V六軸特種機械臂的運動學分析案例目錄TOC\o"1-3"\h\u19865六軸特種機械臂的運動學分析案例 1245751.1機器人數(shù)學基礎 11271.1.1機器人位姿描述 1212081.1.2坐標變換 3203341.2機器人DH參數(shù)建模 544081.2.1機器人DH參數(shù)建模理論 5117561.2.2建立機器人DH參數(shù)模型 6224131.3運動學求解 9106571.1.1機器人運動學正解 971521.1.2機器人運動學逆解 12192151.4工作空間仿真 14113911.5小結 141.1機器人數(shù)學基礎1.1.1機器人位姿描述（1）空間位置描述設有空間直角坐標系{A}，點P為其空間內某點，其位置可用一個3×1的矢量AP AP=Px其中，Px，Py，PZ圖1.圖1.2空間姿態(tài)描述圖1.1空間位置描述（2）空間姿態(tài)描述前面已經(jīng)敘述了空間位置的描述，但在機器人學中，僅有位置描述是遠遠不夠的，還需要表示物體的空間姿態(tài)。物體的空間姿態(tài)可以用某個固接于此物體的坐標系來描述。設空間直角坐標系{B}與剛體B固接，則剛體B相對于空間直角坐標系{A}的空間姿態(tài)可以用旋轉矩陣ABR(如公式1.1)來表示，如圖1.3所示。旋轉矩陣ABR BAR=[A物體繞坐標系軸x，y，z作轉角θ的旋轉變換，會得到不同的旋轉矩陣，矩陣分別為 Rx,θ=10 Ry,θ=cθ0 Rz,θ=cθ其中，cθ=cos空間中描述運動物體姿態(tài)的常用方法是繞移動坐標系連續(xù)進行三次旋轉，每次都是基于參考坐標系旋轉，而非固定坐標系，故有多種組合。在建立研究模型時，一般情況下，運動坐標系和參考坐標系的初始方向相同，本文選擇其中的一種具體旋轉方式，運動描述步驟為，將系統(tǒng)中的某個關節(jié)先繞Z方向旋轉α角，然后繞X方向旋轉β角，最后繞Y方向旋轉γ角，從而得到歐拉變換矩陣如下：R==cαcγ?sαsβsγ?cβsαcαsγ+cγsαsβ（3）空間位姿描述剛體B的位置可以用位置矢量來描述，剛體B的姿態(tài)可以用旋轉矩陣來描述，將兩者結合便得到了剛體B的位姿描述，即B其中AP實際上，描述物體的位姿是通過4×4的矩陣來描述的，對旋轉矩陣進行齊次變換可得到其位姿矩陣。該矩陣最后一列表示末端的空間位置，前面的三列就是旋轉矩陣。其對應表達式如公式（1.7）所示。B=BA1.1.2坐標變換在研究機器人時，還需要考慮不同坐標系下對同一點的描述變換，稱為映射。設兩坐標系{A}、{B}的原點和姿態(tài)均不相同，其原點分別為A、B，APB點B在{A}中的位置矢量,旋轉矩陣BAR表示{B}相對于{A}的姿態(tài)，若點p在{B}中位置為BPAP=B這是坐標系的復合變換，為助于理解，可引入一個原點為B、姿態(tài)與與{A}的相同的過渡坐標系{C}，如圖1.4所示，那么可以得到復合變換如下[6]：AP=C圖圖1.3坐標系映射不同坐標系對空間中某點p的描述不同，齊次坐標變換可完成點在不同矩陣之間的位置變換，若已知點p在{B}中的坐標為BP，那么該點在{A}中的坐標AP可以由式（AP1=其中BAT=1.2機器人DH參數(shù)建模1.2.1機器人DH參數(shù)建模理論最常用的機器人的運動學建模方法是DH參數(shù)建模法，這種建模方法的原理如下：多次通過相連的關節(jié)坐標系的齊次變換，最后得到表示從基坐標系到機構末端坐標系的變換矩陣。