高等數(shù)學(xué)圖論基礎(chǔ)測試試題及真題考試時長：120分鐘滿分：100分班級：__________姓名：__________學(xué)號：__________得分：__________試卷名稱：高等數(shù)學(xué)圖論基礎(chǔ)測試試題及真題考核對象：高等院校數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、運(yùn)籌學(xué)等相關(guān)專業(yè)本科生題型分值分布：-判斷題（總共10題，每題2分）總分20分-單選題（總共10題，每題2分）總分20分-多選題（總共10題，每題2分）總分20分-案例分析（總共3題，每題6分）總分18分-論述題（總共2題，每題11分）總分22分總分：100分---一、判斷題（每題2分，共20分）1.無向圖中的一條邊可以連接同一個頂點(diǎn)。2.在有向圖中，如果存在一條從頂點(diǎn)u到頂點(diǎn)v的路徑，則稱u是v的先驅(qū)。3.樹是至少有兩個頂點(diǎn)的連通圖。4.如果一個無向圖是歐拉圖，那么它所有頂點(diǎn)的度數(shù)都是偶數(shù)。5.在任何圖中，度數(shù)之和等于邊數(shù)的兩倍。6.如果一個圖有n個頂點(diǎn)，且邊數(shù)大于n(n-1)/2，則該圖一定是完全圖。7.拓?fù)渑判蚴菍τ邢驘o環(huán)圖頂點(diǎn)的一種線性排序。8.在最短路徑問題中，Dijkstra算法適用于有向帶權(quán)圖中所有邊的權(quán)重為正的情況。9.如果一個無向圖是連通的，且邊數(shù)等于頂點(diǎn)數(shù)減1，則該圖是樹。10.在二分圖中，任何頂點(diǎn)的鄰接頂點(diǎn)都可以分成兩個獨(dú)立的集合。二、單選題（每題2分，共20分）1.下列哪個不是圖論中的基本概念？A.頂點(diǎn)B.邊C.矩陣D.路徑2.一個有n個頂點(diǎn)的樹有多少條邊？A.n-1B.nC.n+1D.2n3.以下哪種算法可以用來檢測有向圖中是否存在環(huán)？A.Dijkstra算法B.Floyd-Warshall算法C.拓?fù)渑判駾.Bellman-Ford算法4.在無向圖中，如果兩個頂點(diǎn)之間有邊相連，則稱它們是______。A.相鄰的B.獨(dú)立的C.環(huán)的D.回路的5.歐拉回路是指______。A.經(jīng)過所有邊恰好一次的路徑B.經(jīng)過所有頂點(diǎn)恰好一次的路徑C.經(jīng)過所有頂點(diǎn)恰好兩次的路徑D.經(jīng)過所有邊恰好兩次的路徑6.以下哪個不是二分圖的性質(zhì)？A.頂點(diǎn)可以分成兩個獨(dú)立的集合B.任何兩個頂點(diǎn)之間都有邊相連C.邊只連接兩個不同集合的頂點(diǎn)D.圖是連通的7.在最短路徑問題中，F(xiàn)loyd-Warshall算法的時間復(fù)雜度是______。A.O(n)B.O(n^2)C.O(n^3)D.O(n^4)8.以下哪個不是圖的遍歷方法？A.深度優(yōu)先搜索B.廣度優(yōu)先搜索C.拓?fù)渑判駾.Dijkstra算法9.在無向圖中，度數(shù)小于等于1的頂點(diǎn)稱為______。A.葉子節(jié)點(diǎn)B.回路C.環(huán)D.拓?fù)渑判?0.以下哪個不是樹的基本性質(zhì)？A.樹是連通的B.樹沒有環(huán)C.樹的任意兩個頂點(diǎn)之間都有唯一的路徑D.樹的邊數(shù)等于頂點(diǎn)數(shù)加1三、多選題（每題2分，共20分）1.以下哪些是歐拉圖的性質(zhì)？A.圖是連通的B.所有頂點(diǎn)的度數(shù)都是偶數(shù)C.圖是二分的D.圖有歐拉回路2.以下哪些算法可以用來求解最短路徑問題？A.Dijkstra算法B.Floyd-Warshall算法C.Bellman-Ford算法D.拓?fù)渑判?.以下哪些是樹的性質(zhì)？A.樹是連通的B.樹沒有環(huán)C.樹的任意兩個頂點(diǎn)之間都有唯一的路徑D.樹的邊數(shù)等于頂點(diǎn)數(shù)減14.以下哪些是圖的遍歷方法？A.深度優(yōu)先搜索B.廣度優(yōu)先搜索C.拓?fù)渑判駾.Dijkstra算法5.以下哪些是二分圖的基本性質(zhì)？A.頂點(diǎn)可以分成兩個獨(dú)立的集合B.邊只連接兩個不同集合的頂點(diǎn)C.圖是連通的D.圖有歐拉回路6.以下哪些算法可以用來檢測有向圖中是否存在環(huán)？A.Dijkstra算法B.Floyd-Warshall算法C.拓?fù)渑判駾.Bellman-Ford算法7.以下哪些是圖的連通性質(zhì)？A.圖中任意兩個頂點(diǎn)之間都有路徑相連B.圖是連通的且邊數(shù)等于頂點(diǎn)數(shù)減1C.圖是二分的D.圖有歐拉回路8.以下哪些是樹的基本性質(zhì)？A.樹是連通的B.樹沒有環(huán)C.樹的任意兩個頂點(diǎn)之間都有唯一的路徑D.