專題22二次函數(shù)中的最值問題

知識(shí)對接

考點(diǎn)一、求二次函數(shù)y=ax2+bx+c（aWO）的最值的方法

1.如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在圖象的頂點(diǎn)處取得最大值或最小值，即當(dāng)x=--

2a

時(shí),y最值二

4(7

2.如果自變量的取值范圍是XWXWQ（XWX2兇,X2對應(yīng)的函數(shù)值分別為yi,y2）,那么，首先要看是否在自變

2a

量K的取值范圍內(nèi).

⑴若在此范圍內(nèi).

2a

①當(dāng)a>0時(shí),y最小=4"：一"丫的最大值要看-2為與々-（-2）的大小:當(dāng)前者大時(shí),y最大二山；當(dāng)后者

4a2a“2a

大時(shí),y最大二

②當(dāng)a<0時(shí),丫此火二”上忙.y的最小值要看—2-xi與々一（-2-）的大小:當(dāng)前者大時(shí)，丫最小=山；當(dāng)后者

4a2a~2a

大時(shí),y最小=yz

項(xiàng)訓(xùn)練

一、單選題

1.直角坐標(biāo)系M），中，一次函數(shù)片辰+”的工0）的圖象過點(diǎn)Q加），且與x軸，），軸分別交于A,

8兩點(diǎn).設(shè)“ABO的面積為S,貝！S的最小值是（）

A.4B.3C.2D.1

2.二次函數(shù).y=-2f+4x+3有（）.

A.最小值，為6B.最大值，為6C.最小值，為5D.最大值，為5

3.如圖，在"iBC中，ZC=90°,A3=10cm,8C=8cm,點(diǎn)尸從點(diǎn)A沿AC向點(diǎn)C以lcm/s的速度運(yùn)動(dòng)，

同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C沿C3向點(diǎn)8以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)8停止），在運(yùn)動(dòng)過程中，四邊形以5。的

面積最小值為（）

Q

B

A.16cm2B.19cm2C.12cmD.15cm2

4.已知二次函數(shù)丁=/一2〃皿/〃為常數(shù)），當(dāng)一時(shí)，函數(shù)值），的最小值為-2,則機(jī)的值是（）

333

A.-B.>/2C.±—或D.——或

5.關(guān)于x的方程ad+Zu+c=（）有兩個(gè)不相等的實(shí)根』、%,若占=2e，則46-9比的最大值是（）

A.1B.V2C.石D.2

6.已知二次函數(shù)yi=,加-3經(jīng)過點(diǎn)（2,-3）.不論〃?取何實(shí)數(shù)，若直線”=忌什上總經(jīng)過

的頂點(diǎn)，則攵的取值可以是（）

A.-3B.-1C.0D.2

7.對于拋物線—下列說法不正確的是（）

A.向上平移一個(gè)單位可得到拋物線y=3/B.當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)有最小值-1

C.當(dāng)x<0時(shí)，），隨x的增大而增大D.與拋物線），=-3丁+1關(guān)于x軸對稱

8.已知二次函數(shù)y=（陽一2）二+2mr+m—3的圖像與工軸有兩個(gè)交點(diǎn)5,0）,（必0）,則下列說法：

①該二次函數(shù)的圖像一定過定點(diǎn)〔一1,-5）；②若該函數(shù)圖像開口向下，則機(jī)的取值范圍為：

③當(dāng)機(jī)>2,且1—2時(shí)，y的最大值為4〃?一5；正確的有（）

A.①②B.0?C.②③D.①②③

9.如圖，已知二次函數(shù)的圖象（0<v<14-2V2）.關(guān)于該函數(shù)在所給自變量取值范圍內(nèi)，下列說法正確的是

（）

A.有最小值-2,無最大值

B.有最小值-2,有最大值-1.5

C.有最小值?2,有最大值2

D.有最小值-1.5,有最大值2

10.已知二次函數(shù)y=-（x-1）2+10,當(dāng)m<x<n,且mn<0時(shí)，y的最小值為2〃?，y的最大值為2〃，則m+n

的值為（）

53

A.3B.-C.2D.一

22

二、填空題

11.如圖，矩形A4CO中，BC=4,48=3,點(diǎn)￡為C。邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與C、。重合），以CE為邊向外作

4

矩形CEFG,且CG=1CE,連接BF,點(diǎn)。是線段8尸的中點(diǎn)，連接OE,則OE的最小值為.

12.如圖，正力形A8CO的邊長為1,點(diǎn)上在邊A8上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)A,8重合），N￡MM=45。，點(diǎn)尸在射

線AM上，且AF=gBE，C”與A。相交于點(diǎn)G,連接EC、EF、EG.則下列結(jié)論：①NECF=45。；

②FE平分乙。G；@BE+DG=EG-,④△EA戶的面積的最大值是!：其中正確的結(jié)論是.

，4BEH+/CEH<琳,

13.如圖，矩形A8CQ的四個(gè)頂點(diǎn)都在正三角形所G的邊匕已知△即G的邊長為6,記矩形A8CQ的面

積為S,則當(dāng)A8=時(shí)，S有最大值是.

