福建省2026屆高三上學期1月質(zhì)量檢測數(shù)學試題考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時間120分鐘．2．答題前，考生務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚．3．考生作答時，請將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．4．本卷命題范圍：高考范圍．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知為虛數(shù)單位，若，則（）A. B. C. D.2.已知拋物線：的焦點為，點在上，且，為原點，則（）A.6 B. C.4 D.3.印刷電路板（PCB）是支撐數(shù)字產(chǎn)業(yè)的核心組件，中國在全球已形成顯著競爭優(yōu)勢.某機構(gòu)調(diào)研得到2021—2025年度中國PCB市場規(guī)模（單位：千億元）依次為3.88，3.84，4.16，4.46，4.71，則這5個數(shù)據(jù)的40%分位數(shù)是（）A.4.02 B.4.00 C.3.88 D.3.844.若向量，記，則（）A. B. C. D.5.已知正數(shù)，滿足，則的最小值為（）A.6 B.7 C.8 D.96.在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，.若，，，則（）A. B.20 C.16 D.7.已知正四面體各條棱的中點都在球的表面上，則球的表面積與該正四面體的表面積之比為（）A. B. C. D.8.若函數(shù)存在極大值點和極小值點，，其中，都是實數(shù)，則（）A. B.C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知集合，若集合滿足，則可以是（）A B.C. D.10.若，則（）A.（）B.C.從，，…，這8個數(shù)中任取2個，這兩個數(shù)的積為正數(shù)的取法有12種D.從，，，…，這8個數(shù)中任取3個，這三個數(shù)的和等于，，，…，中某數(shù)的取法有28種11.已知定義域與值域均為的函數(shù)滿足，，，且，則（）A. B.C.，是奇函數(shù) D.，滿足三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，，用，表示______.13.已知雙曲線：（，），記，經(jīng)過點，（），且（為原點），則的離心率為______.14.若函數(shù)有零點，則實數(shù)取值范圍是______.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知數(shù)列的前項和.（1）證明：是等比數(shù)列；（2）若，分別是等差數(shù)列第1項與第3項，求的公差.16.已知橢圓短軸長為2，點在橢圓上．（1）求橢圓的標準方程；（2）設直線與橢圓相交于A，B兩點．是坐標原點，的面積是，求實數(shù)的值．17.如圖，四棱錐的底面是邊長為4的正方形，是正三角形，，三棱錐的體積是四棱錐體積的．（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．18.春節(jié)期間，某商家開展購物抽獎活動，部分活動規(guī)則如下：在一個不透明的抽獎箱中放入張大小形狀完全相同的卡片，其中有張卡片上標有“恭喜中獎”，其余都標有“謝謝參與”．（1）若每位顧客可以一次性抽取2張卡片，每張“恭喜中獎”卡片可以兌換精美禮品1份，現(xiàn)顧客甲參加抽獎活動．（ⅰ）在顧客甲抽中“恭喜中獎”卡片的前提下，顧客甲抽中“謝謝參與”卡片的概率；（ⅱ）設顧客甲獲得精美禮品的份數(shù)為求的分布列與方差；（2）商家根據(jù)購物次序給每位顧客編號，編號的個位數(shù)字是8的顧客的抽取規(guī)則如下：顧客每次抽取1張卡片，抽到“謝謝參與”卡片就放回抽獎箱，繼續(xù)抽取，抽中“恭喜中獎”卡片就停止抽取，贈送精美禮品1份，如果抽取次仍然沒有抽到“恭喜中獎”卡片，那么停止抽取，顧客不能獲得精美禮品.若顧客乙編號的個位數(shù)字是8，記顧客乙抽取的次數(shù)是求的數(shù)學期望．19.已知函數(shù).（1）求曲線在處的切線方程；（2）設，證明：對任意，都有；（3）若數(shù)列滿足，證明：.福建省2026屆高三上學期1月質(zhì)量檢測數(shù)學試題考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時間120分鐘．2．答題前，考生務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚．3．考生作答時，請將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．4．本卷命題范圍：高考范圍．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知為虛數(shù)單位，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用復數(shù)的除法運算求解即得.【詳解】由，得.故選：C2.已知拋物線：的焦點為，點在上，且，為原點，則（）A.6 B. C.4 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)拋物線定義可得，代入方程可得，即可得結(jié)果.【詳解】由題意可知：拋物線的焦點為，準線為，因為，即，且，所以.故選：B.3.