國家開放大學電大?？啤督y(tǒng)計學原理》2025-2026期末試題及答案一、單項選擇題（每小題2分，共20分）1.某企業(yè)2025年1—6月銷售額（萬元）依次為：320、340、350、360、380、400，若采用3項簡單移動平均法預測7月銷售額，則預測值為A.360??B.370??C.380??D.390答案：B解析：取最近3期數(shù)據(jù)（360、380、400）求算術(shù)平均，(360+380+400)/3=370。2.在抽樣調(diào)查中，若總體方差未知，且樣本容量n=16，則總體均值μ的1-α置信區(qū)間應選用的分布為A.標準正態(tài)??B.t(15)??C.χ2(15)??D.F(15,15)答案：B解析：總體方差未知、小樣本，用t分布，自由度n-1=15。3.若隨機變量X~N(50,82)，則P(42≤X≤58)等于A.0.6826??B.0.9544??C.0.8185??D.0.2718答案：C解析：42與58分別距均值50一個標準差，區(qū)間概率為Φ(1)-Φ(-1)=2Φ(1)-1=0.6826；但58距50為(58-50)/8=1，42距50為-1，故概率0.6826；然而42~58跨越±1σ，僅0.6826；但題目問的是42~58，即±1σ，故0.6826；但選項A即0.6826，然而再核對：50±8→42~58，恰好±1σ，概率0.6826，故A正確；但0.8185為±1.33σ，計算得Φ(1.33)-Φ(-1.33)=0.9082-0.0918=0.8164，最接近0.8185，題目數(shù)據(jù)應為±1.33σ，故重新核算：58-50=8，8/8=1，42-50=-8，-8/8=-1，區(qū)間概率0.6826，選項A正確；但選項C為0.8185，與±1.33σ接近，題目數(shù)據(jù)無誤，應選A；但選項A即0.6826，故最終答案A。答案：A解析：±1σ概率68.26%，直接記憶。4.在假設檢驗中，若顯著性水平α由0.05降為0.01，則A.拒絕域擴大??B.犯第一類錯誤概率增大??C.檢驗功效增大??D.臨界值向兩側(cè)移動答案：D解析：α減小，臨界值外移，拒絕域縮小，第一類錯誤概率減小，功效1-β減小。5.對同一總體采用不重復簡單隨機抽樣，若樣本容量由100增至400，則抽樣平均誤差A.變?yōu)樵瓉?/2??B.變?yōu)樵瓉?/4??C.變?yōu)樵瓉?/√2??D.不變答案：A解析：不重復抽樣平均誤差公式σ/√n·√[(N-n)/(N-1)]，n擴大4倍，√n擴大2倍，誤差約減為1/2。6.若兩變量線性相關系數(shù)r=0.92，則回歸方程的判定系數(shù)R2為A.0.92??B.0.8464??C.0.46??D.0.96答案：B解析：R2=r2=0.922=0.8464。7.某地區(qū)2025年GDP指數(shù)為132（2020=100），則2025年GDP比2020年名義增長A.32%??B.132%??C.68%??D.無法判斷答案：A解析：指數(shù)132表示報告期為基期132%，增長32%。8.在指數(shù)數(shù)列中，若環(huán)比增長速度分別為5%、4%、3%、2%，則定基增長速度為A.14.00%??B.14.46%??C.15.00%??D.15.97%答案：B解析：定基增長速度=（1.05×1.04×1.03×1.02）-1=1.1446-1=14.46%。9.若某車間工人日產(chǎn)量服從泊松分布，λ=3，則日產(chǎn)量恰好為5件的概率為A.0.1008??B.0.0504??C.0.1755??D.0.2240答案：A解析：P(X=5)=e?3·3?/5!=0.1008。10.在方差分析中，若F統(tǒng)計量=4.5，F(xiàn)?.??(2,27)=3.35，則A.拒絕原假設??B.接受原假設??C.無法判斷??D.需查t表答案：A解析：F=4.5>3.35，落入拒絕域，認為因素顯著。二、多項選擇題（每小題3分，共15分，多選少選均不得分）11.下列屬于描述統(tǒng)計方法的有A.直方圖??B.箱線圖??C.假設檢驗??D.莖葉圖??E.回歸預測答案：ABD解析：C、E屬推斷統(tǒng)計。12.影響樣本容量的因素包括A.總體方差??B.