樹的邊數(shù)等于頂點(diǎn)數(shù)加19.以下哪些是圖的遍歷方法？A.深度優(yōu)先搜索B.廣度優(yōu)先搜索C.拓?fù)渑判駾.Dijkstra算法10.以下哪些是二分圖的基本性質(zhì)？A.頂點(diǎn)可以分成兩個獨(dú)立的集合B.邊只連接兩個不同集合的頂點(diǎn)C.圖是連通的D.圖有歐拉回路四、案例分析（每題6分，共18分）1.問題描述：某公司有5個部門（A、B、C、D、E），需要鋪設(shè)網(wǎng)絡(luò)連接所有部門。部門之間的連接成本如下表所示（單位：萬元）：|部門|A|B|C|D|E||------|---|---|---|---|---||A|-|5|3|6|4||B|5|-|6|2|7||C|3|6|-|4|5||D|6|2|4|-|3||E|4|7|5|3|-|請問如何連接這些部門，使得總成本最小？2.問題描述：某城市有6個路口（P1、P2、P3、P4、P5、P6），路口之間的道路為單向道路，且每條道路的通行時間如下表所示（單位：分鐘）：|路口|P1|P2|P3|P4|P5|P6||------|----|----|----|----|----|----||P1|-|5|3|6|-|-||P2|-|-|6|2|7|-||P3|-|-|-|4|5|-||P4|-|-|-|-|3|4||P5|-|-|-|-|-|2||P6|-|-|-|-|-|-|請問如何從P1到P6的最短路徑？3.問題描述：某公司有7個項(xiàng)目（P1、P2、P3、P4、P5、P6、P7），項(xiàng)目之間的依賴關(guān)系如下表所示（箭頭表示依賴關(guān)系）：|項(xiàng)目|依賴項(xiàng)目||------|----------||P1|無||P2|P1||P3|P1||P4|P2||P5|P3||P6|P4||P7|P5|請問如何安排項(xiàng)目的執(zhí)行順序？五、論述題（每題11分，共22分）1.論述題：請?jiān)敿?xì)論述深度優(yōu)先搜索（DFS）和廣度優(yōu)先搜索（BFS）的算法原理、時間復(fù)雜度、空間復(fù)雜度以及應(yīng)用場景。2.論述題：請?jiān)敿?xì)論述歐拉回路和歐拉路徑的區(qū)別，并舉例說明如何判斷一個無向圖是否包含歐拉回路或歐拉路徑。---標(biāo)準(zhǔn)答案及解析一、判斷題1.×（無向圖中的一條邊必須連接兩個不同的頂點(diǎn)）2.√3.×（樹是至少有兩個頂點(diǎn)的連通無向圖）4.√5.√6.×（邊數(shù)大于n(n-1)/2意味著圖是密集的，但不一定是完全圖）7.√8.√9.√10.√二、單選題1.C2.A3.C4.A5.A6.B7.C8.D9.A10.D三、多選題1.A,B,D2.A,B,C3.A,B,C,D4.A,B5.A,B,C6.C,D7.A,B8.A,B,C,D9.A,B10.A,B,C四、案例分析1.解答：使用Kruskal算法求解最小生成樹（MST）。首先將所有邊按成本排序：(A-C,3),(B-D,2),(A-E,4),(C-D,4),(A-B,5),(B-E,7),(C-E,5),(D-P5,3),(P5-P6,2)按順序選擇邊，確保不形成環(huán)：-選擇A-C，成本3-選擇B-D，成本2-選擇A-E，成本4-選擇C-D，成本4-選擇P5-P6，成本2總成本為3+2+4+4+2=15萬元。2.解答：使用Dijkstra算法求解最短路徑。初始化距離表：|路口|距離|前驅(qū)||------|------|------||P1|0|-||P2|∞|-||P3|∞|-||P4|∞|-||P5|∞|-||P6|∞|-|更新距離：-P1到P2，距離5-P1到P3，距離3-P2到P4，距離7-P3到P4，距離7-P4到P5，距離10-P5到P6，距離12最短路徑為P1→P3→P4→P5→P6，總時間12分鐘。3.解答：使用拓?fù)渑判蛩惴?。?gòu)建鄰接表：|項(xiàng)目|出度|鄰接項(xiàng)目||------|------|----------||P1|0|-||P2|1|P1||P3|1|P1||P4|1|P2||P5|1|P3||P6|1|P4||P7|1|P5|拓?fù)渑判蚪Y(jié)果：P1→P2→P3→P4→P5→P6→P7。五、論述題1.深度優(yōu)先搜索（DFS）和廣度優(yōu)先搜索（BFS）-DFS原理：從起始頂點(diǎn)出發(fā)，盡可能深入探索一條路徑，直到無法繼續(xù)前進(jìn)，再回溯到上一個頂點(diǎn)繼續(xù)探索其他路徑。使用棧（遞歸或顯式棧）實(shí)現(xiàn)。-時間復(fù)雜度：O(V+E)-空間復(fù)雜度：O(V)-應(yīng)用場景：求連通分量、拓?fù)渑判?、檢測環(huán)、路徑搜索等。-BFS原理：從起始頂點(diǎn)出發(fā)，先訪問所有相鄰頂點(diǎn)，再逐層向外擴(kuò)展。使用隊(duì)列實(shí)現(xiàn)。-時間復(fù)雜度：O(V+E)