第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2025-2026學(xué)年廣東省清遠(yuǎn)市清城區(qū)松崗中學(xué)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.下列方程是一元二次方程的是（）A.3x2+x-6=0 B.x2+y2-4=0 C.6x+1=0 D.-2=02.某種零件模型如圖所示，該幾何體（空心圓柱）的主視圖是（）A.

B.

C.

D.3.在一個(gè)不透明的袋子中有20個(gè)除顏色外均相同的小球，每次摸球前先將盒中的球搖勻，隨機(jī)摸出一個(gè)球記下顏色后再放回盒中.通過(guò)大量重復(fù)摸球試驗(yàn)后，發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定于0.3，則袋中紅球約有（）A.4個(gè) B.6個(gè) C.8個(gè) D.12個(gè)4.把2m長(zhǎng)的線段進(jìn)行黃金分割，則分成的較長(zhǎng)線段的長(zhǎng)為（）A. B. C. D.5.下列說(shuō)法正確的是（）A.對(duì)角線相等且互相垂直的四邊形是菱形 B.對(duì)角線相等的四邊形是矩形

C.對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是菱形 D.對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形6.如圖，下列條件不能判定△ABC與△ADE相似的是（）A.

B.∠B=∠ADE

C.

D.∠C=∠AED

7.若關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+k-1=0有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（）A.k＞2 B.k≥2 C.k≤2 D.k＜28.如圖，在△ABC中，若∠B=90°，AB=1，，則tanA的值為（）A.

B.

C.

D.

9.以原點(diǎn)O為位似中心，將△ABC放大為原來(lái)的2倍，若點(diǎn)A坐標(biāo)為（1，2），則對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（）A.（2，4）或（-2，-4） B.（1，2）或（-1，-2）

C.（2，4） D.（-2，-4）10.二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y=ax+b和反比例函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（）A.

B.

C.

D.二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分。11.若△ABC與△ADE相似，相似比為3：2，則對(duì)應(yīng)周長(zhǎng)的比為

.12.已知m是方程x2-2x-2=0的一個(gè)根，則m2-2m+3的值為

.13.若===3，且b+d+f=4，則a+c+e=

.14.把二次函數(shù)y=x2-2x+4變形為y=a（x-h）2+k的形式，則h+k的值為

.15.如圖所示的螺旋形是由一系列直角三角形組成的，其中OA0=1，A0A1=A1A2=A2A3=?=An-1An=1，每個(gè)三角形都以點(diǎn)O為頂點(diǎn).若∠An-1OAn是第一個(gè)小于18°的角，則n的值為

.（參考數(shù)據(jù)：sin18°≈0.309，cos18°≈0.951，tan18°≈0.325，，

三、解答題：本題共8小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。16.(本小題7分)

（1）解方程：x2-4x+3=0；

（2）cos30°tan30°.17.(本小題7分)

已知拋物線.y=ax2-2x+c與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)A（3，1），與y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)B（0，-3）.

（1）求拋物線的解析式；

（2）求y的最值.18.(本小題7分)

水果店張阿姨以2元/千克的價(jià)格購(gòu)進(jìn)某種水果若干，然后以4元/千克的價(jià)格出售，每天可售出100千克.通過(guò)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種水果的單價(jià)每降低0.1元，每天可多售出20千克.為保證每天至少售出260千克，張阿姨決定降價(jià)銷售.

（1）若將這種水果的單價(jià)降低x元，則每天的銷售量是______千克；（用含x的代數(shù)式表示）

（2）銷售這種水果要想每天盈利300元，張阿姨需將單價(jià)降至多少元？19.(本小題9分)

如圖，△ABC為銳角三角形，AD平分∠BAC.

（1）請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作AD的垂直平分線、分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接DE、DF.（保留作圖痕跡，不寫作法）

（2）在（1）的條件下，求證：四邊形AEDF是菱形.20.(本小題9分)

3月14日是國(guó)際數(shù)學(xué)日.某校在“國(guó)際數(shù)學(xué)日”當(dāng)天舉行了豐富多彩的數(shù)學(xué)活動(dòng)，其中游戲類活動(dòng)有：A.數(shù)字猜謎；B.數(shù)獨(dú)；C.魔方；D.24點(diǎn)游戲；E.數(shù)字華容道.該校為了解學(xué)生對(duì)這五類數(shù)學(xué)游戲的喜愛(ài)情況，隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查統(tǒng)計(jì)（每位學(xué)生必選且只能選一類），并根據(jù)調(diào)查結(jié)果，繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖如圖所示.

根據(jù)上述信息，解決下列問(wèn)題.