14.如圖，在矩形A8CD中，A8=2cm,AO=5cm,點(diǎn)。為邊A。上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CP,點(diǎn)尸繞點(diǎn)C順

時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到點(diǎn)P,連接CP'并延長到點(diǎn)E,使CE=2CP,以CP、CE為鄰邊作矩形PCEF,連接DE、

DF,則△。所和WCE面積之和的最小值為.

15.對于二次函數(shù)），=￡-?+3,圖象的對稱軸為,當(dāng)自變量x滿足時(shí)，函數(shù)值y

的取值范圍為-iwywo,則。的取值范圍為

三、解答題

16.一塊材料的形狀是銳角三角形A8C,邊BC=120〃〃〃，高AD=80〃"〃，把它加工成正方形零件如圖1,使

正方形的一邊在8c上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在人以4c上.

(1)求證：△AEF^/XABCx

(2)求這個(gè)正方形零件的邊長;

(3)如果把它加工成矩形零件如圖2,當(dāng)EG寬為多少〃加時(shí)，矩形有最大面積，最大面積是多少？

17.如圖‘在平面直角坐標(biāo)系中’二次函數(shù)），=-；/+-+，的圖象與坐標(biāo)軸交于A、B、C三點(diǎn)，其中點(diǎn)A

的坐標(biāo)為（0,8）,點(diǎn)4的坐標(biāo)為（T,0）.

（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)。的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)力為該二次函數(shù)在第一象限內(nèi)圖象上的動(dòng)點(diǎn)，連接AC、8,以AC、8為鄰邊作平行四邊形4COE,

設(shè)平行四邊形ACDE的面積為S.

①求S的最大值；

②當(dāng)S取最大值時(shí)，P為該二次函數(shù)對稱軸上-點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)。關(guān)于直線CP的對稱點(diǎn)E落在軸上時(shí)，求點(diǎn)尸的

坐標(biāo).

18.已知二次函數(shù)了="-l+1,當(dāng)7三區(qū)1時(shí)，求函數(shù)y的最小值和最大值.彤彤的解答如下：

解：當(dāng)x=-1時(shí)，則y=2x（-1）2-（-1）+1=4：

當(dāng)工=1時(shí)，則y=2xl2-1+1=2；

所以函數(shù)），的最小值為2,最大值為4.

彤彤的解答正確嗎？如果不正確，寫出正確的解答.

19.已知二次函數(shù)），=-r+版+c?圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（I,16）.

（1）求b,c的值；

（2）是否存在實(shí)數(shù)〃?，〃（〃?〈〃），使當(dāng)"E爛〃時(shí)，二次函數(shù)的最小值是4〃?，最大值是4〃.若存在，求出

，〃，〃的值；若不存在,請說明理由.

20.在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線）=紈2+加_4經(jīng)過A（-4,0）,C（2,0）兩點(diǎn).

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)M為第三象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為小的面積為5.求S關(guān)于機(jī)的函數(shù)

關(guān)系式，并求出5的最大值.

21.拋物線y=o^+辰+3過點(diǎn)A（TO）,點(diǎn)8（3,0）,頂點(diǎn)為C.

（1）求拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）如圖1,點(diǎn)。在拋物線上，連接CP并延長交x軸于點(diǎn)。，連接AC,若△D4C是以AC為底的等腰三

角形，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

（3）如圖2,在（2）的條件下，點(diǎn)E是線段AC上（與點(diǎn)A,C不重合）的動(dòng)點(diǎn)，連接所，作NP￡F=/C4B,

邊防交工軸于點(diǎn)尸，設(shè)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為加，求〃?的取值范圍.

22.甲乙兩人先后從A地出發(fā)沿同一直道去8地.設(shè)乙出發(fā)第xmin時(shí)，甲、乙離笈地的距離分別為兄。，

y2m，,與X之間的函數(shù)表達(dá)式是X=-1OA-2-100X+2000，%與％之間的函數(shù)表達(dá)式是為=-1姒+2250.

（1）乙出發(fā)時(shí)，甲離A地的距離為m.

（2）乙出發(fā)至甲到達(dá)3地這段時(shí)間內(nèi)，

①兩人何時(shí)相距180小？

②兩人何時(shí)相距最近？最近距離是多少？

23.如圖，拋物線y="+bx+c（"。）與y軸交于點(diǎn)c（o,4）,與工軸交于A（—2,0），點(diǎn)/4,0）.

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)M是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，且在直線4c的上方，當(dāng)SA,,才取得最大值時(shí)，求SA.。的最大值和點(diǎn)M

的坐標(biāo)：

（3）在直線8C的上方，拋物線上是否存在點(diǎn)M,使四邊形ABMC的面積為15?若存在，求出點(diǎn)”的坐

標(biāo)；若不存在，請說明理由.

專題22二次函數(shù)中的最值問題

知識(shí)對接

考點(diǎn)一、求二次函數(shù)y=ax2+bx+c（aWO）的最值的方法

2.如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在圖象的頂點(diǎn)處取得最大值或最小值，即當(dāng)x=--

2a

時(shí),y最值二

4(7

2.如果自變量的取值范圍是XWXWQ（XWX2兇,X2對應(yīng)的函數(shù)值分別為yi,y2）,那么，首先要看是否在自變

2a

量K的取值范圍內(nèi).

