2026屆上海市普通高中數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)（）A.3699塊 B.3474塊C.3402塊 D.3339塊2．已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，，是雙曲線上一點(diǎn)，且，，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B.C. D.3．已知點(diǎn)，則滿足點(diǎn)到直線的距離為，點(diǎn)到直線距離為的直線的條數(shù)有（）A.1 B.2C.3 D.44．直線與圓相交與A，B兩點(diǎn)，則AB的長等于（）A3 B.4C.6 D.15．已知橢圓和雙曲線有共同的焦點(diǎn)，分別是它們的在第一象限和第三象限的交點(diǎn)，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，則等于（）A.4 B.2C.2 D.36．直線的傾斜角為（）A.-30° B.60°C.150° D.120°7．已知點(diǎn)，在雙曲線上，線段的中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.8．已知數(shù)列是等比數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列，若，則（）A. B.C. D.9．已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，上、下頂點(diǎn)分別為.點(diǎn)為上不在坐標(biāo)軸上的任意一點(diǎn)，且四條直線的斜率之積大于，則的離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.10．若圓與直線相切，則（）A.3 B.或3C. D.或11．已知為等差數(shù)列，為其前n項(xiàng)和，，則下列和與公差無關(guān)的是（）A. B.C. D.12．過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn),點(diǎn)是原點(diǎn),若;則的面積為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，若，則______14．中國三大名樓之一的黃鶴樓因其獨(dú)特的建筑結(jié)構(gòu)而聞名，其外觀有五層而實(shí)際上內(nèi)部有九層，隱喻“九五至尊”之意，為迎接2022年春節(jié)的到來，有網(wǎng)友建議在黃鶴樓內(nèi)部掛燈籠進(jìn)行裝飾，若在黃鶴樓內(nèi)部九層塔樓共掛1533盞燈籠，且相鄰的兩層中，下一層的燈籠數(shù)是上一層燈籠數(shù)的兩倍，則內(nèi)部塔樓的頂層應(yīng)掛______盞燈籠15．曲線在x=1處的切線方程為__________.16．某足球俱樂部選拔青少年隊(duì)員，每人要進(jìn)行3項(xiàng)測試．甲隊(duì)員每項(xiàng)測試通過的概率均為，且不同測試之間相互獨(dú)立，設(shè)他通過的測試項(xiàng)目數(shù)為X，則_________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓C：短軸長為2，且點(diǎn)在C上（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)、為橢圓的左、右焦點(diǎn)，過的直線l交橢圓C與A、B兩點(diǎn)，若的面積是，求直線l的方程18．（12分）已知直線與直線交于點(diǎn).（1）求過點(diǎn)且平行于直線的直線的方程，并求出兩平行直線間的距離；（2）求過點(diǎn)并且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線的方程.19．（12分）已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{bn}滿足：點(diǎn)（n，bn）在曲線y＝上，a1＝b4，___，數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為Tn從①S4＝20，②S3＝2a3，③3a3﹣a5＝b2這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到上面問題的橫線上并作答（1）求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；（2）是否存在正整數(shù)k，使得Tk＞，且bk＞？若存在，求出滿足題意的k值；若不存在，請說明理由20．（12分）如圖1，在邊長為4的等邊三角形ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，AC，BC的中點(diǎn)，沿DE把折起，得到如圖2所示的四棱錐.（1）證明：平面.（2）若二面角的大小為60°，求平面與平面的夾角的大小.21．（12分）已知等差數(shù)列中，，前5項(xiàng)的和為，數(shù)列滿足，（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和22．（10分）設(shè)數(shù)列滿足（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，是否存在實(shí)數(shù)，使得對任意恒成立.