（1）本次調(diào)查總?cè)藬?shù)為_(kāi)_____，并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖（要求在條形圖上方注明人數(shù)）；

（2）若該校有3000名學(xué)生，請(qǐng)估計(jì)該校參加魔方游戲的學(xué)生人數(shù)；

（3）該校從C類中挑選出2名男生和2名女生，計(jì)劃從這4名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生參加市青少年魔方比賽，請(qǐng)用列表或畫樹(shù)狀圖的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率.21.(本小題9分)

馬老師在帶領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)《正方形的性質(zhì)與判定》這一課時(shí)，給出如下問(wèn)題：如圖①，正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，正方形A'B'C'O與正方形ABCD的邊長(zhǎng)相等．在正方形A'B'C'O繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，OA'與AB相交于點(diǎn)M，OC′與BC相交于點(diǎn)N，探究?jī)蓚€(gè)正方形重疊部分的面積與正方形ABCD的面積有什么關(guān)系．

（1）小亮第一個(gè)舉手回答“兩個(gè)正方形重疊部分的面積是正方形ABCD面積的______”；

（2）馬老師鼓勵(lì)同學(xué)們編道拓展題，小穎編了這樣一道題：如圖②，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，連接AC．若AC=6，求四邊形ABCD的面積．請(qǐng)你幫小穎解答這道題．22.(本小題13分)

【閱讀理解】在學(xué)習(xí)《直角三角形的邊角關(guān)系》一章時(shí)；小明用了如下的思路方法計(jì)算出了tan15°的值.如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，作線段AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)D，連接AD，則BD=AD，∠BAD=∠B=15°，∠ADC=30°，設(shè)AC=k,則BD=AD=2k,DC==k,tanB=tan15°====2-.

【類比探究】（1）仿照小明的思路，可以計(jì)算出tan22.5°=______；

（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠C=90°，設(shè)∠B=α，tanα=，由上述小明思路的啟發(fā)，你能算出tan=______，tan2α=______；

【拓展應(yīng)用】（3）在實(shí)際生活中，如圖3，為了測(cè)量一棵樹(shù)AB的高度，小紅站在點(diǎn)D處仰望樹(shù)梢，此時(shí)測(cè)得仰角為α，tanα=，然后她向后退到D1處，測(cè)得此時(shí)的仰角為，接著，她向前移動(dòng)到D2處，測(cè)得此時(shí)的仰角變?yōu)?α.在此過(guò)程中，小紅同學(xué)的眼睛位置始終保持在同一水平線（即點(diǎn)C、C1、C2共線且與地面DB平行），若小紅眼睛到地面的距離為1.6米（即CD=C1D1=C2D2=1.6），后退與前進(jìn)的距離之和為21米（即CC1+C1C2=21米），請(qǐng)求出這棵樹(shù)AB的高度.

23.(本小題14分)

生活中許多問(wèn)題的解決既可以采用“代數(shù)”的方法解決.也可以從“圖形”的角度來(lái)研究.

某數(shù)學(xué)建模小組在綜合實(shí)踐課上探究面積為4，周長(zhǎng)為m的矩形問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)矩形的面積與周長(zhǎng)存在一定的關(guān)系.小組成員進(jìn)行了如下研究：

【問(wèn)題探究】

（1）設(shè)矩形的長(zhǎng)和寬分別為x，y，當(dāng)m=10時(shí)，這樣的矩形存在嗎？如果存在，請(qǐng)你求出矩形的長(zhǎng)與寬；如果不存在，請(qǐng)你說(shuō)明理由.

（2）從矩形的面積為4可得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系式為，從矩形的周長(zhǎng)為10可得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系式為：______，將滿足要求的（x,y）可以看成這兩個(gè)函數(shù)圖象在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)坐標(biāo).觀察圖象可看出交點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_____，即當(dāng)矩形面積為4周長(zhǎng)是10時(shí)，這樣的矩形是存在的.

（3）根據(jù)上述方法請(qǐng)直接寫出m的取值范圍______.

【拓展應(yīng)用】

（4）我們把橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn).如圖2，函數(shù)的圖象G經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（4，1），直線l：與圖象G交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C.記圖象G在點(diǎn)A，B之間的部分與線段OA，OC，BC圍成的區(qū)域（不含邊界）為W.若區(qū)域W內(nèi)恰好有4個(gè)整點(diǎn)，結(jié)合圖象請(qǐng)直接寫出b的取值范圍______.

1.【答案】A

2.【答案】B

3.【答案】B

4.【答案】A

5.【答案】D

6.【答案】C

7.【答案】C

8.【答案】C

9.【答案】A

10.【答案】A

11.【答案】3：2

12.【答案】5

13.【答案】12

14.【答案】4

15.【答案】10

16.【答案】x1=1，x2=3

17.【答案】y=x2-2x-3

-4

18.【答案】（100+200x）

張阿姨需將單價(jià)降至3元

19.【答案】圖形如圖所示：

∵EF垂直平分線段AD，

∴EA=ED，F(xiàn)A=FD，

∴∠EAD=∠EDA，

∵又∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠CAD，

∴∠ADE=∠DAC，

∴DE∥AC，

同法可證DF∥AB，

∴四邊形AEDF為平行四邊形．

∵EA=ED，

∴四邊形AEDF為菱形

20.【答案】200人

估計(jì)該校參加魔方游戲的學(xué)生人數(shù)為900人

21.【答案】解：（1）；

（2）過(guò)A作AE⊥AC，交CD的延長(zhǎng)線于E，

???????

∵AE⊥AC，

∴∠EAC=90°，

∵∠BAD=90°，

∴∠DAE+∠DAC=∠BAC+∠DAC=90°，

∴∠DAE=∠BAC，

∵∠BAD=∠BCD=90°，

∴∠ADC+∠B=180°，

∵∠EDA+∠ADC=180°，

∴∠EDA=∠B，

∵AD=AB，

在△ABC與△ADE中，

，

∴△ABC≌△ADE（ASA），

∴S△ABC=S△ADE，

∴AC=AE，

∵AC=6，

∴AE=6，

∴S△AEC=×6×6=