2026年大學(xué)統(tǒng)計學(xué)期末考試題庫—抽樣調(diào)查方法與數(shù)據(jù)挖掘試題及答案一、單項選擇題（每題2分，共20分）1.在分層抽樣中，若各層樣本量按“層內(nèi)方差越大、樣本越多”的原則分配，則該分配方式稱為A.比例分配B.內(nèi)曼分配C.等額分配D.最優(yōu)分配答案：B解析：內(nèi)曼分配（Neymanallocation）公式為n_h∝N_hS_h，即層內(nèi)方差S_h越大，該層樣本量n_h越多，可使估計量方差最小。2.使用決策樹做分類時，若某節(jié)點純度已無法繼續(xù)提升，則該節(jié)點應(yīng)標(biāo)記為A.根節(jié)點B.內(nèi)部節(jié)點C.葉節(jié)點D.虛擬節(jié)點答案：C解析：純度無法繼續(xù)提升意味著無需再劃分，成為葉節(jié)點并賦予類別標(biāo)簽。3.在簡單隨機抽樣中，若總體大小N=1200，樣本量n=60，則樣本包含概率π_i為A.0.02B.0.05C.0.5D.1答案：B解析：π_i=n/N=60/1200=0.05。4.對高維稀疏文本數(shù)據(jù)，下列哪種距離度量最易受“零膨脹”影響而失真A.余弦相似度B.曼哈頓距離C.歐氏距離D.杰卡德距離答案：C解析：歐氏距離在零元素極多時，差異被大量“0”稀釋，導(dǎo)致判別力下降。5.在聚類評估中，若已知真實標(biāo)簽，則可使用A.輪廓系數(shù)B.Calinski-Harabasz指數(shù)C.調(diào)整蘭德指數(shù)（ARI）D.戴維森堡丁指數(shù)答案：C解析：ARI需要外部真實標(biāo)簽，衡量聚類與真實劃分的一致性。6.使用bootstrap估計比率估計量方差時，重抽樣次數(shù)B通常建議A.20B.50C.200D.2000答案：D解析：現(xiàn)代計算條件下B≥2000可使bootstrap方差估計穩(wěn)定。7.在PPS抽樣中，單元入樣概率與輔助變量x_i成比例，若x_i出現(xiàn)極端大值，則可能導(dǎo)致A.估計量方差為零B.估計量偏倚C.設(shè)計效應(yīng)小于1D.某些單元被重復(fù)抽中答案：B解析：極端大值使少數(shù)單元權(quán)重極大，若其y值異常，會放大偏倚。8.隨機森林中，對每棵樹節(jié)點分裂所用候選變量數(shù)mtry，若分類任務(wù)變量總數(shù)p=40，則默認(rèn)mtry為A.2B.6C.20D.40答案：B解析：R語言randomForest默認(rèn)mtry=sqrt(p)=√40≈6。9.在抽樣調(diào)查中，回答率隨問卷長度增加而下降，該現(xiàn)象屬于A.測量誤差B.覆蓋不足C.無回答誤差D.抽樣框誤差答案：C解析：問卷過長導(dǎo)致拒答，屬于無回答誤差來源。10.使用K-means對數(shù)據(jù){x_1,…,x_n}聚類，若初始中心落在同一真實簇內(nèi)，則算法可能A.收斂到全局最優(yōu)B.出現(xiàn)空簇C.收斂到局部最優(yōu)D.不收斂答案：C解析：K-means對初值敏感，可能陷入局部最優(yōu)。二、多項選擇題（每題3分，共15分，多選少選均不得分）11.下列哪些技術(shù)可有效降低整群抽樣設(shè)計效應(yīng)A.增大群內(nèi)樣本量B.減少群規(guī)模C.采用事后分層D.使用輔助變量回歸估計答案：BCD解析：減少群規(guī)?？山档腿簝?nèi)相關(guān)；事后分層與回歸估計可提高精度；增大群內(nèi)樣本量反而可能增加設(shè)計效應(yīng)。12.關(guān)于SMOTE算法，正確的是A.對少數(shù)類隨機插值生成新樣本B.會改變多數(shù)類分布C.可降低過擬合風(fēng)險D.適用于連續(xù)與離散混合變量答案：AC解析：SMOTE僅合成少數(shù)類，不改變多數(shù)類；對離散變量需改進算法如SMOTE-NC。13.在復(fù)雜抽樣設(shè)計中，下列哪些量需通過加權(quán)估計A.總體總量B.總體均值C.回歸系數(shù)D.樣本方差答案：ABC解析：復(fù)雜抽樣需用權(quán)重w_i=1/π_i估計總量、均值及模型參數(shù)；樣本方差為描述性統(tǒng)計，不需推斷總體。14.使用LASSO做變量選擇時，增大懲罰參數(shù)λ可導(dǎo)致A.更多變量系數(shù)被壓縮至零B.訓(xùn)練集RSS單調(diào)不減C.測試集預(yù)測誤差一定下降D.模型方差降低答案：ABD解析：λ增大，變量被剔除，訓(xùn)練誤差上升但模型方差下降；測試誤差呈U型，不一定下降。15.在抽樣權(quán)重校準(zhǔn)（calibration）中，可用作輔助信息的變量需滿足A.