⑴若在此范圍內(nèi).

2a

①當(dāng)a>0時(shí),y最小=4"：一"丫的最大值要看-2為與々-（-2）的大小:當(dāng)前者大時(shí),y最大二山；當(dāng)后者

4a2a“2a

大時(shí),y最大二

②當(dāng)a<0時(shí),丫此火二”上忙.y的最小值要看—2-xi與々一（-2-）的大小:當(dāng)前者大時(shí)，丫最小=山；當(dāng)后者

4a2a~2a

大時(shí),y最小=yz

專項(xiàng)訓(xùn)練

一、單選題

1.直角坐標(biāo)系叩），中，一次函數(shù)片辰+〃（船工0）的圖象過點(diǎn)Q加），且與X軸，），軸分別交于A,

8兩點(diǎn).設(shè)“ABO的面積為S,貝!S的最小值是（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【分析】

首先將（2,始）點(diǎn)代入一次函數(shù)解析式，求出&與〃的關(guān)系式，再求出一次函數(shù)產(chǎn)區(qū)（姑卻）的圖象與

x軸、丁軸分別交于A、4兩點(diǎn)坐標(biāo)，表示出△A4O的面積S,再根據(jù)花4,去掉絕對值，利用二次函數(shù)最

值求法，可求出S的最小值.

【詳解】

解：:?次函數(shù)y=^+b（姑工0）的圖象過點(diǎn)Q,必），代入?次函數(shù)解析式得:

:.kb=2k+b,

kb-2k=b,

k{b-2)=b.

一次函數(shù)-=以+爾祐W0）的圖象與力軸、V軸分別交于A、6兩點(diǎn),

4點(diǎn)坐標(biāo)為：（-7.0）.8點(diǎn)的坐標(biāo)為：（02）.

k

448。的面積為S,

b-2

若3..4,.?./一2/>>0,

修

??-，

2

4

的最小值為：-一1=4.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)求法，以及二次函數(shù)的最值問題等知識(shí)，表示性象與坐標(biāo)軸

圍成的面積，注意應(yīng)該加絕對值保證S是正值，這是做題中經(jīng)常犯錯(cuò)的地方.

2.二次函數(shù)），=-2/十4尤十3有（）.

A.最小值，為6B.最大值，為6C.最小值，為5D.最大值，為5

【答案】D

【分析】

先根據(jù)二次函數(shù)二次項(xiàng)系數(shù)。=-2<0,確定有最大值，再把二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式求解即可.

【詳解】

解：???二次函數(shù)的解析式為y=-2》+4x+3,

a=-2<0,

???二次函數(shù)有最大值，

???當(dāng)尸1時(shí)，二次函數(shù)有最大值5,

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了二次函數(shù)的最值問題，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.

3.如圖，在△ABC中，ZC=90°,AB=10cm,8C=8cm,點(diǎn)尸從點(diǎn)A沿AC向點(diǎn)C以Icm/s的速度運(yùn)動(dòng)，

同時(shí)點(diǎn)。從點(diǎn)C沿CB向點(diǎn)8以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)8停止)，在運(yùn)動(dòng)過程中，四邊形尸A8Q的

面積最小值為()

【答案】D

【分析】

在HAABC中，利用勾股定理可得AC=6cm,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為“0必"),則PC=(6T)an,CQ=2tcm,利

用分割圖形求面積法可得《邊彩外帥=/一酎+24,利用配方法即可求出四邊形總成?的面積最小值.

【詳解】

解：在心A48C中，ZC=90°,AB=\()cmt8c=&?〃，

二.AB='A*-JC2=6cm，

設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為《03W4),則PC=(6-/)5，CQ=2tan,

$四邊形E48Q=5MBe-S^CPQ

=^ACBC-^PCCQ

=Jx6x8-：(6-/)x2/

=r-6/+24=(-3)2+15

.??當(dāng)1=3時(shí)，四邊形〃A3Q的面積取最小值，最小值為15cm2.

故答案為：D

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)的最值，勾股定理.利用分割圖形求面積法找出右邊小收="一6/+24是解題的關(guān)鍵.

4.已知二次函數(shù)），=/-2〃跟機(jī)為常數(shù)），當(dāng)—14x42時(shí)，函數(shù)值），的最小值為-2,則機(jī)的值是（）

A.-B.近IC.i—或D.——或

【答案】D

【分析】

先確定拋物線的對稱軸為直線戶加，解答時(shí)，分〃?V-1,機(jī)>2三種情形求解即可.

【詳解】

解：???二次函數(shù)丫=3一2如（加為常數(shù)）,

???拋物線的對稱軸為直線后-亨二〃?，

當(dāng)mV-l時(shí)，-1VXV2表示的數(shù)在對稱軸的右側(cè),

*.*二次函數(shù)y=/-2?TLV（加為常數(shù)）中，a=\>0,

???在對稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而增大，

3

當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)y取得最小值，即1+2〃尸-2,解得m=--；

當(dāng)-lVmV2時(shí),

???二次函數(shù)y=x、2以（“為常數(shù)）中，〃=1>0,函數(shù)有最小值，

:.當(dāng)x=m時(shí),y取得最小值，即m2-2nr=-2,

解得〃?二42或〃尸-J2（不在范闈內(nèi)，舍去）；

當(dāng)加>2時(shí),

???二次函數(shù)y=f—2〃“（加為常數(shù)）中，a=l>0,

，在對稱軸的左側(cè)，.V隨x的增大而減小，

，當(dāng)尸2時(shí)，函數(shù)），取得最小值，即4-4〃?=-2,解得加=；,（不在范圍內(nèi)，舍去）

綜上所述，加的值為&或

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)的對稱軸，最值，函數(shù)的增減性，利用分類思想，靈活運(yùn)用二次函數(shù)的增減性確定最

值是解題的關(guān)鍵.

