同學(xué)們?cè)诎四昙?jí)下冊(cè)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，將接觸到一些更為抽象和系統(tǒng)的知識(shí)模塊。這些內(nèi)容不僅是對(duì)前期所學(xué)的深化，也是后續(xù)學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)。本總結(jié)旨在幫助同學(xué)們梳理本學(xué)期的核心知識(shí)點(diǎn)，理清知識(shí)脈絡(luò)，鞏固學(xué)習(xí)成果。一、四邊形四邊形是平面幾何中的基本圖形之一，本章我們將系統(tǒng)學(xué)習(xí)各類四邊形的性質(zhì)與判定，以及它們之間的聯(lián)系與區(qū)別。1.1多邊形多邊形的內(nèi)角和與外角和是本章的入門基礎(chǔ)。對(duì)于一個(gè)n邊形（n≥3）：*內(nèi)角和公式為(n-2)×180°。這個(gè)公式的推導(dǎo)思路是將n邊形分割成(n-2)個(gè)三角形，利用三角形內(nèi)角和為180°得出。*外角和恒為360°，與邊數(shù)無(wú)關(guān)。這是一個(gè)非常重要的結(jié)論，無(wú)論多邊形的邊數(shù)如何變化，其外角和始終保持不變。1.2平行四邊形平行四邊形的定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。平行四邊形的性質(zhì)：*對(duì)邊平行且相等。*對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)。*對(duì)角線互相平分。*平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，兩條對(duì)角線的交點(diǎn)是它的對(duì)稱中心。平行四邊形的判定：*定義判定：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形。*兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形。*一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。*兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形。*對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形。1.3特殊的平行四邊形矩形：*定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形（通常也叫長(zhǎng)方形）。*性質(zhì)：除具有平行四邊形的所有性質(zhì)外，還有：*四個(gè)角都是直角。*對(duì)角線相等。*既是中心對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形（有兩條對(duì)稱軸）。*判定：*定義判定：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形。*三個(gè)角是直角的四邊形是矩形。*對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形。菱形：*定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。*性質(zhì)：除具有平行四邊形的所有性質(zhì)外，還有：*四條邊都相等。*對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角。*既是中心對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形（有兩條對(duì)稱軸）。*判定：*定義判定：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。*四條邊都相等的四邊形是菱形。*對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形。正方形：*定義：有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形。它既是特殊的矩形，也是特殊的菱形。*性質(zhì)：同時(shí)具有矩形和菱形的所有性質(zhì)：*四個(gè)角都是直角，四條邊都相等。*對(duì)角線相等且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角。*既是中心對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形（有四條對(duì)稱軸）。*判定：*定義判定：有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形。*有一組鄰邊相等的矩形是正方形。*有一個(gè)角是直角的菱形是正方形。1.4梯形梯形的定義：一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊不平行的四邊形叫做梯形。平行的兩邊叫做梯形的底（通常把較短的底叫做上底，較長(zhǎng)的底叫做下底），不平行的兩邊叫做梯形的腰，兩底之間的距離叫做梯形的高。等腰梯形：兩腰相等的梯形叫做等腰梯形。*性質(zhì)：*等腰梯形同一底上的兩個(gè)角相等。*等腰梯形的兩條對(duì)角線相等。*等腰梯形是軸對(duì)稱圖形（有一條對(duì)稱軸）。*判定：*定義判定：兩腰相等的梯形是等腰梯形。*在同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形。