印刷電路板（PCB）是支撐數(shù)字產(chǎn)業(yè)的核心組件，中國在全球已形成顯著競爭優(yōu)勢.某機構(gòu)調(diào)研得到2021—2025年度中國PCB市場規(guī)模（單位：千億元）依次為3.88，3.84，4.16，4.46，4.71，則這5個數(shù)據(jù)的40%分位數(shù)是（）A.4.02 B.4.00 C.3.88 D.3.84【答案】A【解析】【分析】將給定的5個數(shù)據(jù)由小到大排列，利用第40%分位數(shù)的定義求解即得.【詳解】5個數(shù)據(jù)由小到大排列為：3.84，3.88，4.16，4.46，4.71，由，得這5個數(shù)據(jù)的40%分位數(shù)是.故選：A4.若向量，記，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由向量線性關(guān)系及夾角的坐標運算求得，再由二倍角余弦公式求值.【詳解】由題設，所以，所以.故選：C.5.已知正數(shù)，滿足，則的最小值為（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】D【解析】【分析】整理可得，利用乘“1”法結(jié)合基本不等式運算求解.【詳解】因為正數(shù)，滿足，則，可得，當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值為9.故選：D.6.在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，.若，，，則（）A. B.20 C.16 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)正弦定理、余弦定理求解即可.【詳解】因為，，所以.由正弦定理可知，，所以，，又，所以，所以.由余弦定理知，，所以，即.又，所以，所以.故選：D.7.已知正四面體各條棱的中點都在球的表面上，則球的表面積與該正四面體的表面積之比為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】令正四面體的棱長為6，根據(jù)給定條件，結(jié)合正四面體的結(jié)構(gòu)特征確定球心的位置，再利用球面性質(zhì)求出球半徑，進而求出它們表面積之比.【詳解】取正四面體各棱中點，如圖，可得平面平面，且，作平面于點，交平面于，則為中點，且球心是的中點，即，令正四面體的棱長為6，，，，而，因此球的半徑，所以球的表面積與該正四面體的表面積之比為.故選：C8.若函數(shù)存在極大值點和極小值點，，其中，都是實數(shù)，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】將極值點個數(shù)，轉(zhuǎn)化為導數(shù)零點個數(shù)，再轉(zhuǎn)變?yōu)閳D像交點個數(shù)，求出，再分別討論當與的情況，找到滿足題意的即可求出最終的范圍.【詳解】由可得，因為函數(shù)存在極大值點和極小值點，故方程有兩個不相等的實根，當時，方程不存在兩個根，故，從而可知有兩個不相等的實根，令，，故當和，，均單調(diào)遞減；當，，單調(diào)遞增，所以，進而可以畫出圖像如下：根據(jù)有兩個不相等的實根可知，函數(shù)與有兩個不同的交點，故，接下來分析的正負情況.當時，則，，令，，令，解得，當，，單調(diào)遞減，當，，單調(diào)遞增，所以在處取最小值，，而，故，所以根據(jù)零點存在定理易知存在兩個不同的零點，即存在兩個不同的零點，而，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減，故分別為函數(shù)的極大值點和極小值點，且，滿足題意.此時由可得，而，故，故A正確；當時，則，令，，令，解得，當，，單調(diào)遞增，當，，單調(diào)遞減，所以在處取最大值，，而，故，所以根據(jù)零點存在定理易知存在兩個不同的零點，即存在兩個不同的零點，而，，單調(diào)遞減，，，單調(diào)遞增，故分別為函數(shù)的極小值點和極大值點，且，不滿足題意.由此當時，則，，不能確定，B不正確；同理也不能確定，，CD不正確；故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知集合，若集合滿足，則可以是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】分析】根據(jù)題意化簡集合，結(jié)合交集運算逐項分析判斷.【詳解】對于選項A：若，滿足，符合題意，故A正確；對于選項B：若，則，不符合題意，故B錯誤；對于選項C：若，滿足，符合題意，故C正確；對于選項D：因為，則，不符合題意，故D錯誤；故選：AC.10.若，則（）A.（）B.C.從，，…，這8個數(shù)中任取2個，這兩個數(shù)的積為正數(shù)的取法有12種D.從，，，…，這8個數(shù)中任取3個，這三個數(shù)的和等于，，，…，中某數(shù)的取法有28種【答案】ACD【解析】【分析】分析可知，，進而列舉.對于A：可知的最大值為，即可判斷；對于B：結(jié)合二項式性質(zhì)分析判斷即可；對于C：分析數(shù)的正負性結(jié)合組合數(shù)分析求解；對于D：分類討論和項是否為0，結(jié)合組合數(shù)運算求解即可.【詳解】因為的展開式的通項為，，則，，可得依次為.對于選項A：因為的最大值為，所以，，故A正確；對于選項B：，故B錯誤；對于選項C：若兩個數(shù)的積為正數(shù)，則從任取兩項或從任取兩項，所以不同的取法共有種，故C正確；對于選項D：因為，共有4組，若從選擇一組，再從剩余的數(shù)中選擇1個，不同的取法共有種；檢驗可知，不同的取法共有種；綜上所述：不同的取法共有種，故D正確；故選：ACD.11.