分）如圖，在正方體中，為棱的中點(diǎn).求證：（1）平面；（2）求直線與平面所成角的大小.20．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，底面為矩形，，，為的中點(diǎn)，.請用空間向量知識解答下列問題：（1）求線段的長；（2）若為線段上一點(diǎn)，且，求平面與平面夾角的余弦值.21．（12分）2021年2月12日，辛丑牛年大年初一，由賈玲導(dǎo)演的電影《你好，李煥英》上映，截至到2月21日22點(diǎn)8分，票房攀升至40.25億，反超同期上映的《唐人街探案3》，迎來了2021春節(jié)檔最具戲劇性的一幕．正是因?yàn)橛捌心概g的這份簡單、純粹、誠摯的情感觸碰了人們內(nèi)心柔軟的地方，打動了萬千觀眾，才贏得了良好的口碑，不少觀眾都流下了感動的淚水．影片結(jié)束后，某電影院工作人員當(dāng)日隨機(jī)抽查了100名觀看《你好，煥英》的觀眾，詢問他們在觀看影片的過程中是否“流淚”，得到以下表格：男性觀眾女性觀眾合計(jì)流淚20沒有流淚520合計(jì)（1）完成表格中的數(shù)據(jù)，并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為觀眾在觀看影片的過程中流淚與性別有關(guān)？（2）以分層抽樣的方式，從流淚與沒有流淚的觀眾中抽取5人，然后從這5人中再隨機(jī)抽取2人，求這2人都流淚的概率附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828，22．（10分）為讓“雙減”工作落實(shí)到位，某中學(xué)積極響應(yīng)上級號召，全面推進(jìn)中小學(xué)生課后延時(shí)服務(wù)，推行課后服務(wù)“”模式，開展了內(nèi)容豐富、形式多樣、有利于學(xué)生身心成長的活動.該中學(xué)初一共有700名學(xué)生其中男生400名、女生300名.為讓課后服務(wù)更受歡迎，該校準(zhǔn)備推行體育類與藝術(shù)類兩大類活動于2021年9月在初一學(xué)生中進(jìn)行了問卷調(diào)查.（1）調(diào)查結(jié)果顯示：有的男學(xué)生和的女學(xué)生愿意參加體育類活動，其他男學(xué)生與女學(xué)生都不愿意參加體育類活動，請完成下邊列聯(lián)表.并判斷是否有的把握認(rèn)為愿意參加體育類活動與學(xué)生的性別相關(guān)？愿意參加體育活動情況性別愿意參加體育類活動不愿意參加體育類活動合計(jì)男學(xué)生女學(xué)生合計(jì)（2）在開展了兩個(gè)月活動課后，為了了解學(xué)生的活動課情況，在初一年級學(xué)生中按男女比例分層抽取7名學(xué)生調(diào)查情況，并從這7名學(xué)生中隨機(jī)選擇3名學(xué)生進(jìn)行展示，用X表示選出進(jìn)行展示的3名學(xué)生中女學(xué)生的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.0.1000.0500.0250.0102.7063.8415.0246.635參考公式：，其中.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合換元法、配方法進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)P為該拋物線上的動點(diǎn)，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)設(shè)為，拋物線的焦點(diǎn)為F，所以，拋物線的準(zhǔn)線方程為：，因此，令，，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為1，此時(shí).故選：B2、B【解析】利用空間向量加減法、數(shù)乘的幾何意義，結(jié)合幾何體有，進(jìn)而可知與向量相等的表達(dá)式.【詳解】連接，如下圖示：，.故選：B3、D【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)切點(diǎn)為，依題意即過切點(diǎn)的切線恰好與直線平行，此時(shí)切點(diǎn)到直線的距離最小，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，再利用點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，所以，設(shè)切點(diǎn)為，則，解得，所以切點(diǎn)為，點(diǎn)到直線的距離，所以曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最小值是；故選：D4、B【解析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，確定，計(jì)算離心率即可.【詳解】由知，，，，即，故選：B5、B【解析】把條件轉(zhuǎn)化為與圓錐的軸重合，面與圓錐的相交軌跡即為點(diǎn)的軌跡后即可求解.【詳解】以平面截圓錐面，平面位置不同，生成的相交軌跡可以為拋物線、雙曲線、橢圓、圓.