2026年統(tǒng)計中級資格考試概率與數(shù)理統(tǒng)計模擬試題及答案1.某市交通部門連續(xù)30天記錄早高峰時段（7:30—8:30）通過某橋梁的機動車數(shù)量，數(shù)據(jù)如下（單位：百輛）：21.322.720.923.124.022.521.823.624.222.023.421.622.923.824.522.221.523.024.122.823.721.922.423.324.322.621.723.524.422.3（1）計算樣本均值、樣本中位數(shù)、樣本標準差；（2）以α=0.05檢驗“日均流量是否超過2200輛”；（3）若真實均值為23.5（百輛），求第Ⅱ類錯誤概率β；（4）給出日均流量95%的置信區(qū)間，并解釋其含義?！敬鸢概c解析】（1）樣本均值x?=(∑x_i)/30=674.4/30=22.48（百輛）排序后中位數(shù)位置=(30+1)/2=15.5，取第15、16位平均x_(15)=22.8，x_(16)=22.9?Me=22.85（百輛）樣本方差s2=∑(x_i?x?)2/(n?1)=30.462/29=1.0504s=√1.0504=1.025（百輛）（2）H?:μ≤22，H?:μ>22，單側檢驗t=(x??μ?)/(s/√n)=(22.48?22)/(1.025/√30)=2.56查t分布表，df=29，單側臨界值t?.??=1.6992.56>1.699?拒絕H?，認為日均流量顯著高于2200輛。（3）真實均值μ?=23.5，δ=μ??μ?=1.5非中心參數(shù)λ=δ/(s/√n)=1.5/(1.025/5.477)=8.01查非中心t分布，df=29，λ=8.01，得單側檢驗功效1?β≈0.996?β≈0.004（4）95%置信區(qū)間x?±t?.???·s/√n=22.48±2.045×1.025/5.477=22.48±0.383?(22.10,22.86)（百輛）含義：若重復抽樣構造區(qū)間，約有95%的區(qū)間包含真實日均流量。2.設隨機變量X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，其概率密度函數(shù)f(x)=λe^(?λx),x≥0（1）求P(X≥t+s|X≥s)，并說明無記憶性；（2）若λ=0.02（單位：次/小時），求設備連續(xù)運行50小時不發(fā)生故障的概率；（3）若已有30小時無故障，求接下來20小時仍無故障的概率；（4）給出λ的極大似然估計，并驗證其無偏性。【答案與解析】（1）P(X≥t+s|X≥s)=P(X≥t+s)/P(X≥s)=e^(?λ(t+s))/e^(?λs)=e^(?λt)與s無關，體現(xiàn)無記憶性：已存活s小時不影響剩余壽命分布。（2）P(X≥50)=e^(?0.02×50)=e^(?1)=0.3679（3）由無記憶性，P(X≥50|X≥30)=P(X≥20)=e^(?0.02×20)=0.6703（4）似然函數(shù)L(λ)=∏λe^(?λx_i)=λ^ne^(?λ∑x_i)lnL=nlnλ?λ∑x_idlnL/dλ=n/λ?∑x_i=0?λ?=n/∑x_i=1/x?E(λ?)=E(n/∑x_i)，令T=∑x_i~Gamma(n,λ)E(1/T)=λ/(n?1)?E(λ?)=nλ/(n?1)≠λ?λ?有偏，但漸近無偏，修正λ?=(n?1)/∑x_i可得無偏估計。3.某質檢站對一批電子元件抽取n=400只進行壽命試驗，觀測到平均壽命x?=4850小時，樣本標準差s=420小時。已知行業(yè)要求平均壽命不低于5000小時。（1）在α=0.01下檢驗是否符合要求；（2）若實際均值μ=4900，求犯第Ⅱ類錯誤的概率β；（3）給出μ的單側99%置信下限；（4）若希望檢驗功效在μ=4900時達到0.90，求所需樣本量。【答案與解析】（1）H?:μ≥5000，H?:μ<5000，左側檢驗z=(x??μ?)/(s/√n)=(4850?5000)/(420/20)=?150/21=?7.14臨界值?z?.??=?2.326?7.14<?2.326?拒絕H?，顯著低于5000小時。（2）δ=|4900?5000|=100zβ=zα+|δ|/(s/√n)=2.326+100/21=7.08查標準正態(tài)，β=Φ(?7.08)≈0（3）單側99%下限x??z?.??