第=page11頁，共=sectionpages11頁2025-2026學(xué)年山西大學(xué)附中高三（上）月考數(shù)學(xué)試卷（1月份）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.等差數(shù)列{an}中，a6=3A.3 B.6 C.9 D.122.已知拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線剛好平分圓(x+2)2A.(1,0) B.(0,1) C.(2,0) D.(0,2)3.從1，2，3，4，5，6，7這7個數(shù)字中依次不放回地隨機(jī)選取兩個數(shù)字，記事件A：“第一次抽到的數(shù)字是奇數(shù)”，事件B：“第二次抽到的數(shù)字是偶數(shù)”，則P(B|A)=(

)A.12 B.37 C.134.邊長為2的等邊三角形ABC的外心為O，則OA?AB=A.?2 B.2 C.23 5.正三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=AA1A.?154 B.?14 6.任何一個復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)都可以表示成z=r(cosθ+isinθ)(r≥0,θ∈R)的形式，通常稱為復(fù)數(shù)的三角形式.法國數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)：[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ)(n∈Z)A.22025(3+i) B.220267.已知雙曲線x24?y2b2=1(b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P為雙曲線右支上一點，△PF1F2的內(nèi)切圓圓心為IA.2 B.23 C.8.關(guān)于x的方程x(eax+lnx)=1?a有兩個不同的解，則實數(shù)aA.0≤a<1e B.a≤1e C.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.下列命題中，正確的有(

)A.“a>b”是“1b>1a”的必要不充分條件

B.若a>b>c>0，則b+ca+c>ba

C.若實數(shù)a，b滿足10.已知(2x?1)8=aA.a0=1 B.a3=494

C.a1+a311.已知正項數(shù)列{an}滿足a1A.a2026=14053 B.存在n∈N?，使得i=1三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知集合A={x|x+12x?1<0}，集合B={y|y=4x,x∈A}，則13.據(jù)調(diào)查，某高校大學(xué)生每個月的生活費X(單位：元)服從正態(tài)分布X～N(2000,σ2)，又P(2000<X<2500)=0.3，已知該校大學(xué)生人數(shù)較多，現(xiàn)從該校所有學(xué)生中，隨機(jī)抽取10位同學(xué)，則這10位同學(xué)中，每月生活費不低于1500的人數(shù)大約有

人14.若△ABC中，∠B=2π3，BC>AB，點D滿足AD=2DC且BD=1，則AC的取值范圍為?四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，△ABC的面積為S且滿足S=3[a2?(b?c)2]4．

(1)求角A的大??；

(2)若∠BAC的平分線交BC于點16.(本小題15分)

如圖，四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD//BC，∠BAD=π2，PA=AD=3，AB=2，BC=4，E為線段PA上一點，且滿足PE=12EA，記平面BCE∩平面PAD=l．

(1)求證：BC//l；

(2)若直線PD與l交于點F，求直線BF17.(本小題15分)

函數(shù)f(x)=sinx．

(1)令F(x)=f(x)+f′(x)?a,x∈[?π2,π2]，若函數(shù)F(x)存在唯一零點，求實數(shù)a的取值范圍；

(2)若18.(本小題17分)

平面直角坐標(biāo)系xOy中，A1(2,λ)，A2(2(1?λ),0)，B1(0,1)，B2(0,?1)，其中0<λ<1，直線A1B1與直線A2B2交于點Q，Q的軌跡為橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一部分．

(1)求橢圓E的方程；

(2)過點P(?4,0)作斜率為k(k>0)的直線l與E交于A，B兩點，

(i)若|AP|+|BP|=μ|AP|?|BP|，求實數(shù)19.(本小題17分)

元旦晚會上，班委為了活躍氛圍，特準(zhǔn)備了“丟沙包”游戲，參與者在指定范圍內(nèi)投擲沙包入框，并制定了兩個小游戲，且每位參與者只能參加其中一項游戲，規(guī)則如下：

游戲一：參與者進(jìn)行投擲，若在投擲過程中累計命中次數(shù)達(dá)到2次，則游戲立即結(jié)束并獲獎，若投擲n次(n≥2且n∈N)后仍未累計命中2次，則游戲結(jié)束，無法獲獎；

