統(tǒng)計學考試題庫及答案1.單選題1.1某校抽樣調(diào)查400名本科生每日手機使用時長，得樣本均值4.2小時，標準差1.5小時。若欲計算該校全體本科生平均使用時長的95%置信區(qū)間，應選用的臨界值最接近：A.1.65??B.1.96??C.2.33??D.2.58答案：B解析：總體方差未知、樣本量較大（n=400>30），使用t分布近似正態(tài)，95%雙側對應z0.975=1.96。1.2在單因素方差分析中，若組間均方MSB=120，組內(nèi)均方MSW=30，則F統(tǒng)計量值為：A.3??B.4??C.0.25??D.150答案：B解析：F=MSB/MSW=120/30=4。1.3對同一批數(shù)據(jù)分別擬合簡單線性回歸與二次多項式回歸，若二次項系數(shù)顯著不為0，則兩種模型的調(diào)整R2滿足：A.二次模型一定更大??B.簡單線性一定更大??C.二者相等??D.無法確定答案：A解析：增加顯著解釋變量必使普通R2上升，調(diào)整R2亦上升或持平，不會下降。1.4設X~Poisson(λ)，則Var(X)等于：A.λ2??B.λ??C.e^λ??D.1/λ答案：B解析：泊松分布的期望與方差均為λ。1.5在假設檢驗中，若顯著性水平α從0.05降到0.01，則：A.Ⅰ型錯誤概率降低，Ⅱ型錯誤概率升高??B.二者均降低??C.Ⅰ型升高，Ⅱ型降低??D.二者均升高答案：A解析：α減小，拒絕域縮小，更易接受原假設，故Ⅰ型錯誤概率減小，Ⅱ型錯誤概率增大。1.6對0-1變量進行l(wèi)ogistic回歸，解釋變量x的系數(shù)估計為0.8，則x每增加1單位，事件發(fā)生的優(yōu)勢比OR為：A.0.8??B.1.8??C.e^0.8≈2.23??D.ln0.8≈-0.22答案：C解析：logit(p)=β0+β1x，OR=e^β1。1.7下列哪項不是時間序列的平穩(wěn)性必要條件：A.均值恒定??B.方差恒定??C.自協(xié)方差僅與時間間隔有關??D.序列必須正態(tài)答案：D解析：平穩(wěn)性要求前兩階矩穩(wěn)定，并未要求分布形態(tài)。1.8若隨機變量Z~N(0,1)，則P(-1.64<Z<1.64)約為：A.90%??B.95%??C.98%??D.99%答案：A解析：標準正態(tài)雙側90%對應±1.64。1.9對5個獨立樣本方差齊性檢驗，常用：A.Bartlett檢驗??B.Durbin-Watson??C.Ljung-Box??D.Kolmogorov-Smirnov答案：A解析：Bartlett檢驗專用于多組方差齊性。1.10在聚類分析中，若采用Ward法，其合并準則為：A.最小離差平方和增量??B.最大單鏈距離??C.最小重心距離??D.最大組平均答案：A解析：Ward法追求合并后類內(nèi)平方和增量最小。2.多選題（每題至少兩個正確答案，多選少選均不得分）2.1下列哪些統(tǒng)計量具有“無偏性”：A.樣本均值估計總體均值??B.樣本方差s2估計總體方差σ2（分母n-1）??C.樣本標準差s估計σ??D.樣本比例估計總體比例??E.樣本極差估計總體極差答案：ABD解析：s與樣本極差均低估對應參數(shù)，不具備無偏性。2.2關于皮爾遜相關系數(shù)r，正確的有：A.|r|越接近1線性關系越強??B.r=0表示變量獨立??C.對非線性關系r可能接近0??D.r對異常值敏感??E.r無量綱答案：ACDE解析：r=0僅表示無線性相關，未必獨立。2.3下列哪些方法可用于變量選擇：A.逐步回歸??B.LASSO??C.主成分分析??D.嶺回歸??E.彈性網(wǎng)答案：ABE解析：主成分與嶺回歸用于降維或正則，不直接剔除變量。2.4在貝葉斯框架下，下列哪些屬于先驗分布的選取原則：A.共軛性??B.客觀無信息??C.主觀專家知識??D.后驗穩(wěn)健性??E.必須為正態(tài)答案：ABCD解析：先驗無必須正態(tài)之約束。2.5下列哪些圖適合展示兩連續(xù)變量關系：A.散點圖??B.