2026年數(shù)學(xué)建模與計(jì)算思維訓(xùn)練試題面向?qū)W生第一部分：?jiǎn)栴}求解與數(shù)據(jù)分析（共3題，每題15分）第1題（15分）：城市交通流優(yōu)化問(wèn)題背景：某中部城市（如武漢）近期面臨早晚高峰期交通擁堵問(wèn)題，交通管理部門(mén)收集了2023年全年的主要道路車(chē)流量數(shù)據(jù)。假設(shè)當(dāng)前計(jì)劃在市中心區(qū)域增設(shè)智能信號(hào)燈系統(tǒng)，以?xún)?yōu)化交叉路口通行效率。請(qǐng)結(jié)合以下條件，建立數(shù)學(xué)模型分析信號(hào)燈配時(shí)方案，并計(jì)算預(yù)期效果。數(shù)據(jù)：-提供5個(gè)核心交叉路口的每日車(chē)流量統(tǒng)計(jì)表（表格中隨機(jī)生成數(shù)據(jù)）。-道路限速為40km/h，路口最大通行能力為2000輛/小時(shí)。-高峰時(shí)段（7:00-9:00，17:00-19:00）車(chē)流量占比約60%，平峰時(shí)段占比40%。要求：1.用數(shù)學(xué)表達(dá)式描述路口通行效率與信號(hào)燈配時(shí)（綠燈時(shí)長(zhǎng)、黃燈時(shí)長(zhǎng)）的關(guān)系。2.設(shè)計(jì)兩種信號(hào)燈配時(shí)方案（如方案A：高峰期綠燈時(shí)間延長(zhǎng)，方案B：增加行人專(zhuān)用時(shí)段），并比較預(yù)期通行能力提升率。3.若增加智能感應(yīng)裝置后可動(dòng)態(tài)調(diào)整綠燈時(shí)長(zhǎng)，說(shuō)明該技術(shù)對(duì)模型的影響。第2題（15分）：農(nóng)產(chǎn)品供應(yīng)鏈風(fēng)險(xiǎn)管理背景：某農(nóng)業(yè)企業(yè)（如山東蘋(píng)果種植戶(hù)）計(jì)劃通過(guò)期貨市場(chǎng)對(duì)沖價(jià)格波動(dòng)風(fēng)險(xiǎn)。已知2022-2023年蘋(píng)果主產(chǎn)區(qū)的價(jià)格波動(dòng)數(shù)據(jù)及期貨合約價(jià)格表。企業(yè)需在以下約束下決策：約束條件：-每批蘋(píng)果可售時(shí)間窗口為2個(gè)月（6月1日-7月31日）。-期貨合約最小交易單位為1噸，每手合約保證金為10萬(wàn)元。-若選擇套期保值，需支付手續(xù)費(fèi)率0.2%（按交易金額）。數(shù)據(jù)：-近三年現(xiàn)貨價(jià)格月度均值（元/噸）：2022年5.2/5.8/6.1/6.4/6.7/6.9；2023年5.0/5.5/6.0/6.3/6.6/6.8。-期貨合約報(bào)價(jià)（6月合約）：6.1元/噸，9月合約：6.5元/噸。要求：1.建立現(xiàn)貨價(jià)格與期貨價(jià)格的聯(lián)動(dòng)模型（可用線(xiàn)性回歸或ARIMA）。2.設(shè)計(jì)“現(xiàn)貨銷(xiāo)售+期貨套?！辈呗?，計(jì)算企業(yè)利潤(rùn)的預(yù)期波動(dòng)范圍（以標(biāo)準(zhǔn)差衡量）。3.若遭遇極端天氣（如霜凍）導(dǎo)致現(xiàn)貨價(jià)格飆升，說(shuō)明該策略的局限性。第3題（15分）：新能源汽車(chē)充電樁布局優(yōu)化背景：某新一線(xiàn)城市（如成都）規(guī)劃在中心城區(qū)增設(shè)公共充電樁，以緩解“里程焦慮”。已知該區(qū)域人口密度、車(chē)流量及現(xiàn)有充電設(shè)施分布數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)：-人口密度熱力圖（隨機(jī)生成5個(gè)高密度區(qū)、10個(gè)中等密度區(qū)）。-現(xiàn)有充電樁坐標(biāo)表（含服務(wù)半徑300米）。-充電需求預(yù)測(cè)：高峰時(shí)段（8:00-10:00）每分鐘新增需求5輛車(chē)，非高峰時(shí)段2輛車(chē)。要求：1.用地理信息系統(tǒng)（GIS）原理說(shuō)明充電樁布局的“可達(dá)性”與“均衡性”指標(biāo)。2.建立數(shù)學(xué)模型確定新增充電樁的最佳位置（可用P-中位模型或最大覆蓋模型）。3.若部分用戶(hù)選擇移動(dòng)充電車(chē)，分析其對(duì)模型的調(diào)整建議。第二部分：算法設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)（共2題，每題20分）第4題（20分）：物流配送路徑優(yōu)化問(wèn)題背景：某電商平臺(tái)（如京東）需為某區(qū)域訂單設(shè)計(jì)配送路線(xiàn)，約束條件如下：條件：-配送中心位于坐標(biāo)(0,0)，訂單點(diǎn)坐標(biāo)表（隨機(jī)生成10個(gè)點(diǎn)）。-車(chē)輛容量限制：滿(mǎn)載200kg，單次配送時(shí)長(zhǎng)不超過(guò)8小時(shí)。-道路網(wǎng)圖為帶權(quán)圖（距離+時(shí)間權(quán)重）。要求：1.用Dijkstra算法計(jì)算單次配送的最短路徑，并說(shuō)明其適用場(chǎng)景。2.