5.關(guān)于x的方程欠2+區(qū)+。=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根X、12，若9=2百，則4/2一9祀的最大值是（）

A.1B.72C.GD.2

【答案】D

【分析】

根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求得兩根之和和兩根之積，再根據(jù)兩根關(guān)系，求得系數(shù)的關(guān)系，代入

代數(shù)式，配方法化簡求值即可.

【詳解】

解：由方程ad+Zzr+c=O有兩個(gè)不相等的實(shí)根須、與

-,-ZH八bC

可得，。工0,%一—,XjX,=-

a-a

???樂=2內(nèi),可得3%=-2,2X,2=-,即2（-2）2=工

aa3aa

化簡得9ac=2/

貝ij4b-9ac=-2b2+4b=-2（b2-2b）=-2（b-l）2+2

故4〃-9M最大值為2

故選D

【點(diǎn)睛】

此題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，涉及了配方法求解代數(shù)式的最大值，根據(jù)一元二次方程根與系

數(shù)的關(guān)系得到系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

6.已知二次函數(shù)yi=〃*+心-3（"用0）經(jīng)過點(diǎn)（2,-3）.不論m取何實(shí)數(shù)，若直線”=陽2才+（總經(jīng)過）,1

的頂點(diǎn)，則女的取值可以是（）

A.-3B.-1C.0D.2

【答案】A

【分析】

將將點(diǎn)（2,-3）坐標(biāo)代入拋物線求得〃=-2〃?的關(guān)系，再求得拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，將頂點(diǎn)坐標(biāo)代入直線解

析式，求得h與〃?的關(guān)系，即可求解.

【詳解】

解：將點(diǎn)（2,-3）坐標(biāo)代入拋物線v的表達(dá)式得：?3=4〃?+2〃?3,

解得：n=-2m,故拋物線y[=mx2-2nvc-3,

Vji=〃*-2/址-3=in（x-1）2-m-3

???拋物線V的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（1,?3?切），

代人>2="Px+&得：-3-m=nr-\-k,

:.k—-nr-m-3=-（〃?+-^）2-:

故2有最大值，此時(shí)，，〃=-《時(shí)，最大值為一二，

24

故&!

4

故選：A.

【點(diǎn)睛】

此題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)求解k與〃?的函數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

7.對于拋物線y=3/—1,下列說法不正確的是（）

A.向上平移一個(gè)單位可得到拋物線y=3fB.當(dāng)工=0時(shí)-，函數(shù)有最小值-1

C.當(dāng)“<0時(shí)，y隨工的增大而增大D.與拋物線y=-3/+1關(guān)于x軸對稱

【答案】C

【分析】

根據(jù)二次函數(shù)圖象的幾何變換、二次函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)排查即可解答.

【詳解】

解：A、向上平移一個(gè)單位可得到拋物線y=3/,說法正確，故本選項(xiàng)不符合題意；

8.由于。=3>（）,該拋物線的開口方向向上，且頂點(diǎn)坐標(biāo)是（（），-I）,則當(dāng).『0時(shí)，函數(shù)有最小值-I,說法正

確，故本選項(xiàng)不符合題意；

C、由于對稱軸是y軸且拋物線的開口方向向上，則當(dāng)Z0時(shí)，y隨的增大而減小，說法錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)符

合題意；

。、拋物線丁=3/-1與拋物線），=-3/+1關(guān)于工軸對稱，說法正確，故本選項(xiàng)不符合題意.

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象與幾何變換、二次函數(shù)的最值等知識(shí)點(diǎn)，解答靈活利用二次

函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

8.已知二次函數(shù)y=（機(jī)-2）f+2川X+M-3的圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)（不，0）,（志，0）,則下列說法：

①該二次函數(shù)的圖像一定過定點(diǎn)1—1,-5）；②若該函數(shù)圖像開口向下，則〃?的取值范圍為：

當(dāng)〃?>2,且1M2時(shí)，y的最大值為4〃?一5；正確的有（）

A.①②B.??C.（2X3）D.①②③

【答案】A

【分析】

由拋物線的開口方向判斷。與。的關(guān)系，由拋物線與丁軸的交點(diǎn)判斷。與0的關(guān)系進(jìn)行推理，進(jìn)而對所得結(jié)

論進(jìn)行判斷.