箱線圖??C.熱力圖??D.等高線圖??E.條形圖答案：ACD解析：箱線與條形圖用于分類對比。3.判斷題（正確打“√”，錯誤打“×”）3.1中心極限定理要求總體必須正態(tài)。??答案：×3.2在簡單隨機抽樣中，每個可能樣本被抽中的概率相等。??答案：√3.3若兩變量協(xié)方差為0，則它們一定獨立。??答案：×3.4對偏態(tài)分布，中位數(shù)比均值更穩(wěn)健。??答案：√3.5當多重共線性嚴重時，OLS估計量不再無偏。??答案：×解析：OLS仍無偏，但方差膨脹。4.填空題4.1若X~Binomial(n=50,p=0.2)，則其標準差為____。答案：√(50×0.2×0.8)=√8≈2.8284.2在假設檢驗中，p值=0.03，若α=0.05，則決策為____原假設。答案：拒絕4.3對某時間序列擬合ARIMA(1,1,1)模型，其整合階數(shù)d=____。答案：14.4若隨機變量T服從自由度為15的t分布，則其方差為____。答案：15/(15-2)=1.1538（當ν>2）4.5在列聯(lián)表卡方檢驗中，要求期望頻數(shù)小于5的單元格比例不超過____%。答案：205.簡答題5.1簡述“p值”的正式定義，并指出常見誤用。答案：p值是在原假設為真的前提下，獲得當前或更極端檢驗統(tǒng)計量的概率。常見誤用包括：把p值當成原假設為真的概率、把0.05視為絕對分界、忽略樣本量影響、對多重比較不加校正等。5.2說明多重共線性對回歸建模的具體危害，并給出兩種診斷指標。答案：危害：系數(shù)估計方差膨脹，t檢驗失效，符號反轉，解釋困難。診斷：方差膨脹因子VIF>10視為嚴重；條件數(shù)CN=√(λ_max/λ_min)>30提示共線。5.3寫出兩獨立正態(tài)總體均值檢驗（方差未知但相等）的t統(tǒng)計量公式，并解釋各符號。答案：t=(x??-x??)/[s_p√(1/n?+1/n?)]，其中s_p2=[(n?-1)s?2+(n?-1)s?2]/(n?+n?-2)為合并方差。6.計算題6.1某生產(chǎn)線袋裝食品標稱500g，隨機抽取9袋測得平均495g，樣本標準差6g。假定重量服從正態(tài)，檢驗是否顯著低于標稱值（α=0.05）。答案：H0:μ=500，H1:μ<500。t=(495-500)/(6/√9)=-2.5，df=8，單側臨界-1.86。∵-2.5<-1.86，拒絕H0，認為顯著偏低。p=0.018。6.2已知隨機變量X的密度f(x)=kx2,0<x<2，求k、E(X)、Var(X)。答案：∫?2kx2dx=1?k=3/8。E(X)=∫?2x·kx2dx=k∫x3dx=k·4=1.5。E(X2)=∫x2·kx2dx=k∫x?dx=k·32/5=12/5=2.4。Var(X)=2.4-1.52=0.15。6.3設Y=2X+3，X~Poisson(λ)，求Cov(X,Y)與ρ(X,Y)。答案：Cov(X,Y)=Cov(X,2X+3)=2Var(X)=2λ。ρ=Cov/√(VarX·VarY)=2λ/√(λ·4λ)=1。6.4某市調(diào)查1000名選民支持率，52%表示支持A候選人，求支持率99%置信區(qū)間。答案：p?=0.52，z=2.58，SE=√[0.52×0.48/1000]=0.0158。CI=0.52±2.58×0.0158=(0.479,0.561)。6.5對5支股票30日收益率做等權組合，已知單股日均收益0.08%，標準差1.2%，兩兩相關系數(shù)平均0.3，求組合標準差。答案：σ_p2=(1/5)2×5×1.22+(1/5)2×5×4×0.3×1.22=0.288+0.138=0.426。σ_p=√0.426≈0.653%。7.綜合應用題7.1某電商想評估新頁面設計對轉化率的影響，隨機對2000名訪客展示新頁面（A組），2000名舊頁面（B組）。結果A組240人下單，B組200人下單。（1）建立假設并選擇檢驗方法；（2）計算檢驗統(tǒng)計量與p值；（3）給出業(yè)務結論。答案：（1）H0:pA=pB，H1:pA>pB，單尾z檢驗。