若訂單有緊急程度（如加急訂單需優(yōu)先配送），設(shè)計(jì)改進(jìn)算法（如基于權(quán)重的動(dòng)態(tài)規(guī)劃）。3.若車(chē)輛需中途加油，說(shuō)明該約束對(duì)模型的影響及解決方案。第5題（20分）：用戶(hù)行為預(yù)測(cè)與推薦系統(tǒng)背景：某新聞APP需根據(jù)用戶(hù)閱讀習(xí)慣優(yōu)化內(nèi)容推薦。已知2023年用戶(hù)行為數(shù)據(jù)（點(diǎn)擊、閱讀時(shí)長(zhǎng)、分享等）。數(shù)據(jù)：-用戶(hù)ID、閱讀文章類(lèi)別（科技/財(cái)經(jīng)/娛樂(lè)）、閱讀時(shí)長(zhǎng)（分鐘）。-隨機(jī)生成1000條樣本數(shù)據(jù)。要求：1.建立協(xié)同過(guò)濾模型的相似度計(jì)算公式（可用余弦相似度）。2.用Python實(shí)現(xiàn)基于用戶(hù)的推薦算法（代碼需包含數(shù)據(jù)預(yù)處理步驟）。3.若引入“冷啟動(dòng)問(wèn)題”（新用戶(hù)無(wú)歷史數(shù)據(jù)），提出解決方案（如基于內(nèi)容的推薦）。第三部分：綜合建模與分析（共2題，每題25分）第6題（25分）：疫情傳播與防控策略評(píng)估背景：某沿海城市（如寧波）報(bào)告首例流感病例，需制定防控方案。已知傳播數(shù)據(jù)及干預(yù)措施效果：數(shù)據(jù)：-接觸傳播率β=0.2人/天，潛伏期T=3天。-社區(qū)封鎖可使β降低80%，口罩佩戴使β降低60%。要求：1.建立SIR模型（易感-感染-移除），推導(dǎo)方程組并求解穩(wěn)態(tài)解。2.若需在10天內(nèi)將感染人數(shù)控制在1000人以下，計(jì)算需采取的干預(yù)措施組合（需標(biāo)明參數(shù)調(diào)整比例）。3.若部分人群拒絕佩戴口罩，分析模型的敏感性變化。第7題（25分）：區(qū)域水資源分配優(yōu)化背景：某流域（如漢江流域）需將有限水資源分配給農(nóng)業(yè)、工業(yè)和生活用水。已知約束條件：條件：-總水量Q=100億立方米，工業(yè)用水優(yōu)先級(jí)最高，生活用水最低。-工業(yè)用水需滿(mǎn)足環(huán)保標(biāo)準(zhǔn)（需水量w_i=0.5m3/萬(wàn)元產(chǎn)值），農(nóng)業(yè)需水量彈性系數(shù)k=1.2。數(shù)據(jù)：-各區(qū)域產(chǎn)值、需水定額及歷史分配比例。要求：1.建立多目標(biāo)規(guī)劃模型（最大化經(jīng)濟(jì)效益+最小化水質(zhì)污染）。2.用遺傳算法求解最優(yōu)分配方案，并繪制Pareto前沿圖。3.若遭遇干旱導(dǎo)致總水量減少20%，重新計(jì)算分配方案。答案與解析第一部分：?jiǎn)栴}求解與數(shù)據(jù)分析第1題（15分）1.模型：-通行效率η=Qmax×(Lg+Lr)/(N×T)，其中Qmax=2000，Lg為綠燈時(shí)長(zhǎng)，Lr為紅燈時(shí)長(zhǎng)，N為車(chē)輛數(shù)，T為周期時(shí)長(zhǎng)。-動(dòng)態(tài)配時(shí)：η=η_base×(1+α×PeakRatio)，α為智能調(diào)整系數(shù)。2.方案比較：-方案A：Lg=45s，η提升12%；方案B：Lr=15s，η提升8%。3.智能感應(yīng)影響：-可實(shí)時(shí)調(diào)整Lg，模型需加入狀態(tài)變量γ（實(shí)時(shí)車(chē)流量）。第2題（15分）1.模型：-ARIMA(1,1,1)擬合價(jià)格，殘差序列呈正態(tài)分布。2.策略計(jì)算：-套保收益=0.6×(期貨價(jià)格-現(xiàn)貨價(jià)格)×噸數(shù)-手續(xù)費(fèi)，標(biāo)準(zhǔn)差降低35%。3.局限性：-極端天氣導(dǎo)致現(xiàn)貨價(jià)格暴漲時(shí)，期貨對(duì)沖無(wú)效。第3題（15分）1.GIS指標(biāo)：-可達(dá)性=服務(wù)半徑內(nèi)需求覆蓋率，均衡性=各區(qū)域充電樁密度方差。2.模型：-P-中位模型：目標(biāo)函數(shù)Min∑di2（i為新增樁點(diǎn)），約束人口密度權(quán)重。第二部分：算法設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)第4題（20分）1.Dijkstra算法：-適用于帶權(quán)無(wú)環(huán)圖，核心為松弛操作。2.改進(jìn)算法：pythondefpriority_path(cost,urgent_weight):returncost(1-urgent_weight)+costurgent_weight3.加油約束：-加入分段路徑約束，需動(dòng)態(tài)規(guī)劃求解。第5題（20分）1.相似度公式：pythonsim(u,v)=∑min(f_i(u),f_i(v))/√(∑f_i(u)2∑f_i(v)2)2.代碼片段：pythondefrecommend(user_id,data):去重、歸一化...（略）returntop_k_similar_items第三部分：綜合建模與分析第6題（25分）1.SIR模型：-dS/dt=-βSI/(N-S)，推導(dǎo)臨界R0=1.5。2.干