允許誤差??C.置信水平??D.抽樣方式??E.樣本均值大小答案：ABCD解析：樣本均值大小不影響容量設計。13.下列關于t分布的正確表述有A.對稱??B.均值為0??C.方差大于1??D.隨自由度增大趨于正態(tài)??E.尾部比正態(tài)厚答案：ABDE解析：自由度>2時方差=df/(df-2)，可小于1，故C不嚴謹。14.時間數(shù)列的構(gòu)成要素包括A.長期趨勢??B.季節(jié)變動??C.循環(huán)變動??D.不規(guī)則變動??E.隨機誤差答案：ABCD解析：隨機誤差已含于不規(guī)則變動。15.若回歸模型存在異方差，則A.OLS估計仍無偏??B.標準誤有誤??C.t檢驗失效??D.預測精度下降??E.系數(shù)估計有偏答案：ABCD解析：異方差不破壞無偏性，但影響有效性及推斷。三、判斷題（每小題1分，共10分，正確打“√”，錯誤打“×”）16.中位數(shù)一定大于眾數(shù)。??×17.若兩變量獨立，則協(xié)方差必為零。??√18.樣本方差的分母是n。??×19.在同樣置信水平下，置信區(qū)間越寬，估計精度越低。??√20.假設檢驗中，p值小于α則拒絕原假設。??√21.相關系數(shù)r=0表示兩變量無線性關系。??√22.拉氏價格指數(shù)以報告期數(shù)量為權(quán)數(shù)。??×23.泊松分布的均值與方差相等。??√24.方差分析要求各總體服從正態(tài)且方差相等。??√25.移動平均法可以消除季節(jié)變動。??×四、簡答題（每小題10分，共20分）26.簡述中心極限定理的主要內(nèi)容及其在抽樣推斷中的作用。答案：中心極限定理指出，從任意總體（均值μ、方差σ2有限）中抽取容量為n的簡單隨機樣本，當n足夠大（通常n≥30）時，樣本均值的抽樣分布近似服從正態(tài)分布N(μ,σ2/n)。該定理奠定了大樣本推斷的理論基礎：即使總體非正態(tài)，也可利用正態(tài)分布構(gòu)造置信區(qū)間、進行假設檢驗，使抽樣推斷無需嚴苛的正態(tài)總體假設，極大拓展了統(tǒng)計方法的應用范圍。27.說明回歸分析中“殘差”的概念，并寫出檢驗殘差正態(tài)性的兩種方法。答案：殘差e?=y?-??，是觀測值與回歸估計值之差，反映模型未能解釋的部分。檢驗正態(tài)性的方法：（1）圖示法：繪制殘差Q-Q圖，若點近似呈直線，則支持正態(tài)性；（2）Shapiro-Wilk檢驗：計算統(tǒng)計量W，若p值>α，不拒絕“殘差來自正態(tài)總體”的原假設。五、計算題（共35分）28.（8分）某高校調(diào)查120名成教學生每周在線學習時長，得樣本均值=8.5小時，樣本標準差s=2.1小時。試在95%置信水平下估計該校全體學生平均學習時長。答案：n=120，x?=8.5，s=2.1，α=0.05，雙側(cè)t?.???(119)≈1.98置信區(qū)間=x?±t·s/√n=8.5±1.98×2.1/√120=8.5±0.38→(8.12,8.88)小時解析：大樣本、總體方差未知，用t分布；計算標準誤2.1/√120=0.1917；誤差限1.98×0.1917≈0.38。29.（10分）某車間生產(chǎn)螺絲，標準直徑要求為10.0mm?，F(xiàn)隨機抽取9件，測得平均直徑10.2mm，標準差0.3mm。設直徑服從正態(tài)分布，問在α=0.05下，能否認為該批螺絲直徑顯著偏大？答案：H?:μ=10.0，H?:μ>10.0，單側(cè)檢驗t=(x?-μ?)/(s/√n)=(10.2-10.0)/(0.3/3)=0.2/0.1=2.0臨界值t?.??(8)=1.862.0>1.86，拒絕H?，認為直徑顯著偏大。解析：單樣本右側(cè)t檢驗；自由度8；t=2.0落入拒絕域；p值介于0.025~0.05，小于0.05。30.（10分）某市2020—2025年消費品零售額（億元）如下：年份?2020?2021?2022?2023?2024?2025零售額?500?530?560?595?635?680（1）用最小二乘法擬合直線趨勢方程；（2）預測2027年零售額。答案：令t=0對應2020，t=1對應2021，…，t=5對應2025。n=6，Σt=15，ΣY=3500，Σt2=55，ΣtY=9325b=(ΣtY-n·t?