（2）p?A=0.12，p?B=0.10，p?=(240+200)/4000=0.11。SE=√[0.11×0.89×(1/2000+1/2000)]=0.0099。z=(0.12-0.10)/0.0099=2.02，單側p=0.022<0.05，拒絕H0。（3）新頁面顯著提升轉化率，增幅約2個百分點，每千訪客多20單，建議全量上線。7.2某連鎖超市記錄24個月銷售額（萬元）與廣告費（萬元），擬合得回歸方程：Sales=3.2+1.85Ad，R2=0.81，殘差標準差s=2.1。下月計劃投入廣告費12萬元。（1）給出銷售額95%預測區(qū)間；（2）若廣告費翻倍至24萬元，是否可用同一模型預測？說明理由。答案：（1）均值標準誤SE_mean=s√[1+1/n+(Ad-Ad?)2/Sxx]，設Ad?=10，Sxx=480，n=24。SE=2.1√[1+1/24+(12-10)2/480]=2.1×1.042≈2.19。t0.975,22=2.07，預測區(qū)間=3.2+1.85×12±2.07×2.19=(22.2±4.5)=(17.7,26.7)萬元。（2）不建議。24萬元超出歷史觀測范圍，外推風險高，模型未驗證線性關系在更高水平仍成立，可能存在收益遞減。7.3某工廠質(zhì)檢對10批零件抽樣，每批5件，記錄不合格數(shù)：2,1,0,3,2,1,0,1,2,3。欲構建p控制圖，求上下控制限。答案：總不合格數(shù)=15，總樣本量=50，p?=15/50=0.3。UCL=p?+3√[p?(1-p?)/n]=0.3+3√[0.3×0.7/5]=0.3+0.61=0.91。LCL=0.3-0.61=-0.31，取0（不合格數(shù)不能負）?？刂葡蓿篬0,0.91]。7.4某城市交通流量模型識別為ARIMA(0,1,1)，估計θ?=0.6，殘差方差25?，F(xiàn)有昨日全日流量480萬輛，今日上午已觀測260萬輛，求今日全日流量的一步超前預測及95%區(qū)間。答案：模型：?x_t=(1-0.6B)ε_t，即x_t=x_{t-1}+ε_t-0.6ε_{t-1}。昨日全日=480，今日預測=480+0=480。殘差方差25，預測方差=25，SE=5。95%區(qū)間=480±1.96×5=(470.2,489.8)萬輛。7.5某醫(yī)療試驗比較兩種降壓藥，隨機30名患者交叉設計，記錄收縮壓差值d（A-B）平均-6mmHg，標準差8mmHg。檢驗A藥是否優(yōu)于B藥（α=0.05）。答案：H0:μd=0，H1:μd<0。t=-6/(8/√30)=-4.11，df=29，單側臨界-1.699。4.11<-1.699，拒絕H0，A藥顯著更優(yōu)。p=0.0003。8.證明題8.1設X?,…,Xn獨立同分布，E(Xi)=μ，Var(Xi)=σ2，證明樣本方差S2=1/(n-1)∑(Xi-X?)2是σ2的無偏估計。答案：E[∑(Xi-X?)2]=E[∑Xi2-nX?2]=nE(Xi2)-nE(X?2)=n(σ2+μ2)-n(σ2/n+μ2)=(n-1)σ2。故E(S2)=σ2，無偏。8.2對簡單線性回歸Yi=β0+β1xi+εi，εi~N(0,σ2)，證明Cov(β?0,β?1)=-x?σ2/Sxx。答案：β?1=∑(xi-x?)Yi/Sxx，β?0=Y?-β?1x?。Cov(Y?,β?1)=0，故Cov(β?0,β?1)=Cov(Y?-β?1x?,β?1)=-x?Var(β?1)=-x?σ2/Sxx。9.設計題9.1某農(nóng)業(yè)研究所欲比較三種肥料對小麥產(chǎn)量的影響，地塊呈3×4的12塊長方形，存在南北肥力梯度。請給出實驗設計方案并說明理由。答案：采用隨機完全區(qū)組設計（RCBD），以東西向條帶為區(qū)組，共4區(qū)組，每區(qū)組內(nèi)3地塊隨機分配3種肥料。可控制南北梯度帶來的系統(tǒng)誤差，提高精度。9.2若進一步懷疑肥料效應與土壤濕度有關，如何改進設計？答案：引入?yún)f(xié)變量分析（ANCOVA），