·s/√n=4850?2.326×21=4850?48.85=4801.15小時（4）功效0.90?zβ=1.282n=[(zα+zβ)s/δ]2=[(2.326+1.282)×420/100]2=(3.608×4.2)2=229.3取整230只。4.設二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合密度f(x,y)=k(x+y),0≤x≤1,0≤y≤1（1）求常數(shù)k；（2）求邊緣密度f_X(x)、f_Y(y)；（3）求條件密度f_{Y|X}(y|x)；（4）計算Cov(X,Y)與相關系數(shù)ρ_{XY}；（5）判斷X與Y是否獨立?！敬鸢概c解析】（1）∫?1∫?1k(x+y)dxdy=k∫?1[xy+y2/2]?1dx=k∫?1(x+0.5)dx=k(0.5+0.5)=k令k=1（2）f_X(x)=∫?1(x+y)dy=x+0.5,0≤x≤1對稱得f_Y(y)=y+0.5（3）f_{Y|X}(y|x)=f(x,y)/f_X(x)=(x+y)/(x+0.5),0≤y≤1（4）E(X)=∫?1x(x+0.5)dx=∫?1(x2+0.5x)dx=1/3+1/4=7/12E(X2)=∫?1x2(x+0.5)dx=1/4+1/6=5/12Var(X)=5/12?(7/12)2=11/144同理E(Y)=7/12,Var(Y)=11/144E(XY)=∫?1∫?1xy(x+y)dxdy=∫?1x∫?1(xy+y2)dydx=∫?1x[x/2+1/3]dx=∫?1(x2/2+x/3)dx=1/6+1/6=1/3Cov(X,Y)=1/3?(7/12)2=1/3?49/144=?1/144ρ=Cov/√(VarXVarY)=(?1/144)/(11/144)=?1/11≈?0.0909（5）f(x,y)=x+y≠(x+0.5)(y+0.5)=f_Xf_Y?不獨立。5.某生產(chǎn)線產(chǎn)品重量服從N(μ,σ2)，現(xiàn)抽取n=25袋，測得x?=502.4g，s=4.8g。（1）求σ2的95%置信區(qū)間；（2）檢驗σ2是否超過30g2（α=0.05）；（3）若μ未知，求P(S2>30)的近似值；（4）給出μ的95%預測區(qū)間（對下一個個體）?！敬鸢概c解析】（1）χ2?.???,24=12.401，χ2?.???,24=39.364σ2區(qū)間=[(n?1)s2/χ2?.???,(n?1)s2/χ2?.???]=[24×23.04/39.364,24×23.04/12.401]=[14.05,44.61]g2（2）H?:σ2≤30，H?:σ2>30χ2=(n?1)s2/σ?2=24×23.04/30=18.43臨界值χ2?.??,24=36.41518.43<36.415?不拒絕H?，無證據(jù)表明方差超過30。（3）由χ2=(n?1)S2/σ2~χ2(24)P(S2>30)=P(χ2>24×30/σ2)，若σ2真值未知，用s2=23.04估計?P(χ2>24×30/23.04)=P(χ2>31.25)查表得χ2?.??,24≈28.2，χ2?.??,24≈33.2插值：31.25對應右尾概率≈0.18（4）預測區(qū)間=x?±t?.???,24·s√(1+1/n)=502.4±2.064×4.8×1.02=502.4±10.1?(492.3,512.5)g6.設X~Poisson(λ)，Y|X=x~Binomial(x,p)，其中0<p<1已知。（1）求Y的邊緣分布；（2）求E(Y)與Var(Y)；（3）求Cov(X,Y)；（4）給出λ的矩估計；（5）若觀測到Y=y，求X的條件期望E(X|Y=y)?！敬鸢概c解析】（1）P(Y=k)=∑_{x=k}^∞P(Y=k|X=x)P(X=x)=∑_{x=k}^∞C_x^kp^k(1?p)^{x?k}e^(?λ)λ^x/x!=e^(?λ)p^k/k!∑_{x=k}^∞λ^x(1?p)^{x?k}/(x?k)!令t=x?k，得=e^(?λ)(λp)^k/k!∑_{t=0}^∞[λ(1?p)]^t/t!=e^(?λ)(λp)^k/k!e^{λ(1?p)}=e^(?λp)(λp)^k/k!?Y~Poisson(λp)（2）由(1)直接得E(Y)=λp，Var(Y)=λp（3）E(XY)=E[E(XY|X)]=E[XE(Y|X)]=E[X·Xp]=pE(X2)=p(λ+λ2)Cov(X,Y)=E(XY)?E(X)E(Y)=p(λ+λ2)?λ·λp=pλ（4）E(Y)=λp?矩估計λ?=Y?/p（5）E(X|Y=y)=y+E(X?Y|Y=y)X?Y|Y=y相當于在X≥y條件下，剩余X?Y~Poisson(λ(1?p))?E(X|Y=y)=y+λ(1?p)7.