直角梯形：有一個(gè)角是直角的梯形叫做直角梯形。解決梯形問(wèn)題的常用輔助線：將梯形通過(guò)添加輔助線轉(zhuǎn)化為三角形或平行四邊形來(lái)解決，常見(jiàn)的輔助線做法有：平移一腰、過(guò)上底兩端點(diǎn)作高、平移對(duì)角線、延長(zhǎng)兩腰交于一點(diǎn)等。二、一次函數(shù)函數(shù)是描述變量之間對(duì)應(yīng)關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型，一次函數(shù)是初中階段學(xué)習(xí)的第一種基本函數(shù)，它在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的應(yīng)用。2.1函數(shù)的概念變量與常量：在一個(gè)變化過(guò)程中，數(shù)值發(fā)生變化的量稱為變量，數(shù)值始終不變的量稱為常量。函數(shù)的定義：一般地，在一個(gè)變化過(guò)程中，如果有兩個(gè)變量x與y，并且對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，那么我們就說(shuō)x是自變量，y是x的函數(shù)。如果當(dāng)x=a時(shí)y=b，那么b叫做當(dāng)自變量的值為a時(shí)的函數(shù)值。函數(shù)的表示方法：*解析法：用數(shù)學(xué)式子表示函數(shù)關(guān)系的方法。*列表法：通過(guò)列表格來(lái)表示函數(shù)關(guān)系的方法。*圖像法：用圖像來(lái)表示函數(shù)關(guān)系的方法。函數(shù)圖像的畫法：列表、描點(diǎn)、連線。2.2一次函數(shù)的定義與圖像正比例函數(shù)：一般地，形如y=kx（k是常數(shù)，k≠0）的函數(shù)，叫做正比例函數(shù)，其中k叫做比例系數(shù)。正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù)。一次函數(shù)：一般地，形如y=kx+b（k、b是常數(shù)，k≠0）的函數(shù)，叫做一次函數(shù)。當(dāng)b=0時(shí)，y=kx+b即y=kx，所以正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù)。一次函數(shù)的圖像：一次函數(shù)y=kx+b的圖像是一條直線。因此，畫一次函數(shù)圖像時(shí)，只要確定兩個(gè)點(diǎn)，再過(guò)這兩個(gè)點(diǎn)畫直線就可以了。通常選?。?，b）和（-b/k，0）（當(dāng)k≠0，b≠0時(shí)）這兩個(gè)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)比較簡(jiǎn)便。*正比例函數(shù)y=kx的圖像是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)（0，0）的一條直線。2.3一次函數(shù)的性質(zhì)一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的性質(zhì)主要由比例系數(shù)k和常數(shù)項(xiàng)b決定：*k的符號(hào)決定直線的傾斜方向和增減性：*當(dāng)k>0時(shí)，直線y=kx+b從左向右上升，即y隨x的增大而增大。*當(dāng)k<0時(shí)，直線y=kx+b從左向右下降，即y隨x的增大而減小。*b的符號(hào)決定直線與y軸交點(diǎn)的位置：*當(dāng)b>0時(shí)，直線y=kx+b與y軸交于正半軸。*當(dāng)b=0時(shí)，直線y=kx+b經(jīng)過(guò)原點(diǎn)。*當(dāng)b<0時(shí)，直線y=kx+b與y軸交于負(fù)半軸。*k的絕對(duì)值大小決定直線的傾斜程度：|k|越大，直線越陡；|k|越小，直線越平緩。2.4一次函數(shù)與方程、不等式的關(guān)系*一次函數(shù)y=kx+b的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，就是一元一次方程kx+b=0的解。*對(duì)于一次函數(shù)y=kx+b，當(dāng)y>0時(shí)，相應(yīng)的x的取值范圍就是一元一次不等式kx+b>0的解集；當(dāng)y<0時(shí)，相應(yīng)的x的取值范圍就是一元一次不等式kx+b<0的解集。2.5一次函數(shù)的應(yīng)用運(yùn)用一次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟：1.分析問(wèn)題，找出題目中的兩個(gè)變量。2.設(shè)出函數(shù)關(guān)系式（通常設(shè)為y=kx+b的形式）。3.根據(jù)題目所給條件，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)關(guān)系式中的k和b的值，確定函數(shù)關(guān)系式。4.利用求出的函數(shù)關(guān)系式解決實(shí)際問(wèn)題（如預(yù)測(cè)、決策等）。常見(jiàn)的應(yīng)用類型有：行程問(wèn)題、工程問(wèn)題、利潤(rùn)問(wèn)題、方案選擇問(wèn)題等。三、數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)與離散程度統(tǒng)計(jì)學(xué)是研究如何收集、整理、分析數(shù)據(jù)并據(jù)此進(jìn)行推斷的科學(xué)。