【詳解】

解：①尸（w-2）x2+2nix+m-3=mLv+1）2-lv2-3,

當(dāng)x=-l時(shí)，產(chǎn)-5,故該函數(shù)圖象一定過定點(diǎn)（-1,-5）,故①正確；

②若該函數(shù)圖象開口向下，則加-2V0,且/>0,

△=b2-4ac=20m-24>0,解得：”?>二，且mV2,

故用的取值范圍為：^<m<2,故②正確；

③當(dāng)加>2,函數(shù)的對稱軸在>-軸左側(cè)，

當(dāng)IOW2時(shí)，），的最大值在x=2處取得，

故y的最大為：（機(jī)-2）x4+2〃?x2+加3=9〃卜11,故③錯(cuò)誤；

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，會(huì)利用對稱軸的范圍求2〃與人的關(guān)系，以及二次函數(shù)與方

程之間的轉(zhuǎn)換，根的判別式的熟練運(yùn)用.

9.如圖，已知二次函數(shù)的圖象（￡吆1+2&）.關(guān)于該函數(shù)在所給自變量取值范圍內(nèi)，下列說法正確的是

（）

A.有最小值-2,無最大值

B.有最小值-2,有最大值-1.5

C.有最小值?2,有最大值2

D.有最小值-1.5,有最大值2

【答案】C

【分析】

由函數(shù)圖象可看出其最大值和最小值，可求得答案.

【詳解】

解：由圖象可知當(dāng)x=l時(shí)，y有最小值-2,

當(dāng)工=1+2及時(shí)，），有最大值2,

???函數(shù)有最小值-2,有最大值最

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了二次函數(shù)的最值，正確識(shí)別函數(shù)圖象、理解最值的意義是解題的關(guān)鍵.

10.已知二次函數(shù)y=-（x-1）2+]o,當(dāng)m<x<n,且mn<0時(shí)，）,的最小值為2〃?，y的最大值為2〃，則m+n

的值為（）

53

A.3B.-C.2D.—

22

【答案】C

【分析】

由題意可得mVO,〃>0,則），的最小值為2〃?為負(fù)數(shù)，最大值為2〃為正數(shù).分兩種情況討論：①當(dāng)〃VI

時(shí)，工=/“時(shí)，），取最小值，求出加的俏，當(dāng)，=〃時(shí)，y取最大值,可求得〃的值，即可得到■〃的值：②

當(dāng)佇1時(shí)，當(dāng)x=〃i時(shí)，y取最小值，求出m的值，當(dāng)x=l時(shí)，y取最大值，求出〃的值，或工=〃時(shí)，y

取最小值，x=l時(shí)，y取最大值，分別求出小，〃的值，故可求解.

【詳解】

解：二次函數(shù)y=?（x?1）2+|o的大致圖象如下:

,.,加〃<0時(shí)，y的最小值為2m,y的最大值為2〃，

①當(dāng)〃V1時(shí)，時(shí)，y取最小值，即2〃?=?（m-1）2+10,

解得：〃?=-3.

當(dāng)工="時(shí)，y取最大值，即2〃=-（〃-1）2+10,

解得：〃=3或〃=-3（均不合題意，舍去）；

②當(dāng)應(yīng)1時(shí)，當(dāng)時(shí)、y取最小值，即2加=-（川-1）2+1（）,

解得：〃?=-3.

當(dāng)工=1時(shí)，y取最大值，即2〃=?（17）2+10,

解得：〃=5,

或工=〃時(shí)，y取最小值，x=l時(shí)：y取最大值，

2m=-（.n-1）2+io,n=5,

*.tn=-3,

所以m+n=-3+5=2.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)的最值問題，二次函數(shù)的增減性，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

11.如圖，矩形A8CO中，8C=4,AB=3,點(diǎn)E為CD邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與C、。重合），以CE為邊向外作

4

矩形CEFG,且CG=，CE,連接BF,點(diǎn)O是線段8尸的中點(diǎn)，連接OE,則OF的最小值為.

【答案】|

【分析】

根據(jù)矩形的性質(zhì)證明AOEF^AOMB,得出EF=BM,。￡=0M,再根據(jù)已知設(shè)EC=3x,則CG=EF=BM=4x,

再根據(jù)勾股定理求出EW=725X2-32A+16?求出EM的最小值即可.

【詳解】

解：延長OE,與BG交于M點(diǎn)、,如圖所示:

?.?。為8尸中點(diǎn)，EF//BG,

:.OB=OFfZEFO=MBO,

在AOEF和AOMB中,

ZEFO=NMBO

OF-OB

/EOF=NMOB

:.A()EF^^OMB(ASA),

;.EF=BM,OE=OM,

設(shè)EC=3x(O<3x<3),

則CG=￡F=8W=4x,

;.MC=BC-BM=4-4x,

EM=4EC2+MC2="(3x)2+(4-41)2=^x1-32x+\6，

當(dāng)EM最小時(shí)，OE最小，此時(shí)工=/，

48

即EC=3x=空，

25

:.OE=-EM=-.

25

故答案為：y.

【點(diǎn)睛】

本題考查矩形的性質(zhì)以及三角形全等的判定，關(guān)鍵是對知識(shí)的掌握和綜合運(yùn)用.

12.如圖，正方形48co的邊長為1,點(diǎn)E在邊48上運(yùn)動(dòng)(不與點(diǎn)A,8重合)，ND4M=45。，點(diǎn)”在射

線AM上，且AF=&BE，CT7與AO相交于點(diǎn)G,連接石C、EF、EG.則下列結(jié)論：①NECE=45。；

②尸E平分NAFG；③BE+DG=EG；④△以/的面積的最大值是J；其中正確的結(jié)論是.