令與圓錐的軸線重合，如圖所示，則圓錐母線與所成角為定值，所以面與圓錐的相交軌跡即為點(diǎn)的軌跡.根據(jù)題意，不可能垂直于平面即軌跡不可能為圓.面不可能與圓錐軸線平行，即軌跡不可能是雙曲線.可進(jìn)一步計(jì)算與平面所成角為，即時(shí)，軌跡為拋物線，時(shí)，軌跡為橢圓，，所以軌跡為橢圓.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了平面截圓錐面所得軌跡問題，考查了轉(zhuǎn)化化歸思想，屬于難題.6、C【解析】由題意，點(diǎn)P在圓C內(nèi)，且最長弦的長度為直徑長10，則最短弦的長度為8，進(jìn)而可得，所以點(diǎn)P的軌跡為以C為圓心，半徑為3的圓，從而即可求解.【詳解】解：由題意，圓，所以圓C是以為圓心，半徑為5的圓，因?yàn)檫^點(diǎn)P的直線l被圓C所截，且截得最長弦的長度與最短弦的長度比值為5∶4，所以點(diǎn)P在圓C內(nèi)，且最長弦的長度為直徑長10，則最短弦的長度為8，所以由弦長公式有，所以點(diǎn)P的軌跡為以C為圓心，半徑為3的圓，所以，故選：C.7、D【解析】以為圓心，為半徑，為圓心，為半徑分別畫圓，將所求轉(zhuǎn)化為求圓與圓的公切線條數(shù)，判斷兩圓的位置關(guān)系，從而得公切線條數(shù).【詳解】以為圓心，為半徑，為圓心，為半徑分別畫圓，如圖所示，由題意，滿足點(diǎn)到直線的距離為，點(diǎn)到直線距離為的直線的條數(shù)即為圓與圓的公切線條數(shù)，因?yàn)?，所以兩圓外離，所以兩圓的公切線有4條，即滿足條件的直線有4條.故選：D【點(diǎn)睛】解答本題的關(guān)鍵是將滿足點(diǎn)到直線的距離為，點(diǎn)到直線距離為的直線的條數(shù)轉(zhuǎn)化為圓與圓的公切線條數(shù)，從而根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系判斷出公切線條數(shù).8、D【解析】因?yàn)榉莗為真命題，所以p為假命題，又p或q為真命題，所以q為真命題，選D.9、D【解析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)把方程都變成和有關(guān)的式子后進(jìn)行求解.【詳解】由等比數(shù)列的等比中項(xiàng)性質(zhì)可得，又，所以，因，所以，所以,故選：D.10、B【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由方程求解即可.【詳解】，，解得或，故選：B11、A【解析】利用點(diǎn)斜式求得直線方程.【詳解】依題意可知，所求直線的斜率為，所以所求直線方程為，即.故選：A12、C【解析】根據(jù)函數(shù)的定義域和特殊點(diǎn)，判斷出正確選項(xiàng).【詳解】由，解得，也即函數(shù)的定義域?yàn)椋纱伺懦鼳,B選項(xiàng).當(dāng)時(shí)，，由此排除D選項(xiàng).所以正確的為C選項(xiàng).故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)圖像識別，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##0.8【解析】由排列組合知識求得所選3人中男女生都有方法數(shù)及總的選取方法數(shù)后可計(jì)算概率【詳解】從6名男生和4名女生中選出3人的方法數(shù)是，所選3人中男女生都有的方法數(shù)為，所以概率為故答案為：14、【解析】利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，結(jié)合函數(shù)的圖象列式可求出結(jié)果.【詳解】,當(dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù)，最多只有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，令，得，令，得，所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以在時(shí)取得極小值為，也是最小值，因?yàn)楫?dāng)趨近于正負(fù)無窮時(shí)，都是趨近于正無窮，所以要使有兩個(gè)零點(diǎn)，只要，即就可以了.所以的范圍是故答案為：.15、【解析】求得的垂直平分線的方程，在求得垂直平分線的交點(diǎn)，則問題得解.【詳解】線段中點(diǎn)坐標(biāo)為，線段斜率為，所以線段垂直平分線的斜率為，故線段的垂直平分線方程為，即.線段中點(diǎn)坐標(biāo)為，線段斜率為，所以線段垂直平分線的斜率為，故線段的垂直平分線方程為，即.由.