·?)/(Σt2-n·t?2)=(9325-6×2.5×583.33)/(55-6×2.52)=(9325-8750)/(55-37.5)=575/17.5=32.857a=?-b·t?=583.33-32.857×2.5=501.19方程：?=501.19+32.857t2027對應t=7，?=501.19+32.857×7=501.19+230=731.19億元解析：最小二乘法求趨勢；t?=2.5，?=3500/6≈583.33；預測時外推t=7。31.（7分）某超市三種商品銷售資料如下：商品?單位?基期價格p??報告期價格p??基期銷量q??報告期銷量q?A?件?20?22?300?350B?kg?15?14?400?480C?瓶?8?9?500?600要求：計算帕氏價格指數(shù)與帕氏銷量指數(shù)，并解釋其經(jīng)濟含義。答案：帕氏價格指數(shù)Pp=Σp?q?/Σp?q?=(22×350+14×480+9×600)/(20×350+15×480+8×600)=(7700+6720+5400)/(7000+7200+4800)=19820/19000=1.0432→104.32%帕氏銷量指數(shù)Pq=Σq?p?/Σq?p?=(22×350+14×480+9×600)/(22×300+14×400+9×500)=19820/(6600+5600+4500)=19820/16700=1.1868→118.68%經(jīng)濟含義：在報告期銷量結(jié)構(gòu)下，價格綜合上漲4.32%；在報告期價格結(jié)構(gòu)下，銷量綜合增長18.68%。解析：帕氏指數(shù)以報告期數(shù)量或價格為權(quán)數(shù)，反映純價格或純數(shù)量變動。六、綜合應用題（共30分）32.（15分）某電大教學點為了解線上學習效果，隨機抽取男、女學生各50名，進行同一門課程測試，得：男生：n?=50，x??=72，s?2=64女生：n?=50，x??=76，s?2=81（1）在α=0.05下，檢驗男女學生平均成績是否存在顯著差異；（2）計算效應量Cohen’sd，并判斷差異大??；（3）若希望估計男女均值差為2分內(nèi)的誤差限，置信水平95%，需各追加多少樣本？（假定方差不變且n?=n?）答案：（1）H?:μ?=μ?，H?:μ?≠μ?，雙側(cè)合并方差s_p2=[(n?-1)s?2+(n?-1)s?2]/(n?+n?-2)=(49×64+49×81)/98=7145/98=72.908t=(x??-x??)/√[s_p2(1/n?+1/n?)]=(72-76)/√[72.908(1/50+1/50)]=-4/√2.9163=-4/1.7077=-2.342|t|=2.342，臨界值t?.???(98)=1.9842.342>1.984，拒絕H?，認為男女成績差異顯著。（2）Cohen’sd=(x??-x??)/√s_p2=-4/√72.908=-4/8.539=-0.468|d|=0.468，介于0.2~0.5，屬中等偏小效應。（3）允許誤差E=2，由E=z_{α/2}·√[s_p2(1/n'+1/n')]，z?.???=1.962=1.96·√[72.908·(2/n')]→√(145.816/n')=2/1.96=1.0204145.816/n'=1.0413→n'=145.816/1.0413?140原n=50，需追加140-50=90人，即男女各追加90名。解析：獨立樣本t檢驗；效應量負號僅表示方向；樣本量公式反推。33.（15分）某市交通部門欲評估新信號燈方案對路口延誤時間的影響，隨機選擇10個路口，記錄實施前后高峰平均延誤（秒/輛）：路口?1?2?3?4?5?6?7?8?9?10實施前?55?48?63?52?60?58?65?50?56?54實施后?50?45?58?48?55?53?60?46?52?50（1）該數(shù)據(jù)屬于何種設計？（2）建立假設并檢驗方案是否顯著減少延誤（α=0.05）；（3）計算平均減少量及95%置信區(qū)間；（4）給出實際意義結(jié)論。答案：（1）配對樣本設計（前后對比）。（2）令d=實施前-實施后，得d：5,3,5,4,5,5,5,4,4,4n=10，d?=4.3，s_d=0.6749H?:μ_d≤