【答案】①③

【分析】

①正確，如圖I中，在上截取3〃=BE,連接證明△用石且△曰/C(SAS)即可解決問題：

②錯(cuò)誤，由(I)可得NER?=45。，AEFA=ZCEH<45Q,由此即可判定EE不平分N4R7；

③正確，如圖2中，延長AO到H,使得?！?8E，連接C”,則△(?跖gZ\CW/(SAS),再證明

^GCE^AGCH(SAS)即可解決問題.

④錯(cuò)誤，如圖1,設(shè)哈BH=x,則他=C，=l-x,利用三角形的面積公式構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)

的性質(zhì)解決最值問題.

【詳解】

解：如圖1中，在上截取即=跖，連接EH.

.V

圖1

EH=4iBE,Z.BEH=45°,

AF=4iBE，

：.AF=EH,

?；NDAM=NEHB=45。,/朋。=90°,

.\Z/<4￡=ZEHC=135°,

?;BA=BC.BE=BH，

AE=HC,

：.EF=EC，ZAEF=NECB,

?;NECH+/CEB=9Q。,

；.ZAEF+NCEB=90°,

/.ZFEC=90°,

；.NECF=NEFC=450,故①正確；

???在凡△3￡C中，ZB=9O°.

；?ZBEC<90°,

/.NBEH+/CEH<X）。,

450+ZCEH<90°,

即NCEH<45。,

*/AM￡^Z\￡/7C,

:.^FA=^CEH<45°,

又???ZEPC=45。，

但A*ZJLFC,

???FE不平分4FG,故②錯(cuò)誤；

如圖2中，延長A0到”，使得,連接C",

圖2

又,：BC=DC,NB=/HDC=9()0,

L\CBE^/^CDH(SAS),

;.NECB=/DCH,CE=CH,

NECH=/BCD=90。，

:.NECG=NGCH=45。，

乂?：CG=CG,CE=CH.

:.△GCE^AGCH(SAS),

：.EG=GH,

,.GH=DG+DH,

:.EG=BE+DG,故③正確;

如圖1,設(shè)BE=BH=x,貝ljM=C77=l-x,

1、1

----X~+—X

22

244

5U4)24

.F。，

???當(dāng)x時(shí)，△詆的面積取得最大值，最大值為:，故④錯(cuò)誤,

2o

故答案為：①③.

【點(diǎn)睛】

本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用

輔助線構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題.

13.如圖，矩形A8C。的四個(gè)頂點(diǎn)都在正三角形EFG的邊上.已知△EFG的邊長為6,記矩形A8C。的面

積為S,則當(dāng)A8=時(shí)，S有最大值是.

【答案】3苫6

【分析】

求;l|AQ=BG=3-gx,解直角三角形求出AQ,再根據(jù)矩形的面積公式求出面積S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，把

解析式化成頂點(diǎn)式，再得出答案即可.

【詳解】

解：???△EFG的正三角形，

AZG=ZF=60°,

???四邊形。ABC是矩形，

：.AD=BC,DC=AB,ND48=NCBA=90。，

???NQAF=NC8G=90。，

在AFAD和^GBC1中

ZF=ZG

?NDA尸=NCBG,

AD=BC

(A4S),

：,AF=BG,

?：FG=6,AB=x,

：,AF=HG=^x(6-x)=3-春

22

E

ZF=60°.ZDAF=90°,

???/曲=30。，

FD=2x(3--^x)=6-.v

2222

AD=VFD-M=J(6-X)-(3--X)=343--xt

V22

???矩形ABCD的面積S=ADxAB=((36-告x)x,

即S關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式是：S=-在Y+3后,

2

'：Q<AB<FG,FG=6,

???自變量x的取值范圍是0VxV6,

S=--x2+3\/3x

2

=-^-(x2-6x)

=-y(x2-6x+9-9)

.E苧,

??,一且VO,

2

???開口向下，有最大值，

???當(dāng)x=3時(shí)，S的最大值是更：

2

故答案為：3,也.

2

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的最值，等邊三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，能求出A尸和

A。的長解此題的關(guān)鍵.

14.如圖，在矩形/WC。中，AB=2cm,A￡)=5cm,點(diǎn)尸為邊A。上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CP,點(diǎn)P繞點(diǎn)C順

時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到點(diǎn)〃，連接CP并延長到點(diǎn)E,使C￡=2C產(chǎn)，以CP、CE為鄰邊作矩形PCEF,連接

DE、DF,則△￡>/和gCE面積之和的最小值為

31

【答案】v

4

【分

過點(diǎn)。作?！盻LPC于"，設(shè)PZXa然后利用勾股定理求出PC,CH,E尸的長，然后表示出面積，利用二

次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】

解：如圖，過點(diǎn)。作?！↗_PC于從設(shè)PO=x,

???四邊形ABC。是矩形，

：,AB=CD=2cm,/尸。090°,

'PC=qD產(chǎn)+5=J4+Ycm,

?DHLPC,

.LpCgPH=Lc【）物D

22

八口CD§PD2x

.DH=——-——=,cm,

PC7^77

.CH=sjcD2-DH1=44,cm,

?四邊形PCE〃是矩形，

?EF=PC=>/4+x2<cm，

EC=2PC=2j4+fcm，

???當(dāng)工=不時(shí)，S△即+SMC￡有最小值了,

31

故答案為:v-

4

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，三角形面積，二次函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相

關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.