總體總量已知B.與目標(biāo)變量相關(guān)C.與inclusionprobability獨立D.無測量誤差答案：AB解析：校準(zhǔn)需已知總體總量且與目標(biāo)變量相關(guān)，其余非必須。三、判斷題（每題2分，共10分，正確打“√”，錯誤打“×”）16.在拒絕抽樣中，若提案分布g(x)與目標(biāo)分布f(x)形狀差異大，則接受概率低，效率下降。答案：√解析：接受概率α=f(x)/[Mg(x)]，形狀差異大導(dǎo)致M需大，α降低。17.使用K-fold交叉驗證時，K越大，偏差一定越小，方差一定越大。答案：×解析：K增大，訓(xùn)練集比例增高，偏差減小，但方差未必單調(diào)增，極端K=n時方差反而高。18.在分層抽樣中，若層界按目標(biāo)變量y的分布劃分，則稱該分層為“事后分層”。答案：×解析：按y劃分屬“最優(yōu)分層”，事后分層指抽樣后利用輔助變量重新分組。19.隨機森林的OOB誤差是訓(xùn)練集的無偏估計，因此可直接代替測試集誤差。答案：×解析：OOB為內(nèi)部估計，雖無偏但仍有波動，不能完全替代獨立測試集。20.對非平衡面板數(shù)據(jù)，若采用“完全案例刪除”處理缺失，則可能導(dǎo)致選擇偏倚。答案：√解析：刪除會系統(tǒng)性丟失某些特征樣本，造成參數(shù)估計偏倚。四、簡答題（每題8分，共24分）21.簡述在抽樣調(diào)查中使用“回歸估計”提高精度的原理，并給出總體均值估計量的表達式。答案：回歸估計利用輔助變量x與目標(biāo)變量y的線性關(guān)系，構(gòu)造估計量?_reg=?+β(X?–x?)其中?、x?為樣本均值，X?為總體已知均值，β為樣本回歸系數(shù)。通過消除x?與X?的隨機波動，降低?_reg的方差。若模型設(shè)定正確，方差減少量為β2Var(x?)。22.說明決策樹預(yù)剪枝與后剪枝的差異，并指出哪種在大數(shù)據(jù)環(huán)境下更常用及原因。答案：預(yù)剪枝在生長過程中通過閾值（如最小葉樣本數(shù)、最大深度）提前停止，速度快但可能欠擬合；后剪枝先長成完整樹再自底向上剪去不顯著分支，精度高但計算量大。大數(shù)據(jù)下常用預(yù)剪枝，因后剪枝需存儲整棵樹且遍歷代價高，預(yù)剪枝結(jié)合早期停止可分布式實現(xiàn)，節(jié)省內(nèi)存與時間。23.給出“設(shè)計效應(yīng)”（deff）的定義，并解釋為何整群抽樣的deff通常大于1。答案：deff=復(fù)雜抽樣估計量方差/相同樣本量的簡單隨機抽樣方差。整群抽樣中，群內(nèi)單元往往正相關(guān)（ICC>0），導(dǎo)致有效樣本量降低，方差增大，故deff>1。公式deff≈1+(b-1)ρ，其中b為群規(guī)模，ρ為組內(nèi)相關(guān)系數(shù)。五、計算與推導(dǎo)題（共31分）24.（10分）某高校欲估計本科生月均生活費，采用分層抽樣，分大一、大二、大三、大四4層，各層人數(shù)N_h與標(biāo)準(zhǔn)差S_h如下：層h：1234N_h：2000180016001400S_h：260220200180若總樣本量n=400，試按內(nèi)曼分配計算各層樣本量n_h，并給出總均值估計量方差表達式。答案：內(nèi)曼分配n_h=n·(N_hS_h)/Σ(N_hS_h)計算分子：2000×260=5200001800×220=3960001600×200=3200001400×180=252000總和=1488000n_1=400×520000/1488000≈139.8→140n_2=400×396000/1488000≈106.5→107n_3=400×320000/1488000≈86.0→86n_4=400×252000/1488000≈67.7→67總均值估計量?_st=Σ(N_h/N)?_h，其中N=6800方差Var(?_st)=Σ(N_h/N)2(1n_h/N_h)S_h2/n_h代入即可得數(shù)值。25.（10分）給定二維數(shù)據(jù){(x_i,y_i)}，i=1…n，證明加權(quán)最小二乘（WLS）估計量β?=(X?WX)?1X?Wy是總體超總體模型E[y]=Xβ的BLUE，并說明權(quán)重矩陣W與抽樣設(shè)計的關(guān)系。答案：模型設(shè)Var(y)=σ2V，V為已知對角陣。令W=V?1，則GLS估計量β?具有Gauss-Markov性質(zhì)，方差最小。在抽樣中，若單元方差與inclusionprobability相關(guān)，可取w_i=1/(π_iσ2)，則W為對角陣，WLS等價于設(shè)計加權(quán)回歸，兼顧抽樣設(shè)計與異方差，故為BLUE。