DH參數(shù)建模法分為標準版和改進版。本文采用的是改進版的DH參數(shù)建模方法。機構關節(jié)通過連桿連接起來，如下圖1.4所示，將第i?1個連桿的左邊定義為i?1關節(jié)軸，通過這樣的定義，基坐標系就會定義為0；DH參數(shù)建模法共有四個重要參數(shù)，分別是描述兩種關系的，一種是連桿的參數(shù)，連桿兩個參數(shù)分別是它的長度和轉角，分別用a和α表示；連桿長度也就是兩個關節(jié)軸中間的公垂線的長度，連桿轉角αi就是關節(jié)軸i繞公垂線ai旋轉到與關節(jié)i?1平行時，中間所轉過的角度；另一種關系描述的是關節(jié)的兩個連桿間的聯(lián)系，分別是連桿的偏距d與關節(jié)角θ，把連桿i?1的長度ai?1沿關節(jié)軸i移動到與連桿i的長度ai相交，其中移動的距離就是連桿偏距di，這個參數(shù)表示的是兩個連桿沿關節(jié)軸i的距離。仔細觀察原理圖，我們可以發(fā)現(xiàn)連桿i?1和連桿i兩者不在一條線上，兩線之間存在一個角度，將連桿i?1的長度ai?1延長并經(jīng)過關節(jié)軸i線，同時將連桿i的長度ai平移到與a圖1.圖1.4DH參數(shù)原理圖由上述知，可求出兩個相鄰關節(jié)的DH參數(shù)，將實際機構的每個關節(jié)編號，根據(jù)DH參數(shù)建模原理建立每個關節(jié)的坐標系，通過齊次變換得出所有相鄰坐標系的關系矩陣，從而可以得到最終的變換矩陣，相鄰坐標系的變換矩陣如公式（1.11）所示。將DH參數(shù)代入到公式(1.11)中，即可求出兩個關節(jié)的變換關系。i?1i?1Ti=1.2.2建立機器人DH參數(shù)模型所給特種機械臂有兩個移動關節(jié)和四個旋轉關節(jié)，模型中的機構有6個運動副以及6個連桿，參數(shù)如下表1.1所示。表1.1機構參數(shù)表軸編號名稱運動方式運動設計范圍1Y向機構直線2X向機構直線3β1角操控旋轉4β2角操控旋轉±60°5α角操控旋轉±45°6γ1角操控旋轉±180°開始對整個機構進行建模。以X向機構和Y向機構初始交點設為基坐標系，關節(jié)中心點位坐標原點，將底座設為基座標；連桿坐標系的原點為該關節(jié)軸和下個關節(jié)軸的交點或該關節(jié)軸和公垂線的交點；以該關節(jié)軸的方向為坐標軸Z的方向，以該關節(jié)和下個關節(jié)軸公垂線的方向為坐標軸X的方向，最后根據(jù)右手直角坐標螺旋法則判定Y軸，按照此步驟可建立每個機構的關節(jié)坐標系，建立的機構關節(jié)坐標系如下圖1.5所示。機構的這些變量確定后，就可推出末端位姿的變換矩陣，空間位姿也就會被確定。圖1.5DH參數(shù)建立的坐標系圖1.5DH參數(shù)建立的坐標系DH參數(shù)如下表，如表1.2所示：表1.2DH參數(shù)表關節(jié)號關節(jié)角θi偏置d連桿扭角α連桿長度a190°d-90°02180°d90°0390°+θ090°04θ00k1590°+θ0-90°k26θk90°0其中表中的k1、k2、k3在原機械機構中長度為k1=1740mm，k2=1696mm，k3=865mm。根據(jù)DH參數(shù)表在MATLAB中建立機器人模型圖1.6所示。圖1.圖1.6根據(jù)DH參數(shù)建立的機器人模型1.3運動學求解1.1.1機器人運動學正解機器人的運動學正解就是已知各關節(jié)的運動參數(shù)，通過關節(jié)坐標系矩陣的變換，推導出機械臂的末端相對于基座標系的位姿信息。