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】第n環(huán)天石心塊數(shù)為，第一層共有n環(huán)，則是以9為首項(xiàng)，9為公差的等差數(shù)列，設(shè)為的前n項(xiàng)和，由題意可得，解方程即可得到n，進(jìn)一步得到.【詳解】設(shè)第n環(huán)天石心塊數(shù)為，第一層共有n環(huán)，則是以9為首項(xiàng)，9為公差的等差數(shù)列，，設(shè)為的前n項(xiàng)和，則第一層、第二層、第三層的塊數(shù)分別為，因?yàn)橄聦颖戎袑佣?29塊，所以，即即，解得，所以.故選：C【點(diǎn)晴】本題主要考查等差數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)的計(jì)算問題，考查學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道容易題.2、D【解析】根據(jù)條件設(shè)，，由條件求得，即可求得雙曲線方程.【詳解】設(shè)，則由已知得，，又，，又，，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：D3、D【解析】以為圓心，為半徑，為圓心，為半徑分別畫圓，將所求轉(zhuǎn)化為求圓與圓的公切線條數(shù)，判斷兩圓的位置關(guān)系，從而得公切線條數(shù).【詳解】以為圓心，為半徑，為圓心，為半徑分別畫圓，如圖所示，由題意，滿足點(diǎn)到直線的距離為，點(diǎn)到直線距離為的直線的條數(shù)即為圓與圓的公切線條數(shù)，因?yàn)椋詢蓤A外離，所以兩圓的公切線有4條，即滿足條件的直線有4條.故選：D【點(diǎn)睛】解答本題的關(guān)鍵是將滿足點(diǎn)到直線的距離為，點(diǎn)到直線距離為的直線的條數(shù)轉(zhuǎn)化為圓與圓的公切線條數(shù)，從而根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系判斷出公切線條數(shù).4、C【解析】根據(jù)弦長公式即可求出【詳解】因?yàn)閳A心到直線的距離為，所以AB的長等于故選：C5、A【解析】設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的實(shí)半軸長為，由定義可得，，在中利用余弦定理可得，即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的實(shí)半軸長為，不妨設(shè)在第一象限，根據(jù)橢圓和雙曲線定義，得，，，由可得，又，在中，，即，化簡得，兩邊同除以，得.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線的離心率問題，解題的關(guān)鍵是利用定義以及焦點(diǎn)三角形的關(guān)系列出齊次方程式進(jìn)行求解.6、C【解析】根據(jù)直線斜率即可得傾斜角.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為由已知得，所以直線的斜率，由于，故選：C.7、D【解析】先根據(jù)中點(diǎn)弦定理求出直線的斜率，然后求出直線的方程，聯(lián)立后利用弦長公式求解的長.【詳解】設(shè)，，則可得方程組：，兩式相減得：，即，其中因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為，故，故，即直線的斜率為，故直線的方程為：，聯(lián)立，解得：，由韋達(dá)定理得：，，則故選：D8、A【解析】結(jié)合等差中項(xiàng)和等比中項(xiàng)分別求出和，代值運(yùn)算化簡即可.【詳解】由是等比數(shù)列可得，是等差數(shù)列可得，所以，故選：A9、A【解析】設(shè)，求得，得到，求得，結(jié)合，即可求解.【詳解】由橢圓的方程，可得，設(shè)，則，由，因?yàn)樗臈l直線的斜率之積大于，即，所以，則離心率，又因?yàn)闄E圓離心率，所以橢圓的離心率的取值范圍是.故選：A.10、B【解析】根據(jù)圓與與直線相切，利用圓心到直線的距離等于半徑求解.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，則圓心為，半徑為，因?yàn)閳A與與直線相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，即，解得或，故選：B11、C【解析】依題意根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，再根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)椋?，即，所以，，，，故選：C12、C【解析】拋物線焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，由得或所以，故答案為C考點(diǎn)：1、拋物線的定義；2、直線與拋物線的位置關(guān)系二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】首先利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求，再利用賦值法求系數(shù)的和以及【詳解】展開式的通項(xiàng)為，令，則，即，故，令，得.又，所以故故答案為：14、【解析】根據(jù)給定條件，各層燈籠數(shù)從上到下排成一列構(gòu)成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式計(jì)算作答.【詳解】依題意，各層燈籠數(shù)從上到下排成一列構(gòu)成等比數(shù)列，公比，前9項(xiàng)和為1533，于是得，解得，所以內(nèi)部塔樓的頂層應(yīng)掛3盞燈籠.