15.對于二次函數(shù))，=f一以+3,圖象的對稱軸為,當(dāng)自變最x滿足時(shí)，函數(shù)值y

的取值范圍為則。的取值范圍為.

【答案】直線4=2l<a<2

【分析】

根據(jù)二次函數(shù)對稱軸公式代入，可得到對稱軸；利用配方法求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，令，=。，可得到點(diǎn)A,8的坐標(biāo)

分別為(1,0),(3,0),畫出圖形，觀察圖形，即可求解.

【詳解】

解：???二次函數(shù)y=f-4x+3,

，對稱軸為直線“=-二=2：

2x1

22

VV=X-4X+3=(X-2)-1,

???當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)有最小值，最小值為y=-l,

當(dāng)7=0時(shí)，有/一4"3=0,

解得：內(nèi)=1,七=3,

???如圖所示，點(diǎn)A,8的坐標(biāo)分冊為(1,0),(3,0),

???當(dāng)14x43時(shí),-1<J<O,

???a《xW3時(shí)，函數(shù)值），的取值范圍為

從圖象中可得到T?）”0時(shí)，1W〃K2.

故答案為：直線x=2；\<a<2.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是拋物線與x軸的交點(diǎn)，主要考查函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、

頂點(diǎn)坐標(biāo)的求法，及這些點(diǎn)代表的意義及函數(shù)特征是解題的關(guān)鍵.

三、解答題

16.一塊材料的形狀是銳角三角形/WC,邊8C=120〃w,高AD=8（M〃b把它加工成正方形零件如圖1,使

正方形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在A&AC_k.

圖2

(1)求證：△AEF^/XABC：

求這個(gè)正方形零件的邊長;

(3)如果把它加工成矩形零件如圖2,當(dāng)EG寬為多少〃"〃時(shí)，矩形有最大面積，最大面積是多少？

【答案】Q）見解析；（2）正方形零件的邊長為48〃〃〃；（3）當(dāng)EG=40時(shí):此時(shí)矩形面積最大，最大面積

是2400/nm2.

【分^51

（1）根據(jù)矩形的對邊平行得到BC//EF,利用“平行于三角形的邊的直線截其他兩邊或其他兩邊的延長線,

得到的三角形與原三角形相似”判定即可.

（2）設(shè)正方形零件的邊長為x〃皿，則KQ=AK=80-x,根據(jù)E廣〃8C,得到△根據(jù)相

似三角形的性質(zhì)得到比例式，解方程即可得到結(jié)果;

（3）根據(jù)矩形面積公式得到關(guān)于。的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)求出矩形的最大值.

【詳解】

解:(1)?:正方形EGHF,

J.EF//BC,

/.'AEfsXABC：

(2)ZkAAC中8c邊上的高AO與￡尸相交于點(diǎn)K,

設(shè)EG=EF=x,

△人8C,

A。與AK是對應(yīng)邊上的高，

.EFAK

??,

BCAD

.x80-x

**120-80'

，尸48,

???正方形零件的邊長為48〃?加：

(3)△A6C中5c邊上的高AO與石f相交于點(diǎn)K,

設(shè)EG=a,

?;矩形EGHF,

:.EF〃BC,

：4AEFS/\ABC,

AD與AK是對應(yīng)邊上的高，

.EFAK

??---=----，

BCAD

.EF80-6/

**120-80

3

/.EF=120--?,

2

333

:.矩形面積S=a(120--a)=--?2+120a=--(a-40)2+2400,

222

當(dāng)“40時(shí)，此時(shí)矩形面積最大，最大面積是2400〃?〃/,

即：當(dāng)EG=40時(shí)，此時(shí)矩形面積最大，最大面積是2400/〃〃?2.

【點(diǎn)睛】

本題是相似形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵

是判斷出△4E/saA8C

17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù))，=-：/+法+。的圖象與坐標(biāo)軸交于4&。三點(diǎn)，其中點(diǎn)A

4

的坐標(biāo)為(0,8),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(T,0).

(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)。的坐標(biāo)：

(2)點(diǎn)。為該二次函數(shù)在第一象限內(nèi)圖象上的動(dòng)點(diǎn)，連接AC、CD,以AC、CD為鄰邊作平行四邊形ACDE,

設(shè)平行四邊形ACDE的面積為5.

①求S的最大值；

②當(dāng)S取最大值時(shí)，月為該二次函數(shù)對稱軸上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)。關(guān)于直線”的對稱點(diǎn)E落在N軸上時(shí)，求點(diǎn)夕的

坐標(biāo).