齊次矩陣可以描述一個機構變換姿態(tài)和位置，此特種機械臂具有多個關節(jié)，通過多個齊次矩陣變換就可以得到末端的空間位姿。由前文公式（1.11）我們已經(jīng)知道相鄰兩個關節(jié)坐標系的變換關系。設iTi+1矩陣是第i個關節(jié)坐標系到第i+1個關節(jié)的齊次變換矩陣。那么0T1就是表示初始坐標系到第1個關節(jié)坐標系的變換矩陣；0T2=由此可見，特種機械臂末端坐標系相對于基坐標系的位置和姿態(tài)變換矩陣0T6如式（0T6=按照公式（1.11）帶入各參數(shù)即可得到機械臂的運動學正解如下： 0T1=0 1T2=?1 2T3=? 3T4=c 4T5=?s 5T6=c 0T6=n式中： nx=?c34 ny=?c5 nz=s34 ox=c34 oy= oz=?c34 ax=c34 ay=?s5 az=?s34 px=d2 py=d1 pz=?k2其中，si=sinθi，任意給定一組關節(jié)變量的值如下表1.3所示：表1.3機器人關節(jié)變量ddθθθθ43π/6-π/60π將給定關節(jié)變量的值帶入式（1.20），得到機械臂末端坐標系相對于基坐標系的位置和姿態(tài)變換矩陣0T 0T6=0010在MATLAB的示教模型上標定這組給定的關節(jié)變量，如圖1.7所示?？梢杂^察到機器人的末端坐標為（4070.88，4，?870），與機械臂末端坐標系相對于基坐標系的位置和姿態(tài)變換矩陣0T6中的px、p圖1.圖1.7給定機器人關節(jié)角度的位姿模型1.1.2機器人運動學逆解機器人運動學逆解就是已知機器人末端坐標系相對于基坐標系的位姿信息，反過來求解各關節(jié)的轉動角度的過程。值得一提的是，機器人的逆解并不唯一。機器人運動學逆解的常用求解方法有解析法、迭代法、幾何法等。其中解析法是較為實用的一種方法，其求法如下。已知機器人末端坐標系相對于基座標系的位姿矩陣，用每個關節(jié)的逆矩陣左乘位姿矩陣，就可求得各關節(jié)的位置[11]。 T6=n式中，n、o、a為機械臂末端的姿態(tài)向量，[xyz]為末端的位置向量，T逆解過程如下：0T1?1T6=1T22T33T44根據(jù)式（1.34）和式（1.35）對每個關節(jié)進行求解，列出求得的逆解表達式如公式（1.36）所示。θ5=arcsin(?wy)

d1=l給定機械臂末端空間位姿為[4000，-400，-870，-2π/3，-2π/3，π/2]，將其帶入公式（1.7）中，求得變換矩陣如式（1.37）所示：0T6=?0.250.433?0.4330.75將式（1.37）結果帶入式（1.36）中，求出每個關節(jié)的運動量為[32.5，48，π/6，-π/6，π/6，π/3]。在MATLAB的示教模型上標定這組求出的關節(jié)變量，結果如圖1.8所示。圖1.圖1.8逆運動學仿真驗證對比圖中位姿信息和給定位姿信息，兩者結果一致?？芍娼馇笕≌_。1.4工作空間仿真對模型的正向運動學和逆向運動仿真完成之后，需要知道模型的工作空間，工作空間是模型在運動范圍內可達的點，是模型運動研究中的一個重要部分，工作空間由模型中每個關節(jié)長度以及關節(jié)所能運動的范圍決定。在前面建模的基礎上，利用蒙特卡羅方法對模型的工作空間進行仿真[12]。該方法的原理是通過隨機生成模型范圍內的運