本章主要學(xué)習(xí)描述數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)和離散程度的幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量。3.1數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)平均數(shù)：*算術(shù)平均數(shù)：一般地，對(duì)于n個(gè)數(shù)x?,x?,...,x?，我們把(x?+x?+...+x?)/n叫做這n個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，簡(jiǎn)稱平均數(shù)，記為`x?`。*加權(quán)平均數(shù)：如果n個(gè)數(shù)中，x?出現(xiàn)f?次，x?出現(xiàn)f?次，...，x?出現(xiàn)f?次（這里f?+f?+...+f?=n），那么這n個(gè)數(shù)的平均數(shù)可以表示為`x?`=(x?f?+x?f?+...+x?f?)/n，這個(gè)平均數(shù)叫做加權(quán)平均數(shù)，其中f?,f?,...,f?叫做權(quán)。中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按照由小到大（或由大到?。┑捻樞蚺帕?，如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可能不止一個(gè)，也可能沒(méi)有眾數(shù)。平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別：*平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的量。*平均數(shù)計(jì)算要用到所有數(shù)據(jù)，它能充分利用所有數(shù)據(jù)提供的信息，但容易受極端值的影響。*中位數(shù)僅與數(shù)據(jù)的排列位置有關(guān)，某些數(shù)據(jù)的變動(dòng)對(duì)中位數(shù)沒(méi)有影響，它是一組數(shù)據(jù)中間位置上的代表值，不易受極端值的影響。*眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，它著眼于各數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻率，其大小只與這組數(shù)據(jù)中的部分?jǐn)?shù)據(jù)有關(guān)，當(dāng)一組數(shù)據(jù)中有不少數(shù)據(jù)多次重復(fù)出現(xiàn)時(shí)，眾數(shù)往往是人們尤為關(guān)心的一個(gè)量。3.2數(shù)據(jù)的離散程度方差：設(shè)有n個(gè)數(shù)據(jù)x?,x?,...,x?，各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)`x?`的差的平方分別是(x?-`x?`)2,(x?-`x?`)2,...,(x?-`x?`)2，我們用這些值的平均數(shù)，即S2=[(x?-`x?`)2+(x?-`x?`)2+...+(x?-`x?`)2]/n來(lái)衡量這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小，并把它叫做這組數(shù)據(jù)的方差，記作S2。方差越大，數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大；方差越小，數(shù)據(jù)的波動(dòng)越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定。標(biāo)準(zhǔn)差：方差的算術(shù)平方根叫做這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差，記作S。即S=√S2。標(biāo)準(zhǔn)差也是用來(lái)衡量數(shù)據(jù)波動(dòng)大小的量。四、勾股定理勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，它揭示了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，在數(shù)學(xué)和現(xiàn)實(shí)生活中都有著極其廣泛的應(yīng)用。4.1勾股定理勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2=c2。我國(guó)古代把直角三角形中較短的直角邊叫做“勾”，較長(zhǎng)的直角邊叫做“股”，斜邊叫做“弦”。勾股定理的證明：勾股定理的證明方法有很多種，如趙爽弦圖、美國(guó)總統(tǒng)伽菲爾德的面積證法等，其核心思想大多是通過(guò)割補(bǔ)、拼接等方法，利用面積相等來(lái)推導(dǎo)。4.2勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形。勾股定理的逆定理是判斷一個(gè)三角形是否為直角三角形的重要方法。勾股數(shù)：能夠成為直角三角形三條邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)。常見(jiàn)的勾股數(shù)有（3，4，5）、（5，12，13）等，它們的倍數(shù)也是勾股數(shù)。4.3勾股定理的應(yīng)用勾股定理及其逆定理在解決實(shí)際問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用，如：*已知直角三角形