26.（11分）某電商擁有客戶交易數(shù)據(jù)，目標(biāo)變量為“是否復(fù)購”?，F(xiàn)采用隨機森林建模，變量含連續(xù)型（近30天消費金額）與分類型（品類偏好）。訓(xùn)練集正負(fù)樣本比例1:9，共50萬條。（1）給出處理類別不平衡的兩種方案并比較優(yōu)劣；（2）若模型在測試集（10萬條）上表現(xiàn)：AUC=0.87，F(xiàn)1=0.42，分析可能原因并給出改進措施；（3）解釋為何OOB曲線在樹數(shù)>800后仍波動，并給出穩(wěn)定策略。答案：（1）方案A：欠采樣多數(shù)類至與少數(shù)類平衡，優(yōu)點訓(xùn)練快、內(nèi)存小，缺點丟失大量信息，模型方差高。方案B：SMOTE+ENN，先合成少數(shù)類再清洗邊界，優(yōu)點保留信息、提升召回，缺點可能生成噪聲、計算量大。大數(shù)據(jù)下推薦B，因50萬條下計算可接受，且信息保留充分。（2）AUC高說明排序能力強，F(xiàn)1低反映閾值0.5下精確或召回低。原因：正負(fù)比例懸殊，模型傾向預(yù)測負(fù)類，導(dǎo)致真正例少。改進：調(diào)整閾值至最優(yōu)F1點（如0.2），或采用代價敏感學(xué)習(xí)，將假陰性權(quán)重設(shè)為9倍。（3）OOB波動源于高維稀疏及強相關(guān)變量，樹數(shù)增加仍可能因隨機種子差異導(dǎo)致袋外預(yù)測小幅變化。穩(wěn)定策略：增大單棵樹樣本量（降低樹方差），或采用重復(fù)平均：多次運行取OOB均值，或改用cv-error。六、綜合應(yīng)用題（共40分）27.（20分）某市統(tǒng)計局欲估計老舊小區(qū)加裝電梯意愿比例?？傮w=1200棟樓，采用二階整群抽樣：第一階段PPS抽取30個小區(qū)（共600棟），第二階段每小區(qū)簡單隨機抽取2棟樓，共60棟。已知：（1）小區(qū)規(guī)模M_i與樓棟意愿比例P_i強相關(guān)，ρ≈0.8；（2）第一階段抽取概率π_i∝M_i；（3）調(diào)查獲得棟水平數(shù)據(jù)，y_j=1表示愿意，0否則。任務(wù)：a)寫出總體比例估計量及其方差估計步驟；b)若樣本比例p?=0.65，估計設(shè)計效應(yīng)；c)若預(yù)算允許再增加60棟，比較兩種方案：A.再抽30小區(qū)每區(qū)2棟；B.原30小區(qū)每區(qū)再增2棟。哪種更優(yōu)？答案：a)采用二階PPS+SRS估計量：p?=(ΣΣy_j/(π_iπ_{j|i}))/(ΣΣ1/(π_iπ_{{j|i}}))其中π_i=30M_i/ΣM_i，π_{j|i}=2/M_i。方差用Sen-Yates-Grundy公式：Var?(p?)=Σ_{i<i'}(π_{ii'}-π_iπ_{i'})(t_i/π_it_{i'}/π_{i'})2/(π_{ii'}π_iπ_{i'})+Σ_i(M_ichoose2)?1(12/M_i)Σ_{j<j'}(y_jy_{j'})2/2b)設(shè)計效應(yīng)計算：先按簡單隨機抽樣方差公式Var_SRS=p?(1-p?)/n，再求deff=Var?(p?)/Var_SRS。代入得deff≈2.1，表明整群+PPS使方差翻倍。c)方案A增加新群，可降低群內(nèi)相關(guān)帶來的方差；方案B加深原群，deff幾乎不變。故A更優(yōu)，預(yù)計方差減少約30%。28.（20分）某醫(yī)療研究機構(gòu)收集基因表達數(shù)據(jù)，維度p=20000，樣本n=800，目標(biāo)預(yù)測癌癥亞型（3類）。采用流程：Step1方差過濾+Wilcoxon檢驗篩至500基因；Step2LASSO多分類（family=multinomial）選變量；Step3用選出的變量訓(xùn)練SVM（RBF核）。交叉驗證平均準(zhǔn)確率僅72%，遠(yuǎn)低于文獻85%。分析潛在問題并給出系統(tǒng)改進方案，要求：（1）指出至少3處技術(shù)缺陷；（2）給出每一步可替換的先進方法并說明理由；（3）給出完整驗證策略避免信息泄露。答案：（1）缺陷：①過濾+Wrapper兩階段選變量導(dǎo)致選擇偏倚，測試信息提前泄露；②高維下Wilcoxon檢驗忽略基因間相關(guān)，丟失協(xié)同效應(yīng)；③LASSO對多類別分組效應(yīng)處理不足，且未調(diào)α；④SVM未做內(nèi)核參數(shù)調(diào)優(yōu)；⑤未考慮樣本不平衡，亞型3僅10%。（2）改進：Step1改用穩(wěn)定性選擇（StabilitySelection）或最小冗余最大相