游戲二：參與者進(jìn)行投擲，不限投擲次數(shù)，若每次投擲中，命中記得1分，未命中記得?1分，當(dāng)累計得分達(dá)到3分，則游戲立即結(jié)束并獲獎，當(dāng)累計得分達(dá)到?3分，游戲立即結(jié)束，無法獲獎．

現(xiàn)有甲、乙兩位同學(xué)分別參加游戲，且每位同學(xué)每次投擲是否命中相互獨立.已知甲同學(xué)參加游戲一，且每次命中率為13；乙同學(xué)參加游戲二，每次命中率為p(0<p<1)．

(1)當(dāng)n=4時，記甲同學(xué)投擲次數(shù)為X，求X的分布列及期望；

(2)當(dāng)n=k(k≥2且k∈N)時，求甲同學(xué)獲獎的概率(用含k的表達(dá)式表示)；

(3)記甲同學(xué)獲獎時，投擲次數(shù)不超過4次的概率為p0；若乙同學(xué)獲獎概率不小于p0，求p參考答案1.B

2.C

3.A

4.A

5.D

6.C

7.C

8.D

9.BD

10.ACD

11.ABD

12.{x|113.8

14.(315.解：(1)由余弦定理知a2?(b?c)2=a2?b2?c2+2bc=2bc?2bccosA，

又由于S=12bcsinA，

那么2bcsinA=3(2bc?2bccosA)，

化簡為sinA=3(1?cosA)，即sinA+3cosA=3，

那么sin(A+π16.解：(1)證明：因為AD//BC，

且AD?平面PAD，

BC?平面PAD，

所以BC//平面PAD，

又因為BC?平面BCE，

平面BCE∩平面PAD=l，

所以BC//l．

(2)由題可知，PA，AB，AD兩兩相互垂直，

以A為原點建立空間直角坐標(biāo)系，連接EF，BF，如圖所示，

由PE=12EA，得PE=1，AE=2，

由(1)可知EF/?/AD，EF=13AD=1，

所以B(2,0,0)，F(xiàn)(0,1,2)，P(0,0,3)，C(2,4,0)，D(0,3,0)，

所以BF=(?2,1,2)，PD=(0,3,?3)，CD=(?2,?1,0)，

設(shè)平面PCD的法向量n=(x,y,z)，

則PD?n=0CD?n=0，即3y?3z=0?2x?y=0，

設(shè)y=217.解：(1)函數(shù)f(x)=sinx，則f′(x)=cosx，

所以F(x)=sinx+cosx?a=2sin(x+π4)?a．

由F(x)=0，得sin(x+π4)=a2，

函數(shù)F(x)存在唯一零點，則函數(shù)y=sin(x+π4)與y=a2的圖象只有一個交點，

因為x∈[?π2,π2]，所以x+π4∈[?π4,3π4]，

由正弦函數(shù)的圖象可知：?22≤a2<22或a2=1，

解得?1≤a<1或a=2，即實數(shù)a的取值范圍是[?1,1)∪{2}.

(2)18.解：(1)因為A1(2,λ)，A2(2(1?λ),0)，B1(0,1)，B2(0,?1)，

所以直線A1B1：y?1λ?1=x2，直線A2B2：y+11=x2(1?λ)，

兩式相乘得y2?1λ?1=x24(1?λ)，化簡得：x24+y2=1，

即橢圓E的方程為x24+y2=1；

(2)(i)設(shè)直線l的方程為x=ty?4，記A(x1,y1)，B(x2,y2)，

聯(lián)立x=ty?4x24+y2=1，化簡得(t2+4)y2?8ty+12=0，

則Δ=64t2?48(t2+4)>0，即t2>12，

所以y1+y2=8tt2+4,y1y2=12t2+419.解：(1)由題可知：X的取值可能為2，3，4，

P(X=2)=13×13=19，

P(X=3)=X234

P1420所以E(X)=19×2+427×3+2027×4=9827；

(2)記事件A：甲同學(xué)獲獎，顯然，k≥2，

設(shè)Y表示甲投擲的次數(shù)，若甲投擲i(2≤i≤k)次并獲獎，

則P(Y=i)=Ci?11(23)i?2(13)2=14(i?1)(23)i，

所以i=2kP(Y=i)