【答案】(1)產(chǎn)二爐+/8,C點(diǎn)坐標(biāo)為(8,0)；(2)①32；②尸(2,2)或(2,6)

4

【分析】

(1)把A點(diǎn)和8點(diǎn)坐標(biāo)代入、，==/+法+。得到關(guān)于反。的方程組，然后解方程組求出。、。即可得到拋物

線的解析式；然后計(jì)算函數(shù)值為0時(shí)對應(yīng)的自變量的值即可得到C點(diǎn)坐標(biāo)

(2)設(shè)直線機(jī)交x軸于F,過點(diǎn)C作CHLDE于H,先求出直線AC的解析式為y=-x+S,然后設(shè)￡>(?,

-!/+。+8),直線的解析式為求出直線的解析式，從而求出廠的坐標(biāo)得到C廠的長，

4

即可得到C”的長，最后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；

(3)設(shè)E(0,〃?)，P(2,n),根據(jù)題意可得CD=CE,PD=PE即CD?=CE?,PD2=PE2?先求出。點(diǎn)

坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)距離公式求解即可.

【詳解】

解：(1)把40,8),B(-4,0)代入產(chǎn)二小+灰+c得

c=8

-4-40+c=0

[/?=1

解得，

IC-o

所以拋物線的解析式為k￡2+1+8:

4

當(dāng)尸0時(shí)，-LF+X+8=0,解得笛=-4,.12=8,

4

所以。點(diǎn)坐標(biāo)為(8,0)；

(2)①如圖，設(shè)直線￡。交x軸于尸，過點(diǎn)C作CH_LQE于",

VC(8,0),A(0,8),設(shè)直線AC的解析式為＞二丘+8,

???0=8&+8解得A=-l

???直線AC的解析式為y=-x+8,

設(shè)D(“，-i?2+?+8),直線0E的解析式為y=-x+仇，

4

/?—a~+。+8=—a+Z?.

41

解得力=」〃2+2a+8

4

???直線DE的解.析式為y=-x-^-a2+2。+8,

4

???/是直線?！昱c犬軸的交點(diǎn)，

F(—ci~+lei+8,0)?

4

???CF=--a2+2a+8-8=--a2-i-2a

44

VOA=OC=8

???/4CO=NC4(7=/，bC=45。，AC=^OA^+OC2=842

:?CH=HF、

CH1+HF2=CF2,

：-CH=—CF,

2

??.C〃=￡-*+2a),

2)=-2(/_84+16)+32=-2(。一4『+32.??當(dāng)a=4時(shí)，S有最大

SyACnF-AC^JH=8\/2x~~0+2〃

值32；

②當(dāng)S取最大值時(shí)，。=4,

/__!_-2

：.D(4,8)二次函數(shù)的對稱軸2x(」)，

由題意可得，CD=CE,PD=PE即C>=C￡，PD2=PE2

設(shè)E(0,加)即(8—4)2+82=8%>，

解得〃尸±4,

即E(0,4)或(0,-4),

設(shè)P(2,71),

???(2-4)2+(w-8)2=(2-0)2+(w-4)2^(2-4)2+(n-8)2=(2-0)2+(/?+4)2,

解得〃=2或〃=6,

：.P(2,2)或(2,6).

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了二次函數(shù)綜合，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，勾股定理，兩點(diǎn)距離公式，平行四邊形的

性質(zhì)等等，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.

18.已知二次函數(shù)y=2x2?x+i,當(dāng)7人1時(shí)，求函數(shù))，的最小值和最大值.彤彤的解答如下：

解：當(dāng)x=-1時(shí)，則y=2x(-1)2-(-1)+1=4：

當(dāng)工=1時(shí)，則y=2xp-i+i=2；

所以函數(shù)y的最小值為2,最大值為4.

彤彤的解答正確嗎？如果不正確，寫出正確的解答.

【答案】不正確，二次函數(shù)的最大值為4,最小值為1

【分析】

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，先求出其對稱軸，然后確定函數(shù)圖像的增減性，利用增減性和對稱性求解即可得到

答案.

【詳解】

解：彤彤的解答不正確，

*.*y=2x2-x+\

h-i1

???二次函數(shù)的的對稱軸x=~=~=^

2a42

V-1<-<1,且2>0,

2

???當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)有最小值1y=2x（3）—=

二次函數(shù)在時(shí)，y隨X增大而減小，二次函數(shù)在;KxKl時(shí)，y隨X增大而增大，

???當(dāng)天二一1時(shí)，二次函數(shù)有最大值y=2x（—1『一（一1）+1=4,

???二次函數(shù)的最大值為4,最小值為I.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了二次函數(shù)的對稱性和增減性，二次函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)

行求解.

19.已知二次函數(shù)），=-/+版+c圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,16）.

（1）求b,c的值；

（2）是否存在實(shí)數(shù)〃?，〃（〃?<〃），使當(dāng)加09時(shí),二次函數(shù)的最小值是4血,最大值是4〃.若存在，求出

加，〃的值；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）b=2,c-15；（2）m=-5,n=4

【分析】

（1）先根據(jù)對稱軸求得從進(jìn)而把點(diǎn)（1,16）代入解析式即可求得c；

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（2）分三種情況:。、若歸1,~m+2m+\5=4mQ）t-w+2?+15=4/i?,m<n?,由此求出加、"的值相

同，不合題意;b、若〃左1,有：-〃P+2〃?+l5=4〃①，-〃?+2〃+15=4w②，m<n?,由此