所以外接圓的圓心坐標(biāo)為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查直線方程的求解，直線交點(diǎn)坐標(biāo)的求解，屬綜合基礎(chǔ)題.16、【解析】由題意畫出圖形，寫出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立求出的坐標(biāo)，進(jìn)一步求出的坐標(biāo)，求得即可求解【詳解】解：如圖，由拋物線，得，，則，與拋物線聯(lián)立得，解得、，，，，，為等邊三角形，，過作軸的垂線交軸于，設(shè)，，，，，在拋物線上，，解得，，，，則，故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）15（百米）（2）點(diǎn)選在處不滿足規(guī)劃要求，理由見解析【解析】（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，得圓及直線的方程，進(jìn)而得解.（2）不妨點(diǎn)選在處，求方程并求其與圓的交點(diǎn)，在線段上取點(diǎn)不符合條件，得結(jié)論.【小問1詳解】如圖，過作，垂足為.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系.因?yàn)闉閳A的直徑，，所以圓的方程為.因?yàn)椋?，所以，故直線的方程為，則點(diǎn)，的縱坐標(biāo)分別為3，從而，，直線的斜率為.因?yàn)?，所以直線的斜率為，直線的方程為.令，得，，所以.因此道路的長為15（百米）.【小問2詳解】若點(diǎn)選在處，連結(jié)，可求出點(diǎn)，又，所以線段.由解得或，故不妨取，得到在線段上的點(diǎn)，因?yàn)椋跃€段上存在點(diǎn)到點(diǎn)的距離小于圓的半徑5.因此點(diǎn)選在處不滿足規(guī)劃要求.18、（1）；（2）①，圓；②存在，.【解析】（1）設(shè)圓心，根據(jù)題意，得到半徑，根據(jù)弦長的幾何表示，由題中條件，列出方程求解，得出，從而可得圓心和半徑，進(jìn)而可得出結(jié)果；（2）①設(shè)，根據(jù)向量的坐標(biāo)表示，由題中條件，得到，代入圓的方程，即可得出結(jié)果；②假設(shè)存在一點(diǎn)滿足（其中為常數(shù)），設(shè)，根據(jù)題意，得到，再由①，得到，兩式聯(lián)立化簡整理，得到，推出，求解得出，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)圓心，則由圓與軸正半軸相切，可得半徑.∵圓心到直線的距離，由，解得.故圓心為或，半徑等于.∵圓與軸正半軸相切圓心只能為故圓的方程為；（2）①設(shè)，則：，，∵點(diǎn)A在圓上運(yùn)動即：所以點(diǎn)的軌跡方程為，它是一個(gè)以為圓心，以為半徑的圓；②假設(shè)存在一點(diǎn)滿足（其中為常數(shù)）設(shè)，則：整理化簡得：，∵在軌跡上，化簡得：，所以整理得，解得：；存在滿足題目條件.【點(diǎn)睛】本題主要考查求圓的方程，考查圓中的定點(diǎn)問題，涉及圓的弦長公式等，屬于?？碱}型.19、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）連接，交于，連接，推導(dǎo)出，由此能證明平面.（2）以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線與平面所成角的大小.【詳解】（1）證明：連接，交于，連接，∵在正方體中，是正方形，∴是中點(diǎn)，∵為棱的中點(diǎn)，∴，∵平面，平面，∴平面.（2）解：以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體中棱長為2，則，，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，設(shè)直線與平面所成角的大小為，則，∴，∴直線與平面所成角的大小為.【點(diǎn)睛】(1)求直線與平面所成的角的一般步驟：①找直線與平面所成的角，即通過找直線在平面上的射影來完成；②計(jì)算，要把直線與平面所成的角轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中求解(2)作二面角的平面角可以通過垂線法進(jìn)行，在一個(gè)半平面內(nèi)找一點(diǎn)作另一個(gè)半平面的垂線，再過垂足作二面角的棱的垂線，兩條垂線確定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角20、（1）（2）【解析】（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由已知可得出，求出的值，即可得解；（2）利用空間向量法可求得平面與平面夾角的余弦值.【小問1詳解】解：平面，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則、、、，則，，，則，解得，故.【小問2詳解】解：，則，又、、，所以，，，設(shè)為平面的法向量，則，取，可得，顯然，為平面的一個(gè)法向量，，因此，平面與平面夾角的余弦值為.21、（1）填表見解析；有99.9%的把握認(rèn)為觀眾在觀看影片的過程中流淚與性別有關(guān)；（2）【解析】（1）由已知數(shù)據(jù)可完善列聯(lián)表，然后計(jì)算可得結(jié)論；（2）根據(jù)分層抽樣定義求出5人中流淚與沒