故答案為：315、【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程的斜率并求出，再由點(diǎn)斜式寫出切線方程即可.【詳解】由題設(shè)，，則，而，所以在x=1處的切線方程為，即.故答案為：.16、【解析】根據(jù)二項(xiàng)分布的方差公式即可求出【詳解】因?yàn)?，所以故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）或.【解析】(1)根據(jù)短軸長求出b，根據(jù)M在C上求出a；(2)根據(jù)題意設(shè)直線l為，與橢圓方程聯(lián)立得根與系數(shù)關(guān)系，根據(jù)＝即可求出m的值.【小問1詳解】∵短軸長為2，∴，∴，又∵點(diǎn)在C上，∴，∴，∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問2詳解】由(1)知，∵當(dāng)直線l斜率為0時(shí)，不符合題意，∴設(shè)直線l的方程為：，聯(lián)立，消x得：，∵，∴設(shè)，，則，∵，∴，∴，即，解得，∴直線l的方程為：或.18、（1）；.（2）或.【解析】(1)首先求得交點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法確定直線方程，再根據(jù)兩平行直線之間距離公式即可計(jì)算距離；(2)根據(jù)截距式方程的求法解答【小問1詳解】由得設(shè)直線的方程為，代入點(diǎn)坐標(biāo)得，∴直線的方程為∴兩平行線間的距離【小問2詳解】當(dāng)直線過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，直線的方程為，即；當(dāng)直線不過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為，代入點(diǎn)坐標(biāo)得，∴直線的方程的方程為，即綜上所述，直線的方程為或19、（1）條件選擇見解析；an＝2n，bn＝25﹣n.（2）不存在，理由見解析.【解析】（1）把點(diǎn)（n，bn）代入曲線y＝可得到bn＝25﹣n，進(jìn)而求出a1，設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，選①S4＝20，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可求出d，從而得到an；若選②S3＝2a3，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可求出d，從而得到an；若選③3a3﹣a5＝b2，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式公式可求出d，從而得到an；（2）由（1）可知Sn＝＝n（1+n），＝，再利用裂項(xiàng)相消法求出Tn＝1﹣，不等式無解，即不存在正整數(shù)k，使得Tk＞，且bk＞【小問1詳解】解：∵點(diǎn)（n，bn）在曲線y＝上，∴＝25﹣n，∴a1＝b4＝25﹣4＝2，設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，若選①S4＝20，則S4＝＝20，解得d＝2，∴an＝2+2（n﹣1）＝2n；若選②S3＝2a3，則S3＝a1+a2+a3＝2a3，∴a1+a2＝a3，∴2+2+d＝2+2d，解得d＝2，∴an＝2+2（n﹣1）＝2n；若選③3a3﹣a5＝b2，則3（a1+2d）﹣（a1+4d）＝25﹣2＝8，∴2a1+2d＝8，即2×2+2d＝8，∴d＝2，∴an＝2+2（n﹣1）＝2n；【小問2詳解】解：由（1）可知Sn＝＝＝n（1+n），∴＝＝，∴Tn＝（1﹣）+（）+……+（）＝1﹣，假設(shè)存在正整數(shù)k，使得Tk＞，且bk＞，∴，即，此不等式無解，∴不存在正整數(shù)k，使得Tk＞，且bk＞20、（1）證明見解析；（2）.【解析】(1)由結(jié)合線面平行的判定即可推理作答.(2)取DE的中點(diǎn)M，連接，F(xiàn)M，證明平面平面，再建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量推理、計(jì)算作答.【小問1詳解】在中，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AC，BC的中點(diǎn)，所以，則圖2中，，而平面，平面，所以平面.【小問2詳解】依題意，是正三角形，四邊形是菱形，取DE的中點(diǎn)M，連接，F(xiàn)M，如圖，則，，即是二面角的平面角，，取中點(diǎn)N，連接，則有，在中，由余弦定理得：，于是有，，即，而，，，平面，則平面，又平面，從而有平面平面，因平面平面，平面，因此，平面，過點(diǎn)N作，則兩兩垂直，以點(diǎn)N為原點(diǎn)，射線分別為x，y，z軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，設(shè)平面的法向量，則，令，得，顯然有，即，所以平面與平面的夾角為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用向量法求二面角：(1)找法向量，分別求出兩個(gè)半平面所在平面的法向量，然后求得法向量的夾角，結(jié)合圖形得到二面角的大??；(2)找與交線垂直的直線的方向向量，分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與交線垂直且以垂足為起點(diǎn)的直線的方向