已知定義域與值域均為的函數(shù)滿足，，，且，則（）A B.C.，是奇函數(shù) D.，滿足【答案】ACD【解析】【分析】令，得到，由于的定義域與值域均為，令，得，則解析式為，逐個選項判斷即可.【詳解】令，則，由于的定義域與值域均為，則令，有，即；，A正確；，，B錯誤；，是奇函數(shù)，C正確；，，滿足，D正確；故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，，用，表示______.【答案】【解析】【分析】對給定的等式兩邊取常用對數(shù)，再利用對數(shù)運算法則，結(jié)合方程的思想求解.【詳解】由，得，則；由，得，則，因此，所以.故答案為：13.已知雙曲線：（，），記，經(jīng)過點，（），且（為原點），則的離心率為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合雙曲線的對稱性可得，將代入雙曲線方程即可求出離心率.【詳解】依題意，是雙曲線：的半焦距，令右焦點為，由經(jīng)過點，（），得點關(guān)于軸對稱，即，則，于是，而，則，由點在雙曲線上，得，即，整理得，因此，即，則，而，所以的離心率.故答案為：14.若函數(shù)有零點，則實數(shù)取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】換元令，可得在內(nèi)有零點，分、和三種情況，結(jié)合絕對值的性質(zhì)分析求解即可.【詳解】令，可得在內(nèi)有零點，（i）若，則，令，解得，不合題意；（ⅱ）若，則，令，解得，不合題意；（ⅲ）若，根據(jù)絕對值的性質(zhì)可得，又因為，則，因為在內(nèi)有零點，則，①當時，則，解得；②當時，則，解得；綜上所述：實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知數(shù)列的前項和.（1）證明：是等比數(shù)列；（2）若，分別是等差數(shù)列的第1項與第3項，求的公差.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定的遞推公式，利用，結(jié)合等比數(shù)列定義推理得證.（2）由（1）的結(jié)論求出，進而求出并求出公差.【小問1詳解】數(shù)列的前項和，當時，，即，而，解得，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列.【小問2詳解】由（1）得，則，，所以等差數(shù)列的公差.16.已知橢圓的短軸長為2，點在橢圓上．（1）求橢圓的標準方程；（2）設直線與橢圓相交于A，B兩點．是坐標原點，的面積是，求實數(shù)的值．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）利用橢圓短軸長，可求得，利用點在橢圓上，進而可求，可得橢圓方程；（2）聯(lián)立直線方程與橢圓方程，結(jié)合韋達定理可求得，求解即可.【小問1詳解】由橢圓的短軸長為2，得，解得，所以橢圓方程為，又點在橢圓上．所以，解得，所以橢圓的標準方程為；【小問2詳解】設點，聯(lián)立直線與橢圓方程，得，則，即，且，又直線與軸的交點，所以，因為的面積是，所以，所以，解得或，均符合題意.故實數(shù)的值為或．17.如圖，四棱錐的底面是邊長為4的正方形，是正三角形，，三棱錐的體積是四棱錐體積的．（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）答案見詳解（2）【解析】【分析】（1）先取中點連接，由正三角形性質(zhì)得；再通過體積比例確定底面；接著結(jié)合與，證得平面；最后由平面，推出平面平面；（2）先按題意建立空間直角坐標系，再設平面法向量，利用向量垂直條件列方程求解，最后代入線面角向量公式求出正弦值即可.【小問1詳解】取中點，連接，因為是邊長為的正三角形，所以，且，在中，，，由勾股定理得：，因為，，所以，又因為，，平面，故平面，而平面，故平面平面，同理平面平面，設，則到平面的距離為，到平面的距離為，則，，由題意，故，故，故，而平面，平面，故，而，平面，故平面，而，故平面，又平面，故平面平面.【小問2詳解】以為坐標原點，分別為軸，過點平行于直線的直線為軸，建立空間直角坐標系，則，，，，，，，設平面的法向量為，則：解得，令，則，故，設直線與平面所成角為，則：因此，直線與平面所成角的正弦值為.18.春節(jié)期間，某商家開展購物抽獎活動，部分活動規(guī)則如下：在一個不透明的抽獎箱中放入張大小形狀完全相同的卡片，其中有張卡片上標有“恭喜中獎”，其余都標有“謝謝參與”．（1）若每位顧客可以一次性抽取2張卡片，每張“恭喜中獎”卡片可以兌換精美禮品1份，現(xiàn)顧客甲參加抽獎活動．（?。┰陬櫩图壮橹小肮仓歇劇笨ㄆ那疤嵯拢櫩图壮橹小爸x謝參與”卡片的概率；（ⅱ）設顧客甲獲得的精美禮品的份數(shù)為求的分布列與方差；（2）商家根據(jù)購物次序給每位顧客編號，編號的個位數(shù)字是8的顧客的抽取規(guī)則如下：顧客每次抽取1張卡片，抽到“謝謝參與”卡片就放回抽獎箱，繼續(xù)抽取，抽中“恭喜中獎”卡片就停止抽取，贈送精美禮品1份，如果抽取次仍然沒有抽到“恭喜中獎”卡片，那么停止抽取，顧客不能獲得精美禮品.若顧客乙編號的個位數(shù)字是8，記顧客乙抽取的次數(shù)是求的數(shù)學期望．【答案】（1）（?。?；（ⅱ）分布列見解析，（2）【解析】【分析】（1）（?。└鶕?jù)條件概率求解；（ⅱ）由題意知的可能取值為，再求對于概率，列出分布列并求期望即