某研究考察兩種催化劑A、B對收率的影響，獨立實驗各10次，數(shù)據(jù)如下（%）：A:92.593.191.894.092.793.591.993.392.493.0B:94.295.093.895.594.595.394.095.194.794.9設收率服從正態(tài)分布且方差相等。（1）給出合并方差s_p2；（2）檢驗兩種催化劑平均收率是否顯著差異（α=0.05）；（3）求μ_A?μ_B的95%置信區(qū)間；（4）若方差不相等，重新計算(2)并比較結果；（5）給出效應量Cohen’sd并解釋其實際意義?！敬鸢概c解析】（1）x?_A=92.99，s_A2=0.457x?_B=94.70，s_B2=0.289s_p2=[(n_A?1)s_A2+(n_B?1)s_B2]/(n_A+n_B?2)=(9×0.457+9×0.289)/18=0.373（2）H?:μ_A=μ_B，H?:μ_A≠μ_Bt=(x?_A?x?_B)/√[s_p2(1/n_A+1/n_B)]=?1.71/√(0.373×0.2)=?6.27|t|=6.27>t?.???,18=2.101?拒絕H?，差異顯著。（3）置信區(qū)間=(x?_A?x?_B)±t?.???,18√[s_p2(1/n_A+1/n_B)]=?1.71±2.101×0.273=?1.71±0.574?(?2.28,?1.14)%說明B平均收率高于A約1.14—2.28個百分點。（4）Welcht檢驗：t=?1.71/√(0.457/10+0.289/10)=?6.20df=(0.0457+0.0289)2/(0.04572/9+0.02892/9)=17.2臨界值≈2.103，結論不變。（5）Cohen’sd=(x?_A?x?_B)/√s_p2=?1.71/0.611=?2.80|d|>0.8為大效應，實際意義：催化劑B提升收率幅度非常大，工程上值得推廣。8.某電商平臺記錄用戶日點擊次數(shù)X，歷史數(shù)據(jù)表明X~NegBin(r,p)，其中r已知，p未知?，F(xiàn)隨機抽取n天，得樣本X?,…,X_n。（1）寫出p的似然函數(shù)；（2）求p的MLE；（3）驗證E(p?)=p是否成立；（4）給出p的漸近分布；（5）若r=5，觀測到∑X_i=380，n=100，求p的90%置信區(qū)間?！敬鸢概c解析】（1）L(p)=∏C_{x_i+r?1}^{x_i}p^r(1?p)^{x_i}∝p^{nr}(1?p)^{∑x_i}（2）lnL=nrlnp+(∑x_i)ln(1?p)dlnL/dp=nr/p?∑x_i/(1?p)=0?p?=nr/(nr+∑x_i)（3）E(p?)≠p，因分母隨機，有偏但漸近無偏。（4）由MLE漸近正態(tài)：√n(p??p)→N(0,I(p)^{?1})I(p)=nr/[p2(1?p)]?p?≈N(p,p2(1?p)/(nr))（5）p?=500/(500+380)=0.568方差估計=p?2(1?p?)/(nr)=0.000466se=0.021690%區(qū)間=0.568±1.645×0.0216?(0.532,0.604)9.設總體密度f(x;θ)=θx^{θ?1},0<x<1,θ>0。（1）求θ的矩估計；（2）求θ的MLE；（3）計算Fisher信息量I(θ)；（4）比較矩估計與MLE的漸近效率；（5）若樣本量為n=50，∑lnX_i=?35.2，求θ的95%置信區(qū)間?！敬鸢概c解析】（1）E(X)=∫?1xθx^{θ?1}dx=θ/(θ+1)令X?=θ/(θ+1)?θ?=X?/(1?X?)（2）L(θ)=θ^n∏x_i^{θ?1}lnL=nlnθ+(θ?1)∑lnx_idlnL/dθ=n/θ+∑lnx_i=0?θ?=?n/∑lnx_i（3）lnf=lnθ+(θ?1)lnxdlnf/dθ=1/θ+lnxd2lnf/dθ2=?1/θ2I(θ)=?E[d2lnf/dθ2]=1/θ2（4）MLE漸近方差=1/(nI(θ))=θ2/n矩估計方差需Delta方法：Var(θ?)≈[1/(1?μ)2]2Var(X?)=1/(1?μ)?·μ(1?μ)2/(nθ2)經(jīng)計算效率<1，MLE更有效。（5）θ?=?50/(?35.2)=1.420漸近se=θ?/√n=1.420/7.071=0.20195%區(qū)間=1.420±1.96×0.201?(1.026,1.814)10.某城市連續(xù)60個